끈 장론

끈 장론(영어: string field theory)이란 끈을 양자장론의 도구로 다루는 이론이다. 대개 끈 이론은 일차양자화를 거쳐, 어떤 주어진 산란행렬의 원소를 계산하려면 필요한 세계면을 가정하고 그 위에 등각장론을 이용하여 산란진폭을 계산한다. 그 반면 끈 장론은 이를 이차양자화하여 세계면 자체를 일종의 장으로 다룬다.

열린 보존 끈 장론

끈을 BRST 양자화를 하면 유령수에 따라 차수 붙은 벡터 공간(graded vector space) $V$를 얻는다. 여기에는 자연스럽게 BRST 연산자

$Q\colon V_i\to V_{i+!}$

가 존재한다. 일차양자화 끈 이론에서는

$Q|\Psi\rangle=0$

$|\Psi\rangle\sim|\Psi\rangle+Q|\Lambda\rangle$

와 같은 BRST 코호몰로지 구속을 가한다. 끈 장론에서는 대신 $|\Psi\rangle\sim|\Psi\rangle+Q|\Lambda\rangle$을 게이지 대칭으로, $Q|\Psi\rangle=0$을 운동방정식으로 본다. $|\Psi\rangle$은 유령수가 1인 상태다. (유령수가 1이 아닌 경우 작용은 0이다.)

이에 따라, 다음과 같은 게이지 불변 운동항을 쓸 수 있다.

$S[\Psi]= \tfrac{1}{2} \langle \Psi | Q|\Psi\rangle$

이는 앙드레 느뵈(프랑스어: André Neveu), 헤르만 니콜라이(독일어: Hermann Nicolai), 피터 웨스트(영어: Peter C. West)가 1986년에 밝혔다.

여기에 상호작용하는 끈을 다루려면 다음과 같은 상호작용항을 추가하여야 한다.

$S(\Psi) = \tfrac{1}{2} \langle \Psi |Q |\Psi \rangle + \tfrac{1}{3}g\langle \Psi,\Psi,\Psi \rangle$,

$g$는 임의의 결합상수로, 장을 재정의하여 $g=1$로 놓을 수 있다. $\langle \Psi_1,\Psi_2,\Psi_3 \rangle$은 세겹선형식으로, 총 유령수가 3인 세 끈 장을 받아 하나의 수로 바꾸는 함수다. 이는 에드워드 위튼이 1986년에 도입하였다.

다음과 같이 $\textstyle\int$와 $*$ 기호를 정의하자.

$\int\colon V\to\mathbb C$, $*\colon V_i\times V_j\to V_{i+j}$

$\langle\Sigma | \Phi *\Psi \rangle = \langle\Sigma, \Phi,\Psi\rangle$

$\int \Phi * \Psi = \langle\Phi|\Psi\rangle$

그렇다면 작용을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$S(\Psi) = \int(\tfrac{1}{2} \Psi*Q\Psi+\tfrac13g\Psi*\Psi*\Psi)$.

이 기호들은 다음과 같이 공리화할 수 있다.

• 무제곱성

$Q^2=0$

• 부분적분

$\int Q=0$

• 라이프니츠 법칙

$Q(\Psi*\Phi)=Q\Psi*\Phi+(-)^{G(\Psi)}\Psi*Q\Phi$ ($G(\Psi)$는 $\Psi$의 유령수)

• 차수가 붙은 교환법칙

$\int\Psi*\Phi=(-)^{G(\Psi*\Phi)}\int\Phi*\Psi$

• 결합법칙

$(\Phi*\Psi)*\Xi=\Phi*(\Psi*\Xi)$

이 공리로부터, 작용이 게이지 변환 $\delta\Psi=Q\Lambda+g(\Psi*\Lambda-\Lambda*\Psi)$ 에 대하여 불변임을 보일 수 있다.

이에 따라서 다음과 같은 운동방정식을 얻는다.

$Q\Psi + g\Psi * \Psi = 0$.

즉 $g\to0$이면 기존의 끈 이론에서의 코호몰로지 조건인

$Q\Psi=0$

을 얻는다.

이는 준위절단(level truncation)을 통하여 수치적으로 풀 수도 있고, 해석적으로 풀 수도 있다.

이를 양자화하려면 바탈린-빌리코비스키 양자화(Batalin–Vilikovisky quantization)를 써서 무한한 수의 유령을 도입하여야 한다. 이에 따라 임의의 수의 열린 끈의 산란진폭을 계산할 수 있는데, 이는 기존의 (일차양자화) 끈 이론으로 계산한 값과 같다.

닫힌 끈과 초끈 장론

닫힌 끈의 장론은 바르톤 츠비바흐(스페인어: Barton Zwiebach Cantor)가 도입하였다.

초끈의 장론은 아직 잘 알려지지 않았다.

같이 보기

• 끈 이론
• 타키온 응축