위그너 정리

위그너 정리(영어: Wigner’s theorem)는 힐베르트 공간에서, (절댓값 1의 복소수 위상을 무시하면) 내적을 보존하는 전사 함수는 유니터리 변환이나 반(anti)유니터리 변환이라는 수학적 정리다. 이를 양자역학에 적용하면, 모든 물리적 대칭은 유니터리 변환이거나 반유니터리 변환을 이룬다는 사실을 의미한다.

역사

유진 위그너가 양자역학에 응용하기 위하여 1931년에 증명하였다.

정의

복소수 힐베르트 공간 $H$와 전사 함수 $\phi \colon H\to H$를 생각하자. (선형성을 가정하지 않는다.) 이 함수가 내적의 절댓값을 보존한다고 하자. 즉 임의의 $x,y\in H$에 대해

$|\langle x,y\rangle |=|\langle \phi (x),\phi (y)\rangle |$

를 만족한다. 그렇다면 위그너 정리에 따라, $\phi (x)=\alpha (x)U(x)$를 만족하는 어떤 $\alpha \colon H\to \mathbb {C}$와 $U\colon H\to H$가 존재한다. 여기서 $\alpha$는 절댓값이 1이고 ($|\alpha (x)|=1$) $U$는 유니터리 또는 반유니터리 변환이다.

물리학적 의의

물리학에서는 자연계에서 가능한 대칭을 찾고자 한다. 근본적인 대칭을 가정하면, 그 대칭을 따르는 현상만을 고려하면 되므로 이론이 더 간단하여지기 때문이다. 위그너 정리에 의하면, 양자역학에서 가능한 대칭은 "자명한" (즉 유니터리/반유니터리) 대칭밖에 없다. 따라서 임의의 대칭이 유니터리 혹은 반유니터리 변환이라고 가정하고 이론을 전개할 수 있다.

예를 들어, 고전 게이지 이론에서는 임의의 반고전적 (quasiclassical) 리 군에 대하여 게이지 이론을 만들 수 있으나, 양자 게이지 이론에서는 리군이 유니터리 또는 반유니터리 표현을 가져야 하므로, 가능한 대칭군이 가약 리 군으로 줄어든다.

참고 문헌

• Wigner (1931), Gruppentheorie, Friedrich Vieweg und Sohn (Braunschweig, Germany), pp. 251.
• Mouchet, Amaury. "An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis". Physics Letters A 377 (2013) 2709-2711. hal.archives-ouvertes.fr:hal-00807644