거듭제곱

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(세제곱에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색
위에서 아래로: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

수학에서, 거듭제곱(영어: exponentiation)은 주어진 수를 주어진 횟수만큼 곱하는 연산이다. 이 주어진 수를 (영어: base)이라고 하고, 주어진 횟수를 지수(영어: exponentiation)라고 한다. 밑이 , 지수가 인 거듭제곱을 제곱이라고 하고, 그 기호는 이다.

때로는,거듭제곱의 밑을 기저로 부르기도 한다.

정의[편집]

정수 제곱[편집]

실수 양의 정수 에 대하여, 제곱은 다음과 같다.

즉, 번 반복하여 곱한 결과이다. 이는 다음의 재귀적 정의동치이다.

0이 아닌 실수 에 대하여, 의 0제곱은 다음과 같다.

즉, 0이 아닌 실수의 0제곱은 항상 1이다. 0의 0제곱 00은 정의하지 않는다.

0이 아닌 실수 음의 정수 (즉, 은 양의 정수)에 대하여, 제곱은 다음과 같다.

즉, 0이 아닌 실수의 음의 정수 제곱은, 우선 그 음의 정수의 절댓값인 양의 정수를 지수로 하여 거듭제곱을 구한 뒤, 다시 역수를 취한 결과이다. 0의 음의 정수 제곱은 정의하지 않는다.

유리수 제곱[편집]

지수가 유리수인 거듭제곱을 거듭제곱근을 사용하여 정의할 수 있다. 우선, 실수 및 양의 정수 에 대하여 를 정의하자. 이를 위해 방정식 의 근을 생각하자. 자명하게, 가 0일 경우 복소수 범위에서의 근이 뿐이며, 그 중복도는 이다. 가 0이 아닌 실수일 경우 서로 다른 복소근이 개 존재한다. 홀수일 경우나, 짝수이며 가 음이 아닌 실수일 경우, 서로 반수인 실근이 한 쌍 존재하며, 여기서 양의 실수인 근을 라 정의한다. 이 짝수이며 가 음의 실수일 경우, 실근이 존재하지 않으므로, 를 정의하지 않는다.

이제 지수가 유리수인 거듭제곱을 정의하자. 유리수는 분모가 양의 정수인 기약 분수의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있으므로, 우선 유리수 지수를

라 하자. 그렇다면 이 거듭제곱은 다음과 같이 정의된다.

즉, 양의 유리수 제곱은 기약 분수 꼴의 분자를 지수로 하여 거듭제곱을 취한 뒤, 분모만큼 거듭제곱근을 취한 결과이다. 분모 홀수일 경우 이 거듭제곱은 임의의 실수 밑 에 대하여 정의된다. 짝수일 경우, 이 거듭제곱은 임의의 음이 아닌 실수 밑 에 대하여 정의되며, 음의 실수 밑의 경우 정의되지 않는다. 물론 모든 정수는 유리수이므로 정수 제곱의 앞선 두 정의가 일치하는지 검증하여야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

다만, 이는 실숫값 이항 연산으로서의 정의이다. 즉, 은 단지 방정식 의 여러 개의 복소근 가운데 양의 실수인 하나이다. 만약 방정식 의 모든 복소근을 찾는 다가 함수로서 정의한다면, 이 거듭제곱은 모든 실수를 비롯한 모든 복소수에 대하여 정의되며, 중근을 포함하여 개의 (실수 또는 복소수 값의) '함숫값'을 갖는다. (자세히...)

실수 제곱[편집]

거듭제곱의 지수를 무리수의 범위까지 확장하는 방법은 다음과 같은 두 가지가 있다. 어느 정의를 사용하든 지수가 유리수일 경우에 유리수 제곱으로서의 정의와 실수 제곱으로서의 정의가 일치하는지 살펴야 하며, 이는 쉽게 검증된다.

유리수 제곱 근사를 통한 정의[편집]

양의 실수 에 대하여, 제곱을 다음과 같이 유리수 제곱의 근사를 통해 정의할 수 있다.

즉, 양의 실수의 실수 제곱은 유리수 지수가 실수 지수에 다다를 때 거듭제곱이 갖는 극한이다. 이는 다음 정의와 동치이다.

즉, 이는 실수 지수보다 작은 유리수를 지수로 하여 만든 거듭제곱들의 집합의 상한이다.

로그를 통한 정의[편집]

양의 실수의 실수 제곱을 지수 함수로그 함수를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 실수 지수 함수

는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.

(수열의 극한)
(거듭제곱 급수)

또한 실수 로그 함수는 지수 함수의 역함수이다.

이제 양의 실수의 실수 제곱을 정의하자. 양의 실수 와 실수 에 대하여, 제곱은 다음과 같다.

복소수 제곱[편집]

거듭제곱 연산은 복소수에 대하여 확장할 수 있다. 확장한 뒤의 연산은 실수의 경우와 달리 연산 결과가 여러 값이며, 밑이 음의 실수인 경우에도 정의 가능하다. 실수와 마찬가지로, 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱은 지수와 로그를 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 복소수 지수 함수

는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 이는 서로 동치이다.

(수열의 극한)
(거듭제곱 급수)

실수의 경우 이는 실수 지수 함수와 일치한다. 오일러의 공식

과 지수 함수 법칙에 따라 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또한 복소수 로그 함수는 복소수 지수 함수의 '역함수'이다.

그러나 이는 복소수 지수 함수가 가역 함수가 아니므로 다가 함수이다. 이를 복소수에 복소수 집합을 대응시키는 함수라 여기자. 그러면 이는 구체적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이제 0이 아닌 복소수의 복소수 제곱을 정의하자. 0이 아닌 복소수 와 복소수 에 대하여, 제곱은 다음과 같다.

복소수 로그 함수가 다가 함수이므로, 이 거듭제곱 역시 다가 함수이다. (자세히...)

성질[편집]

연산 법칙[편집]

자연수 에 대해, 거듭제곱 은 다음과 같이 정의된다.

이것은 곱셈 연산이 덧셈을 반복하는 것과 유사하다. 또한 정의에 따라, 다음의 식이 성립한다.

다음과 같은 귀납적 정의도 가능하다:

다가성[편집]

응용[편집]

기수법[편집]

거듭제곱의 성질은 기수법과 진수의 체계를 이룬다.

일때,
의 밑은 이고, 지수는 , 진수이다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]