가약군

대수기하학에서 가약군(可約群, 영어: reductive group)은 그 군 표현론이 특별히 규칙적인 대수군이다. 표수가 0인 경우, 기약군의 모든 표현은 기약 표현으로 완전히 분해된다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대한 선형 대수군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 근기(영어: radical) ${\sqrt {G}}$는 단위원을 포함하는 연결 성분 $G_{0}$의 최대 연결 가해 부분군이다. 근기는 항상 존재하며, 항상 닫힌 부분군이다. 만약 $G$의 근기가 자명군이라면, $G$를 반단순 대수군(영어: semisimple algebraic group)이라고 한다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $G$를 가약군이라고 한다.

• $G$의 근기 속에서, 1이 아닌 모든 원소들이 멱일원이 아니다.
• $G_{0}$는 반단순 대수군과 대수 원환면(영어: algebraic torus)의 곱이며, 이 두 군은 $G_{0}$의 닫힌 부분군을 이룬다.

성질

만약 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수군$G$의 모든 $K$-벡터 공간 표현이 기약 표현들로 유일하게 분해된다면, $G$는 기약군이다. 그 역은 표수 0에서 성립하지만, 양의 표수에서는 성립하지 않는다.

만약 $K$가 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체라면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 가약군이다.
• $G$의 모든 $K$-벡터 공간 표현은 기약 표현들로 유일하게 분해된다.
• $G$의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 가약 리 대수이다. 즉, 딸림표현 ${\mathfrak {g}}$는 기약 표현들로 유일하게 분해된다.

복소수체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $G$는 복소 가약군이다.
• $G$의 단위원의 연결 성분 $G_{0}$은 콤팩트 연결 실수 리 군의 복소화이다.

예

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, 다음과 같은 군들이 기약군이다.

• 곱셈군 $K^{\times }=K\setminus \{0\}$
• 대수 원환면 $(K^{\times })^{m}$
• 일반선형군 $\operatorname {GL} (n;K)$. 이는 반단순군이 아니다.
• 특수선형군 $\operatorname {SL} (n;K)$. 이는 반단순군이다.
• $K$-이차 형식 $Q$에 대하여, 특수직교군 $\operatorname {SO} (Q)$.

반면, 다음과 같은 군들은 가약군이 아니다.

• 아벨 다양체는 선형 대수군이 아니므로 가약군이 아니다. 특수한 경우로, 덧셈군 $K$나 타원 곡선이 있다.

참고 문헌

• Springer, Tonny A. (1998). 《Linear algebraic groups》. Progress in Mathematics (영어) 9 2판. Birkhäuser. doi:10.1007/978-0-8176-4840-4. ISBN 978-0-8176-4839-8. MR 1642713. Zbl 1202.20048.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Borel, A.; J. Tits (1965). “Groupes réductifs”. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (프랑스어) 27 (1): 55–150. doi:10.1007/BF02684375. ISSN 0073-8301. MR 0207712. Zbl 0145.17402. 
  • Borel, A.; J. Tits. “Compléments à l’article «Groupes réductifs»”. 《Publications mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 41 (1): 253–276. doi:10.1007/BF02715545. ISSN 0073-8301. MR 315007. Zbl 0254.14018. 

외부 링크

• “Reductive group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Voelkel, Konrad (2012년 7월 19일). “What is … a reductive group?” (영어).