바탈린-빌코비스키 대수

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이론물리학수학에서, 바탈린-빌코비스키 대수(영어: Batalin–Vilkovisky algebra)는 게이지 이론BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.[1][2][3][4][5]

역사[편집]

이고리 아니톨리예비치 바탈린(러시아어: И́горь Анато́льевич Бата́лин)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(러시아어: Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다.[6][7] 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

정의[편집]

바탈린-빌코비스키 대수 (A,\Delta)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.[4]:§8

  • A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i는 단위원을 갖는 결합(associative) 등급 가환(영어: graded-commutative) 정수 등급대수. 또한 이는 등급가환이다. 즉, 동차원소 a,b에 대하여, 다음이 성립한다.
    • a(bc)=(ab)c
    • 1\in A_0
    • ab=(-1)^{\deg a\deg b}ba
  • \Delta\colon A_i\to A_{i-1}는 등급이 -1인 멱영 선형 연산자이며, 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자라고 한다.. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
\Delta^2=0
\deg \Delta a=\deg a-1

이들은 다음과 같은 호환 관계를 가진다.

  • \Delta(abc)-\Delta(ab)c-(-1)^{\deg a}a\Delta(bc)-(-1)^{(\deg a+1)\deg b}b\Delta(ac)+\Delta(a)bc-(-1)^{\deg a}a\Delta(b)c+(-1)^{\deg(ab)}ab\Delta(c)=0
  • \Delta(1)=0

게르슈텐하버 괄호[편집]

바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 게르슈텐하버 괄호(영어: Gerstenhaber bracket) 또는 반대괄호(영어: antibracket) (a,b)를 정의할 수 있다.

(a,b)=(-1)^{\deg a}\Delta(ab)-(-1)^{\deg a}\Delta(a)b-a\Delta(b)

이는 다음과 같은 성질들을 따른다.

  • (차수 −1) \deg(a,b)=\deg a+\deg b-1
  • (등급가환성) (a,b)=-(-1)^{(\deg a+1)(\deg b+1)}(b,a)
  • (등급 야코비 항등식) (-1)^{(\deg a+1)(\deg c+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(\deg b+1)(\deg a+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(\deg c+1)(\deg b+1)}(c,(a,b))=0
  • (등급 라이프니츠 규칙) (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{\deg a\deg b}b(a,c)

게이지 이론의 양자화[편집]

바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론양자화에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.

게이지 이론이 장 \phi^i와 고전적 작용 S_0(\phi)에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.

\delta\phi^i=R_{\alpha_1}^i\epsilon^{\alpha_1}

여기서 \epsilon^{i_1}는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.

R^{i_p}_{i_{p+1}}R_{i_p}^{i_0}=C^{ij}_{\alpha_{p+1}}\frac{\delta S_0}{\delta\phi^{j_0}}

이다. 여기서 C^{ij}_{\alpha_{p+1}}는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은

  • 1차 게이지 변환 \delta\phi^i/\delta\epsilon^{\alpha_1}
  • 2차 게이지 변환 \delta\epsilon^{\alpha_1}/\delta\epsilon^{\alpha_2}
  • 3차 게이지 변환 \delta\epsilon^{\alpha_2}/\delta\epsilon^{\alpha_3}

등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.

그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 \delta/\delta\epsilon^{\alpha_p}에 대응하는 유령장 c^{\alpha_p}을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 \phi^i에 대응하는 반대장(反對場, 영어: antifield) \phi^*_i, c^*_{\alpha_p}를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 유령수(幽靈數, 영어: ghost number)라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, p차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 p, 그리고 유령수 g에 대응하는 반대장은 유령수 -g-1을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.

기호 통계 \sigma(\Phi^A) (+1: 보손, &minus1: 페르미온) 유령수 \deg\Phi^A
물리적 장 \phi^i \sigma(\phi^i) (보손: +1, 페르미온: −1) 0
물리적 반대장 \phi^*_i -\sigma(\phi^i) −1
유령장 c^{\alpha_p} -\sigma(\epsilon^{\alpha_p}) (일반 대칭: −1, 초대칭: +;1) p
유령 반대장 c^*_{\alpha_p} \sigma(\epsilon^{\alpha_p}) -p-1

즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다.

