미분형식 전기역학

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미분형식 전기역학(微分形式電氣力學, 영어: p-form electrodynamics)은 전기역학을 임의의 차수의 미분형식에 대하여 일반화한 것이다. 일반적 전기역학에서는 1차 미분형식인 전자기 퍼텐셜을 다루는데, 미분형식 전기역학에서는 이를 임의의 p차 미분형식으로 바꾼다.

정의[편집]

일반적 전기역학에서는 1차 미분형식 A (전자기 퍼텐셜)이 존재한다. 이는 진공에서 다음과 같은 맥스웰 방정식을 따른다.

d*dA=0

이는 다음과 같은 게이지 변환에 대하여 불변하다.

A\to A+d\alpha

마찬가지로, 임의의 p차 미분형식 B에 대하여, 맥스웰 방정식

d*dB=0

게이지 변환

B\to B+d\alpha

을 정의할 수 있다.

진공이 아니라, 전하를 지닌 개체가 있다고 하자. 그렇다면 4차원 시공의 1-형식의 경우에는 전류밀도 1-형식 J를 도입한다. 그렇다면 이는

d*dA=*J

를 만족하고, 또 J연속방정식

d*J=0

을 만족한다. (즉 *J는 닫혀 있다.) 마찬가지로, D차원에서의 p-형식 전기역학에서는 전류밀도 p-형식 J를 도입하면,

d*dA=*J
d*J=0

과 같은 맥스웰 방정식과 연속방정식을 정의할 수 있다. 전류밀도가 p-형식이므로, p-형식 전기역학에서는 대전된 개체는 (p-1)-막임을 알 수 있다.

제르브[편집]

통상적 (p=1) 전기역학에서, 게이지 퍼텐셜은 어떤 U(1) 선다발 L접속이다. 시공간 M 위에서, 전기 선속양자화에 따라, 전자기장의 코호몰로지류 [F]=2\pi c_1(L)은 정수 계수 2차 코호몰로지의 원소이다.

[F]/2\pi=c_1(L)\in H^2(M;\mathbb Z)

여기서 c_1(L)L의 1차 천 류이다.

일반적으로, p차 형식 퍼텐셜 A^{(p)}의 장세기 F^{(p+1)}코호몰로지류p+1차 정수 계수 코호몰로지의 원소이다.

[F^{(p+1)}]/2\pi\in H^{p+1}(M;\mathbb Z)

기하학적으로 2차 정수 계수 코호몰로지가 (1차 천 류를 통해) 선다발에 대응하는 것처럼, 고차 정수 계수 코호몰로지는 기하학적으로 제르브라는, 선다발을 일반화한 개념에 대응한다.

끈 이론과의 관계[편집]

끈 이론에서는 각종 p차형식 게이지 장이 존재한다. NS-NS에서는 캘브-라몽 장 B_{\mu\nu}가 2차 미분형식을 이룬다. 끈은 1-막이므로 캘브-라몽 장에 대하여 대전된다. R-R에서는 임의의 p에 대한 게이지 장이 존재한다. (좀 더 정확히, IIB에서는 짝수 p, IIA에서는 홀수 p에 대한 게이지 장이 존재한다.) M이론에서는 M2-막에 해당하는 3-형식 게이지 장이 존재한다.

참고 문헌[편집]