대수적 위상수학에서 퀴네트 정리(영어: Künneth theorem)는 곱공간의 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 정리다. 체 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다.
체 계수[편집]
와
가 위상 공간이라고 하고,
가 체
의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} _{i}(X;K)\otimes _{K}\operatorname {H} _{j}(Y;K)\cong \operatorname {H} _{k}(X\times Y;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521aac3eea9e71b4c89a6de697be9379e66a7e55)
이를 퀴네트 정리라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다.
![{\displaystyle b_{X}(t)=\sum _{i}t^{i}\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} _{i}(X;\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c96a77f4dc0e94aa99130bf6a69c55f0e17bc2)
가 베티 수의 생성함수라고 하자. 그렇다면
![{\displaystyle b_{X}(t)b_{Y}(t)=b_{X\times Y}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e236317363e612f1adfded3df07e9e8383967b)
이다.
호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을
이라고 적으면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;K)\otimes _{K}\operatorname {H} ^{\bullet }(Y;K)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(X\times Y;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a410058592986a13c236d89a62b810eb193ee16a)
여기서 좌변은 등급환의
-텐서곱이다.
주 아이디얼 정역 계수[편집]
만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다.
만약 계수가 주 아이디얼 정역
인 경우, 퀴네트 정리에 따르면 다음과 같은
-가군의 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{R}\operatorname {H} _{j}(Y;R)\to \operatorname {H} _{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\operatorname {Tor} _{1}^{R}(\operatorname {H} _{i}(X;R),\operatorname {H} _{j}(Y;R))\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1fb47496c17d92cde6350249fdc5cb1908ef8f)
여기서
는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.
마찬가지로, 주 아이디얼 정역
계수의 코호몰로지에 대하여,
-가군의 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} ^{i}(X;R)\otimes _{R}\operatorname {H} ^{j}(Y;R)\to \operatorname {H} ^{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k+1}\operatorname {Tor} _{1}^{R}(\operatorname {H} ^{i}(X;R),\operatorname {H} ^{j}(Y;R))\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f44937a9b4b769beca20427a43681bb8deb9d7)
여기서
는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.
호몰로지 스펙트럼 열[편집]
임의의 가환환
계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 퀴네트 스펙트럼 열(영어: Künneth spectral sequence)
로 표현된다.[1]:§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.
![{\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} _{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} _{q_{2}}(Y;R)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1833e094b5d6434f3c435aa8c093185d95d7f33)
이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다.
![{\displaystyle E_{pq}^{2}\Rightarrow E_{pq}^{\infty }\cong \operatorname {H} _{p+q}(X\times Y;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f635e4993371cfa6c5f3132f6a93fde681291381)
보다 일반적으로, 위상군
가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간
및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간
가 주어졌고,
가
-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우
의 호몰로지
는 자연스럽게 환을 이루며, 이는
와
의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열,
![{\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{\operatorname {H} _{\bullet }(G;R)}\left(\operatorname {H} _{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} _{q_{2}}(Y;R)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/facfd847d27959ece5e92049bc796f631a43a07c)
은 다음과 같은
-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.[1]:§3.1
![{\displaystyle E_{pq}^{2}\Rightarrow E_{pq}^{\infty }\cong \operatorname {H} _{p+q}(X\times _{G}Y;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e82abc96fd1402700ea077860461e737de19cea)
여기서
![{\displaystyle X\times _{G}Y={\frac {X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim (x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d6790c3ca76115acc4bf36b173240df2565d3a)
이다. 이는
가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.
코호몰로지 스펙트럼 열[편집]
마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.[1]:§3.2
![{\displaystyle E_{2}^{pq}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} ^{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} ^{q_{2}}(Y;R)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1e4ef439a40ba840756b394b3b04ab2b8fa38a)
만약
와
의 코호몰로지가 각 차수에서
-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은
의 코호몰로지로 수렴한다.
![{\displaystyle E_{2}^{pq}\Rightarrow E_{\infty }^{pq}\cong \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1432cf084db38aeb0a15c5bd71cb9bb9a2c8f204)
보다 일반적으로, 연속 함수
,
가 주어졌으며
는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면
는
와
의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.
는 단일 연결 공간이다.
,
,
의 코호몰로지는 각 차수에서
-유한 생성 가군이다.
그렇다면 스펙트럼 열
![{\displaystyle E_{2}^{pq}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{\operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)}\left(\operatorname {H} ^{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} ^{q_{2}}(Y;R)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f99c67c716a48ce25b69ede89a023d5d8759590)
은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.[1]:§3.2
![{\displaystyle E_{2}^{pq}\Rightarrow E_{\infty }^{pq}\cong \operatorname {H} ^{p+q}(X\times _{B}Y;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6286ee7e87a379f8c01f72ebbdcb0ca53c9b1687)
여기서
는 범주론적 당김
![{\displaystyle X\times _{B}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d57f9fc6753f9d922b5d830d1db6b334b1385e)
이다. 이는
가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.
독일의 수학자 헤르만 퀴네트(독일어: Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다.[2][3]
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]