Δ 연산자와 게르슈텐하버 괄호[편집]

모든 장들을 통칭해

\Phi^A=(\phi^i,c^{\alpha_p})
\Phi^*_A=(\phi^*_i,c^*_{\alpha_p})

로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.

\Delta=(-1)^{\sigma(\Phi^A)}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^*_A}

또한, 게르슈텐하버 괄호는 다음과 같다.

(X,Y)=\frac{\delta^RX}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^*_A}-
\frac{\delta^RX}{\delta\Phi^*_A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^A}.

이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 \delta^L/\delta\Phi^A\delta^R/\delta\Phi^A는 각각 좌·우미분이다.

고전 으뜸 방정식[편집]

고전적 작용 S_0(\phi^i)는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.

S=S_0+S_1+S_2+\dots

여기서 S_pp개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, S의 유령수는 0이다.

\deg S=0

이렇게 교정된 작용 S는 다음과 같은 고전 으뜸 방정식(영어: classical master equation)을 만족시킨다.

(S,S)=0

이로부터 S를 완전히 계산할 수 있다. 이 경우, 이론의 BRST 대칭

\delta_{\text{BRST}}=(S,\cdot)

의 꼴이다. 이 경우 자동적으로

\delta_{\text{BRST}}S=(S,S)=0

이 된다. 작용은 유령수가 0이고 게르슈텐하버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.

\delta_{\text{BRST}}^2=0임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지

H^p(\delta_{\text{BRST}})

를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 H^0(\delta_{\text{BRST}})의 원소이다. 고전적인 연산자 O_0가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.

O=O_0+O_1+O_2+\cdots
\delta_{\text{BRST}}O=(S,O)=0

게이지 고정[편집]

유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 \psi를 선택하자. 이를 게이지 고정 페르미온(영어: gauge-fixing fermion)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.[5]:§6.1[3]:§6

\Phi^*_A\mapsto\frac{\delta\psi}{\delta\Phi^A}

작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.[5]:§6.2

양자 으뜸 방정식[편집]

양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건

\Delta S=0

이다.[3]:§6 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 \hbar에 비례하게 된다. 즉, S=\hat S^{(0)}으로 놓으면,

\hat S=\hat S^{(0)}+\hbar S^{(1)}+\hbar^2S^{(2)}+\cdots

이다. 이에 대한 양자 으뜸 방정식(영어: quantum master equation)은

\Delta(\exp(i\hat S/\hbar))=0

이다.[3]:§9 다음 표현은 위와 동치이다.

(\hat S,\hat S)=2i\hbar\Delta\hat S

이다. 이를 전개하면

(\hat S^{(0)},\hat S^{(0)})=0
(\hat S^{(0)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(0)}
(\hat S^{(0)},\hat S^{(2)})+\frac12(\hat S^{(1)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(1)}

등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량 X를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다.[5]:§6.1 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분

\int\exp(iS/\hbar)

를 고려하면 양자 으뜸 방정식

\Delta\exp(iS/\hbar)=0

이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 O가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로

(W,O)=i\hbar\Delta O

가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, \exp(iS/\hbar)다중벡터(multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 D\Phi를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, D\Phi\,\exp(iS/\hbar)는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 \Delta이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 N 위의 적분은

\int_N \Delta X=0

이고, 또한 만약 \Delta Y=0이라면

\int_N Y

N의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, N호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 D\Phi\,O\exp(iS/\hbar)가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.

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양-밀스 이론[편집]

로런츠 지표는 \mu,\nu,\dots로, 게이지 리 대수 지표는 a,b,\dots로 쓰자.

비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 A^a_\mu는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.

