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변형 함자

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수학에서, 변형 함자(變形函子, 영어: deformation functor)는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 함자이다. 이러한 함자의 연구를 변형 이론(變形理論, 영어: deformation theory)이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 국소 아르틴 가환환인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자 의, 어떤 아르틴 가환환 에 대한 값 는 다루고자 하는 대상의, 위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 아핀 스킴들의 범주 위의 준층으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 준층은 어떤 스킴으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다.

정의

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국소 아르틴 가환환의 범주

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위의 대수이며, 자명환이 아닌 아르틴 국소환 이 주어졌다고 하자. 이는 벡터 공간으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼 의 모든 원소는 멱영원이다. 특히, 이러한 환 는 항상 완비 국소환이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

또한, 스펙트럼 위상 공간으로서 한원소 공간이다. 예를 들어, 체 가 주어졌을 때 는 이러한 꼴의 가환환이며, 극대 아이디얼이다.

에 대하여, 범주 를 다음과 같이 정의하자.

  • 의 대상 정의역으로, 어떤 국소 아르틴 가환환 공역으로 하는 환 준동형 가운데, 가 환의 동형 사상을 이루는 것이다.
  • 의 사상 은 구조 사상과 호환되는 환 준동형 이다. 즉, 이어야 한다.

범주에서, 영 대상을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상 , 곱집합과 다르며, 구체적으로

이다. (여기서 곱집합을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환직접곱 부분환으로서 주어진다.

보다 일반적으로, 세 대상 및 사상 이 주어졌을 때, 올곱

이 존재한다.[1]:209

이 범주에서, 대상 을 생각하자. 이 경우,

이다. 표준적인 환 준동형

을 통해, 이는 군 대상을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.

작은 농화

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두 국소 아르틴 가환환

사이의 환 준동형

이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 작은 농화(-濃化, 영어: small thickening)라고 한다.

  • 전사 함수이다.
  • 주 아이디얼이다.
  • 이다.

이에 따라, 는 1차원 -벡터 공간이다. 예를 들어, 체 및 양의 정수 에 대하여

은 작은 농화이다.

두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.

변형 함자

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가 주어졌을 때, 에서 집합함수의 범주 로 가는 함자

가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 속의 두 환 준동형 에 대하여, 올곱보편 성질에 의하여 함수

가 표준적으로 존재한다.

이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다.

  • (H0) 집합 한원소 집합이다.
    • 여기서 의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다.
  • (H1) 만약 가 작은 농화라면, 전사 함수이다.
  • (H2) 만약 이며, 라면, 전단사 함수이다.
  • (H4) 만약 가 작은 농화이며 동형 사상이라면, 전단사 함수이다.

(H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자 변형 함자라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 준변형 함자 영어: pre-deformation functor라고 한다.)

성질

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접공간

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변형 함자 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은 -벡터 공간 구조를 정의할 수 있다.

여기서

는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상이며,

는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수이며,

위의 군 대상 구조이다.

이 경우, 벡터 공간 를 변형 함자 접공간(接空間, 영어: tangent space)이라고 한다.

표현 가능성

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변형 함자 가 주어졌다고 하자. -대수 가운데, 완비 국소환이며 뇌터 가환환인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터 -대수 에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.

여기서 유한한 에 대하여 이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 함자

를 정의한다.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

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대수적으로 닫힌 체 위의 매끄러운 대수다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자.

  • 국소 아르틴 -대수
  • 스킴
  • 평탄 사상
  • 스킴 사상

이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.

  • 다음 네모가 가환 그림을 이룬다.
  • 이 네모로부터, 올곱보편 성질로 정의되는 사상 는 스킴의 동형 사상이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체 이다.)

그렇다면, 가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 집합이라고 하자. 이 경우, 는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은

이다.

역사

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변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어(영어: John Michael Schlessinger)가 도입하였다.[1]

각주

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  1. Schlessinger, Michael (1968). “Functors of Artin rings”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 130: 208–222. doi:10.1090/S0002-9947-1968-0217093-3. ISSN 0002-9947. JSTOR 994967. MR 217093. 

외부 링크

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