대수적 위상수학에서 스틴로드 대수(Steenrod代數, 영어: Steenrod algebra)는 유한체 계수의 안정 코호몰로지 연산들로 구성되는 호프 대수이다.
소수
에 대하여, 스틴로드 대수는 안정 코호몰로지 연산으로 구성된,
위의 등급 호프 대수이다.
홀수 표수[편집]
홀수 소수
에 대하여,
위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.
![{\displaystyle \operatorname {P} ^{i}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {F} _{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e74e18ffd558abf47d5dbece76ab3ac8724e369)
![{\displaystyle \beta \colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{H+1}(X;\mathbb {F} _{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b997202a26fc3bca3dc7238e6b45e29fda0c1606)
는
차 스틴로드 축소 거듭제곱(영어: Steenrod reduced power)이라고 한다.
는 아벨 군 짧은 완전열
에 대응하는 복시테인 준동형이다.
이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.
는 자연 변환
을 정의한다.
은 항상 항등 함수이다.
이다.
- 만약
이라면
이다.
- (카르탕 공식 영어: Cartan formula)
이다.
짝수 표수[편집]
위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.
![{\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}\colon \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {F} _{2})\to H^{n+i}(X;\mathbb {F} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d624d7ef85015e2f19da127faa0e75c18c9a1bf4)
이를
차 스틴로드 제곱(영어: Steenrod square)이라고 한다. (짝수 표수의 경우,
이며
이다.)
이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.
는 자연 변환
을 정의한다.
은 항상 항등 함수이다.
이다.
- 만약
이라면
이다.
- (카르탕 공식 영어: Cartan formula)
이다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
- 크기
의 집합 위에 자유롭게 작용하는 유한군 ![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
- 위상 공간
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
그렇다면,
제곱 함수
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X)\to \operatorname {H} ^{ni}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501d5620dd5869849e58f38fe56102c8cad19b14)
![{\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\smile n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9850408e50e7728cdab76f6a46ad563439683bec)
를 생각하자. (만약 코호몰로지가 소수 크기 유한체
계수이며
라면 이는 프로베니우스 사상이며,
-선형 변환을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 선형이 아니다.)
이는 다음과 같이 분해될 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {H} ^{i}(X)&\to &\operatorname {H} ^{ni}(\operatorname {E} G\times _{G}X^{n})&\to &\operatorname {H} ^{ni}(X^{n})\\&&\downarrow &&\downarrow \\&&\operatorname {H} ^{ni}(\operatorname {B} G\times X)&\to &\operatorname {H} ^{ni}(X)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c1b984af1df0f80ec585b007767e775dfa83e2)
여기서 각 사상은 다음과 같다.
는 코호몰로지에 의한
의 당김이다.
:
에 대하여,
을 정의하자. 이는
의
위의 작용에 대하여 불변이므로, 등변 코호몰로지
에 속한다.
는 코호몰로지에 의한
의 당김이다.
는
의 작용의 고정점으로 구성되므로,
이다.
: 몫공간 사상
의 코호몰로지에 의한 당김이다.
는 생성원
와의 경사곱이다.
이제,
가 소수이며
가 순환군이라고 하자. 그렇다면
![{\displaystyle \operatorname {B} \operatorname {Cyc} (p)=\mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e72f73d434edded767448d2f6ea142541ccc33)
이다.
특히,
인 경우 분류 공간은 무한 실수 사영 공간
![{\displaystyle \operatorname {B} \operatorname {Cyc} (2)=\mathbb {S} ^{\infty }/\operatorname {Cyc} (2)=\mathbb {RP} ^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f60717a87a75f06f1dc9e22a50737fe0c0d62c)
이며, 그
계수 코호몰로지는
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[w_{1}],\;\deg w_{1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fcafa2364ae8ee57be6cf099bed481bb155e313)
이다. (여기서
은 자명한 실수 선다발의 슈티펠-휘트니 특성류이다.) 체 계수의 퀴네트 정리에 따라서
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {B} G\times X;\mathbb {F} _{p})=\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{p})[w_{1}]\quad (\deg w_{1}=1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a89f697bec9fc32dd12944796af8dca4d8ebe9e)
이다. 따라서, 합성
![{\displaystyle \operatorname {Sq} \colon \operatorname {H} ^{i}(X;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} ^{2i}(\mathbb {RP} ^{\infty }\times X;\mathbb {F} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0909738880e08d3886f979670a298c2fcb31aff1)
을
![{\displaystyle \operatorname {Sq} =\sum _{k=0}^{i}\operatorname {Sq} ^{k}w_{1}^{i-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321b15449a6878bd88b19862abb6cf8f8aca59e7)
로 전개한다면 스틴로드 제곱
![{\displaystyle \operatorname {Sq} ^{k}\colon \operatorname {H} ^{i}(X;\mathbb {F} _{p})\to \operatorname {H} ^{i+k}(X;\mathbb {F} _{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b04c3007a11304e32326d42e06699c4703de945)
을 얻는다.
마찬가지로,
가 홀수 소수일 경우를 생각하면 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻는다.
아뎀 관계[편집]
스틴로드 대수는 아뎀 관계(영어: Ádem relation)라는 관계들을 만족시킨다.[1]
이들은 다음과 같다.[2]
일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.
![{\displaystyle \operatorname {Sq} (t)=\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\operatorname {Sq} ^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82967f60985e1d3cadf247545eb54899b03c015)
그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Sq} (s^{2}+st)\operatorname {Sq} (t^{2})=\cdots [s\leftrightarrow t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255ac0703ec3ff93365b1ead38c2bdde00009aae)
여기서 우변은 좌변과 같지만,
와
를 서로 바꾼 것이다.
일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.
![{\displaystyle \operatorname {P} (t)=\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\operatorname {P} ^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740e9ae41baaeb89d2a0cb911c09eff13b67604f)
그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle (1+s\operatorname {Ad} \beta )\operatorname {P} (t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})\operatorname {P} (s^{p})=\cdots [s\leftrightarrow t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bdcad191bc07668a2921b2623bc8187c9ab0b9)
여기서
이며, 우변은 좌변과 같지만,
와
를 서로 바꾼 것이다.
애덤스 스펙트럼 열[편집]
유한 차원 CW 복합체
,
가 주어졌을 때,
계수의 코호몰로지 군은 스틴로드 대수
위의 가군을 이룬다. 이 경우, 애덤스 스펙트럼 열(영어: Adams spectral sequence)은 다음과 같은 스펙트럼 열이다.[3]
![{\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {Ext} _{A_{p}}^{p,q}\left(\operatorname {H} ^{\bullet }(Y;\mathbb {F} _{p}),\operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{p})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ff4f74eb8f3d1d5021ac72616604ffb77f9002)
이는 호모토피 군
의
차 꼬임 부분군으로 수렴한다.
특히,
와
가 초구일 때, 애덤스 스펙트럼 열은 초구의 호모토피 군을 계산한다.
의 경우는 노먼 스틴로드가 1947년에 도입하였고,[4]
인 경우는 노먼 스틴로드가 1953년에 도입하였다.[5]
아뎀 관계는 멕시코의 수학자 호세 아뎀 차인(스페인어: José Ádem Chaín, 1921~1991)이 1952년에 도입하였다.[1] 애덤스 스펙트럼 열은 1958년에 존 프랭크 애덤스가 도입하였다.[3]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]