퀴네트 정리

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대수적 위상수학에서, 퀴네트 정리(영어: Künneth theorem)는 곱공간호몰로지코호몰로지에 대한 정리다. 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다.

정의[편집]

체 계수[편집]

XY위상 공간이라고 하고, \operatorname H_\bullet(-;K) K의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;K)\otimes_K\operatorname H_j(Y;K)\cong\operatorname H_k(X\times Y;K)

이를 퀴네트 정리라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다.

b_X(t)=\sum_it^i\dim_{\mathbb Q}\operatorname H_i(X;\mathbb Q)

베티 수생성함수라고 하자. 그렇다면

b_X(t)b_Y(t)=b_{X\times Y}(t)

이다.

호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을 \operatorname H^\bullet이라고 적으면, 다음이 성립한다.

\operatorname H^\bullet(X;K)\otimes_K\operatorname H^\bullet(Y;K)\cong\operatorname H^\bullet(X\times Y;K)

여기서 좌변은 등급환K-텐서곱이다.

주 아이디얼 정역 계수[편집]

만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다.

만약 계수가 주 아이디얼 정역 R인 경우, 퀴네트 정리에 따르면 다음과 같은 R-가군짧은 완전열이 존재한다.

0\to\bigoplus_{i+j=k}\operatorname H_i(X;R)\otimes_R\operatorname H_j(Y;R)\to\operatorname H_k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k-1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H_i(X;R),\operatorname H_j(Y;R))\to0

여기서 \operatorname{Tor}Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, 주 아이디얼 정역 R 계수의 코호몰로지에 대하여, R-가군짧은 완전열이 존재한다.

0\to \bigoplus_{i+j=k}\operatorname H^i(X;R)\otimes_R\operatorname H^j(Y;R)\to\operatorname H^k(X\times Y;R)\to\bigoplus_{i+j=k+1}\operatorname{Tor}^R_1(\operatorname H^i(X;R),\operatorname H^j(Y;R))\to 0

여기서 \operatorname{Tor}Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.

호몰로지 스펙트럼 열[편집]

임의의 가환환 R 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 퀴네트 스펙트럼 열(영어: Künneth spectral sequence) E_{\bullet\bullet}^\bullet로 표현된다.[1]:§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.

E_{pq}^2 = \bigoplus_{q_1 + q_2 = q} \operatorname{Tor}^R_p\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right)

스펙트럼 열곱공간의 호몰로지로 수렴한다.

E_{pq}^2 \Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X \times Y; R)

보다 일반적으로, 위상군 G가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간 X 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 Y가 주어졌고, Y\twoheadrightarrow Y/GG-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우 G의 호몰로지 \operatorname H_\bullet(G;R)는 자연스럽게 을 이루며, 이는 XY의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열,

E_{pq}^2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H_\bullet(G;R)}\left(\operatorname H_{q_1}(X; R), \operatorname H_{q_2}(Y; R)\right)

은 다음과 같은 G-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.[1]:§3.1

E_{pq}^2\Rightarrow E_{pq}^\infty\cong\operatorname H_{p+q}(X\times_GY;R)

여기서

X\times_GY=\frac{X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim(x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y}

이다. 이는 G자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.

코호몰로지 스펙트럼 열[편집]

마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.[1]:§3.2

E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^R\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right)

만약 XY의 코호몰로지가 각 차수에서 R-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은 X\times Y의 코호몰로지로 수렴한다.

E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times Y;R)

보다 일반적으로, 연속 함수 f\colon X\to B, g\colon Y\to B가 주어졌으며 g올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면 \operatorname H^\bullet(B;R)XY의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.

그렇다면 스펙트럼 열

E^{pq}_2=\bigoplus_{q_1+q_2=q}\operatorname{Tor}_p^{\operatorname H^\bullet(B;R)}\left(\operatorname H^{q_1}(X;R),\operatorname H^{q_2}(Y;R)\right)

은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.[1]:§3.2

E^{pq}_2\Rightarrow E^{pq}_\infty\cong\operatorname H^{p+q}(X\times_B Y;R)

여기서 X\times_BY는 범주론적 당김

X\times_BY=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}

이다. 이는 B한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.

역사[편집]

독일의 수학자 헤르만 퀴네트(독일어: Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다.[2][3]

참고 문헌[편집]

  1. Hatcher, A. 《Spectral Sequences in Algebraic Topology》 (영어). 
  2. Künneth, H. (1923년 3월). “Über die Bettischen Zahlen einer Produktmannigfaltigkeit”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 90: 65–85. doi:10.1007/BF01456242. ISSN 0025-5831. JFM 49.0408.01. 
  3. Künneth, H. (1924년 3월). “Über die Torsionszahlen von Produktmannigfaltigkeiten”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 91: 125–134. doi:10.1007/BF01498384. ISSN 0025-5831. JFM 50.0658.03. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]