수학에서, 변형 함자(變形函子, 영어: deformation functor)는 어떤 수학적 대상의 변형을 나타내는 함자이다. 이러한 함자의 연구를 변형 이론(變形理論, 영어: deformation theory)이라고 한다. 변형 함자의 정의역 범주의 원소는 국소 아르틴 가환환인데, 이는 어떤 점의 ‘무한소 근방’으로 해석할 수 있다. 변형 함자
의, 어떤 아르틴 가환환
에 대한 값
는 다루고자 하는 대상의,
위의 가능한 변형들의 집합이다. 쌍대적으로, 이는 이러한 국소 아르틴 아핀 스킴들의 범주 위의 준층으로 여길 수 있다. 일부 경우, 이 준층은 어떤 스킴으로 표현될 수 있다. 그러나 일반적으로는 이러한 모듈러스 스킴이 존재하지 않을 수 있다.
체
위의 대수이며, 자명환이 아닌 아르틴 국소환
이 주어졌다고 하자. 이는 벡터 공간으로서 유한 차원이며, 이러한 환의 (유일한) 극대 아이디얼
의 모든 원소는 멱영원이다. 특히, 이러한 환
는 항상 완비 국소환이다. 이러한 가환환은 항상 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.
![{\displaystyle A=k[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m}]/(x_{1}^{n_{1}},x_{2}^{n_{2}},\dotsc ,x_{m}^{n_{m}},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d142a1f1df1048aa0551c17c7e6b9d50dbac944)
![{\displaystyle p_{1},\dotsc ,p_{r}\in k[x_{1},\dotsc ,x_{m}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6209916ea334343b5aa4efb7b29d38851e587145)
![{\displaystyle p_{i}(0,0,\dotsc ,0)=0\in k\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,r\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb912570d19f5b2dfa17dd5985aa8f380d1751b)
![{\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{m})\subsetneq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc654f3cc3f70acbe8105c33a482f3dd46b78c3)
또한,
의 스펙트럼
은 위상 공간으로서 한원소 공간이다. 예를 들어, 체
가 주어졌을 때
는 이러한 꼴의 가환환이며, 극대 아이디얼은
이다.
체
에 대하여, 범주
를 다음과 같이 정의하자.
의 대상
은
를 정의역으로, 어떤 국소 아르틴 가환환
을 공역으로 하는 환 준동형 가운데,
가 환의 동형 사상을 이루는 것이다.
의 사상
은 구조 사상과 호환되는 환 준동형
이다. 즉,
이어야 한다.
이 범주에서,
는 영 대상을 이룬다. 이 범주에서, 두 대상
,
의 곱
는 곱집합과 다르며, 구체적으로
![{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A},i_{A})\times _{\operatorname {LocArt} (k)}(B,{\mathfrak {m}}_{B},i_{B})=\{(a,b)\in A\times _{\operatorname {Set} }B\colon i_{A}^{-1}(a+{\mathfrak {m}}_{A})=i_{B}^{-1}(b+{\mathfrak {m}}_{B})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3d525b1ef7477a11954a03f467877f343b70ef)
이다. (여기서
은 곱집합을 뜻한다.) 이 위의 가환환 구조는 가환환의 직접곱
의 부분환으로서 주어진다.
보다 일반적으로, 세 대상
및 사상
이 주어졌을 때, 올곱
![{\displaystyle A\times _{C}B=\{(a,b)\in A\times _{\operatorname {Set} }B\colon f(a)=g(b)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f6f48c5bc41ba3d6165c635f3192a374ed644b)
이 존재한다.[1]:209
이 범주에서, 대상
을 생각하자. 이 경우,
![{\displaystyle A\times A\cong k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ffda3173bfbb6ace6033f2b3dd86f2b2a3d228)
이다. 표준적인 환 준동형
![{\displaystyle A\times A\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43e04047205125debea8e49d9d98d14cef9f5ef)
![{\displaystyle (a+bx+cy)\mapsto (a+(b+c)x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69f233a88abb89e54df24fbc663aa3db5ca5244)
을 통해, 이는 군 대상을 이루며, 이는 아벨 군 대상이다.
두 국소 아르틴 가환환
![{\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e31fe49c6f1961f10596bec1bc271e67532e1a6)
사이의 환 준동형
![{\displaystyle f\colon A\to A'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a59a0b0931bbfd1a08dcda83a98bdc6f1b77d7)
이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, 작은 농화(-濃化, 영어: small thickening)라고 한다.
- 전사 함수이다.
는
의 주 아이디얼이다.
이다.
이에 따라,
는 1차원
-벡터 공간이다. 예를 들어, 체
및 양의 정수
에 대하여
![{\displaystyle k[x]/(x^{n+1})\to k[x]/(x^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d660174496a3888b02dc341726dd6183247aae2c)
은 작은 농화이다.
두 국소 아르틴 가환환 사이의 모든 전사 환 준동형은 (유한 개의) 작은 농화들의 합성으로 표현될 수 있다.