\delta A^a_\mu=\partial_\mu\epsilon^a+gf^{abc}A_\mu^b\epsilon^c

따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 c^a 및 반대장 \phi^*_a, c^*_a가 존재한다. 작용

S_0=-\frac14\int d^dx\,F^2

에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.[5]:§5.2

S=S_0+\int d^dx\, A_a^{*\mu}D_\mu c^a+\frac12\int d^dx\,c_a^*f^a{}_{bc}c^bc^c

게이지 고정을 위해, 유령수 &minus1;의 페르미온 \bar c_a와 유령수 0의 보손 b_a를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.[3]:§6

S'=S-i\int d^dx\,\bar c^{*a}b_a

그렇다면 게이지 고정 페르미온

\psi=i\int d^dx\,\bar c_a\left(\partial^\mu A_\mu^a+\xi b^a/2\right)

를 삽입한다. 여기서 \xi는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.

S=\int d^dx\,\left(-\frac14F^2-i\partial^\mu\bar c_aD_\mu c^a+\left(\partial^\mu A^a_\mu+\xi b^a/2\right)b_a\right)
기호 통계 유령수
게이지 장 A^a_\mu + 0
게이지 반대장 A^{*\mu}_a −1
유령장 c^a 1
유령 반대장 c^*_a + −2
보조장 b_a + 0
보조 반대장 b^*_a −1
보조 유령장 \bar c^a −1
보조 유령 반대장 \bar c^*_a + 0

미분형식 전기역학[편집]

p미분형식 전기역학의 경우, p차 미분형식 게이지 퍼텐셜 A^{(p)}는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.

\frac{\delta A^{(p)}}{\delta\epsilon^{(p-1)}}=d\epsilon^{(p-1)}
\frac{\delta\epsilon^{(p-1)}}{\delta\epsilon^{(p-2)}}=d\epsilon^{(p-2)}
\frac{\delta\epsilon^{(1)}}{\delta\epsilon^{(0)}}=d\epsilon^{(0)}

여기서 \epsilon^{(k)}k미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.

기호 통계 유령수
게이지 장 A^{(p)} + 0
유령장 c^{(k)} pk
게이지 반대장 A^{*(p)} −1
유령 반대장 c^{*(k)} + kp−1

유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.[5]:§5.5

S=\int d^dx\,\left(-\frac12F^{(p+1)}\wedge*F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge dc^{(p-1)}
+\sum_{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)}
\right)

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Henneaux, Marc, Claudio Teitelboim (1992년). 《Quantization of Gauge Systems》. Princeton University Press
  2. (영어) Barnich, Glenn, Friedemann Brandt, Marc Henneaux (2000년 11월). Local BRST cohomology in gauge theories. 《Physics Reports》 338 (5): 439–569. arXiv:hep-th/0002245. doi:10.1016/S0370-1573(00)00049-1. Bibcode2000PhR...338..439B. MR1792979.
  3. (영어) Fuster, Andrea, Marc Henneaux, Axel Maas (2005년 10월). BRST-antifield quantization: a short review. 《International Journal of Geometric Methods in Modern Physics》 2 (5): 939–963. arXiv:hep-th/0506098. doi:10.1142/S0219887805000892. Bibcode2005hep.th....6098F.
  4. (영어) Fiorenza, Domenico (2004년). An introduction to the Batalin–Vilkovisky formalism. arXiv:math/0402057. Bibcode2004math......2057F.
  5. (영어) Gomis, Joaquim, Jordi Paris, Stuart Samuel (1995년 8월). Antibracket, antifields and gauge-theory quantization. 《Physics Reports》 259 (1): 1–145. arXiv:hep-th/9412228. doi:10.1016/0370-1573(94)00112-G. Bibcode1995PhR...259....1G.
  6. (영어) Batalin, I. A., G. A. Vilkovisky (1981년 6월 4일). Gauge algebra and quantization. 《Physics Letters B》 102 (1): 27–31. doi:10.1016/0370-2693(81)90205-7. Bibcode1981PhLB..102...27B.
  7. (영어) Batalin, I. A., G. A. Vilkovisky (1983년 11월 15일). Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. 《Physical Review D》 28 (10): 2567–2582. doi:10.1103/PhysRevD.28.2567. Bibcode1983PhRvD..28.2567B. 오류 정정 (영어) Batalin, I. A., G. A. Vilkovisky (1984년 7월 15일). Erratum: Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. 《Physical Review D》 30 (2): 508–508. doi:10.1103/PhysRevD.30.508. Bibcode1984PhRvD..30..508B.

바깥 고리[편집]