체
가 주어졌을 때,
에서 집합과 함수의 범주
로 가는 함자
![{\displaystyle F\colon \operatorname {LocArt} (k)\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78b5a81f042a5de5fe414ff5bc434146fc1064e)
가 주어졌다고 하자.
그렇다면,
속의 두 환 준동형
에 대하여, 올곱의 보편 성질에 의하여 함수
![{\displaystyle g\colon F(B\times _{A}C)\to F(B)\times _{F(A)}F(C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f0a35604d8fefafa978e25d62c21163ebda493)
가 표준적으로 존재한다.
이에 대하여, 다음과 같은 조건들을 가할 수 있다.
- (H0) 집합
는 한원소 집합이다.
- 여기서
의 유일한 원소는 변형하고픈 대상을 뜻한다.
- (H1) 만약
가 작은 농화라면,
가 전사 함수이다.
- (H2) 만약
이며,
라면,
가 전단사 함수이다.
- (H4) 만약
가 작은 농화이며
가 동형 사상이라면,
가 전단사 함수이다.
(H0), (H1), (H2) 조건들을 만족시키는 함자
를 변형 함자라고 한다. (만약 H0이 성립한다면, 이를 준변형 함자 영어: pre-deformation functor라고 한다.)
변형 함자
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합
를 생각하자. 이 위에, 다음과 같은
-벡터 공간 구조를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \alpha v=F(\sigma _{\alpha })v\qquad \forall \alpha \in k,\;v\in F(k[x]/(x^{2}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74892fde8929ab8f72d66ff47b1d29c940848923)
![{\displaystyle v+w=F(\mu )g^{-1}(v,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6351c9f243dd117fcf84b46fa9b92b422fa7c746)
여기서
![{\displaystyle \sigma _{\alpha }\colon k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbee5a757434e3542e8aafddc334317cd85651dc)
![{\displaystyle \sigma _{\alpha }\colon x\mapsto \alpha x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b9611ddcb32aa4fd5b3b6d0b3781e9f500ae0f)
는 국소 아르틴 가환환의 자기 사상이며,
![{\displaystyle g\colon F(k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2}))\to F(k[x]/(x^{2}))\times F(k[x]/(x^{2}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755ff60e567f904084fa1fbd2b5e8fd513289070)
는 (H2) 공리에 따라 존재하는 전단사 함수이며,
![{\displaystyle \mu \colon k[x]/(x^{2})\times k[x]/(x^{2})\to k[x]/(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0172338f97354bbb70ae356d7659cfbb4d75f1)
는
위의 군 대상 구조이다.
이 경우, 벡터 공간
를 변형 함자
의 접공간(接空間, 영어: tangent space)이라고 한다.
변형 함자
가 주어졌다고 하자.
가
-대수 가운데, 완비 국소환이며 뇌터 가환환인 것들의 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 완비 국소 뇌터
-대수
에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle {\hat {F}}(A)=\varprojlim _{n\to \infty }F(A/{\mathfrak {m}}^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615ee15bbe37c38dfd92c96ab0a7cc52fe66c7d5)
여기서 유한한
에 대하여
이 국소 아르틴 가환환이므로, 우변은 잘 정의된다. 이는 함자
![{\displaystyle {\hat {F}}\colon \operatorname {ComplLocNoeth} (k)\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dab6d715ba6cb8c20013dab0fe4f62e32b2b98d)
를 정의한다.
이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
가 표현 가능 함자이다.
- (H4)가 성립하며, 접공간이 유한 차원
-벡터 공간이다.
대수적으로 닫힌 체
위의 매끄러운 대수다양체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 데이터를 생각하자.
- 국소 아르틴
-대수 ![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
- 스킴
![{\displaystyle X_{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3b750756d33b2e60efd90c59a059d0dae129cd)
- 평탄 사상
![{\displaystyle X_{A}\to \operatorname {Spec} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb72e874b8e0d5bda59a8d501804e2c707ba41c)
- 스킴 사상
![{\displaystyle X_{0}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29402ab94d88feb558f1f732a45850fec82c5a44)
이 데이터에 대하여, 다음 조건들을 생각하자.
- 다음 네모가 가환 그림을 이룬다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X_{0}&\to &X_{A}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} k&\to &\operatorname {Spec} A\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3c2dabcc8f9c80f3ce0e5ee734ded8b71b1d9c)
- 이 네모로부터, 올곱의 보편 성질로 정의되는 사상
는 스킴의 동형 사상이다. (다시 말해, ‘원점’에서 — 아무런 변형을 가하지 않았을 때 — 값은 원래 대수다양체
이다.)
그렇다면,
가 위 조건을 만족시키는 모든 데이터들의 집합이라고 하자. 이 경우,
는 변형 함자를 이룬다. 이 변형 함자의 접공간은
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X_{0},\mathrm {T} X_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124884296dfa4236715f3013bde751ba5a289bcf)
이다.
변형 함자의 개념은 1968년에 존 마이클 슐레싱어(영어: John Michael Schlessinger)가 도입하였다.[1]