대수적 K이론

수학에서, 대수적 K이론(代數的K理論, 영어: algebraic K-theory)은 환의 가군들을 다루는 K이론의 한 종류다.

정의

대수적 K이론에서 다루는 중심 개념은 (대수적) K군(영어: algebraic K-group) $K_{0}$, $K_{1}$, …이다. 이들은 주어진 환 $R$에 대하여 주어지는 일련의 아벨 군들이다.

K군은 다양하게 정의할 수 있다.

• 퀼런 플러스 구성(영어: Quillen plus-construction)은 역사적으로 가장 최초의 정의이다. 이 정의는 주어진 환의 무한 일반선형군의 분류 공간에 그 기본군의 일부를 죽이는 연산을 가한 뒤, 호모토피 군을 취하는 것으로 구성된다. 대니얼 퀼런이 도입하였다.
• 퀼런 Q-구성(영어: Quillen Q-construction) 역시 대니얼 퀼런이 도입하였다. 이 정의는 퀼런 완전 범주(영어: Quillen exact category)라는 특정한 가법 범주에 대하여 적용되며, 퀼런 완전 범주에서 대상을 그대로 두고 사상을 다르게 정의한 뒤, 이에 대응하는 단체 집합을 취하고, 그 호모토피 군을 취한다. Q-구성을 환 $R$ 위의 유한 생성 사영 가군 범주 $\operatorname {fgProjMod} _{R}$에 적용할 경우, 이는 퀼런 플러스 구성과 일치한다.
• 발트하우젠 S-구성(영어: Waldhausen S-construction)은 발트하우젠 범주(영어: Waldhausen category)라는 구조가 주어진 범주에 대하여 적용된다. 퀼런 완전 범주 위의 유계 사슬 복합체의 범주 $\operatorname {bCh} ({\mathcal {E}})$는 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이루며, 이에 따라 발트하우젠 S-구성은 퀼런 Q-구성을 일반화한다. 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen)이 도입하였다.

퀼런 플러스 구성

환 $R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, (이산 공간으로 간주한) 그 일반선형군 $\operatorname {GL} (n;R)$들의 귀납적 극한

$\operatorname {GL} (\infty ;R)=\varinjlim _{n\to \infty }\operatorname {GL} (n;R)$

을 취하자. 이는 위상군을 이룬다. 이 위상군의 분류 공간 $\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))$을 취하자.

위상 공간 $\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))$ 위에 플러스 구성 $\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}$을 가할 수 있다. 이 경우 그 호모토피 군들이 바뀌지만, 호몰로지 군은 바뀌지 않는다. 구체적으로, $\operatorname {GL} (\infty ;R)\cong \pi _{1}(\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R)))$의 정규 부분군 $E\triangleleft \operatorname {GL} (\infty ;R)$은 하나의 성분을 제외하고 다른 모든 성분이 모두 무한 단위 행렬을 이루는 원소들로부터 생성된다. 그렇다면, 기본군의 정규 부분군 $E$를 죽이는 플러스 연산을 가하여 위상 공간 $\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}$을 얻는다. 그렇다면, $i>0$에 대하여 $i$차 K군 $\operatorname {K} _{i}(R)$은 $\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}$의 $i$차 호모토피 군이다.

$\operatorname {K} _{i}(R)=\pi _{i}(\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+})\qquad (i>0)$

$i=0$일 경우 위 공식은 성립하지 않는다. ($\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}$는 항상 경로 연결 공간이다.) 환의 0차 K군 $\operatorname {K} _{0}(R)$는 독립적으로 간단히 정의될 수 있으며, 이 경우

$\pi _{i}(R)=\pi _{i}\left(\operatorname {B} (\operatorname {GL} (\infty ;R))^{+}\times \operatorname {K} _{0}(R)\right)$

로 정의할 수 있다. (여기서 $\operatorname {K} _{0}(R)$는 이산 위상을 준 위상군이다.)

퀼런 Q-구성

퀼런 완전 범주(Quillen完全範疇, 영어: Quillen exact category) ${\mathcal {E}}$는 아벨 범주 ${\mathcal {A}}$의 다음과 같은 충실충만한 가법 부분 범주이다.

• 확대에 대하여 닫혀 있다. 즉, ${\mathcal {A}}$ 속의 짧은 완전열 $0\to X\to Y\to Z\to 0$에서, 만약 $X,Z\in {\mathcal {E}}$라면 $Y\in {\mathcal {E}}$이다.

위와 같은 확대를 허용 가능 확대(영어: admissible extension)라고 하고, 허용 가능 확대의 단사 사상 $X\to Y$을 허용 가능 단사 사상(영어: admissible monomorphism), 허용 가능 확대의 전사 사상 $Y\to Z$를 허용 가능 전사 사상(영어: admissible epimorphism)이라고 한다.

퀼런 완전 범주 ${\mathcal {E}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 $\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})$는 다음과 같은 범주이다.

• $\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})$의 대상은 ${\mathcal {E}}$의 대상과 같다.
• $\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})$에서 $X,Y\in {\mathcal {E}}$ 사이의 사상은 ${\mathcal {E}}$에서의 그림 $X\twoheadleftarrow A\hookrightarrow Y$이다. 여기서 $A\in {\mathcal {E}}$는 임의의 대상, $\twoheadrightarrow$는 허용 가능 전사 사상, $\hookrightarrow$는 허용 가능 단사 사상이다.

이제, $\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})$의 신경 $\operatorname {nerve} (\operatorname {Q} ({\mathcal {E}}))$을 취하자. 이는 단체 집합이다. ${\mathcal {E}}$의 $i$차 K군(영어: K-group)은 $\operatorname {nerve} (\operatorname {Q} ({\mathcal {E}}))$의 (기하학적 실현의) $i+1$차 호모토피 군이다.

$\operatorname {K} _{i}({\mathcal {E}})=\pi _{i+1}(\operatorname {nerve} (\operatorname {Q} ({\mathcal {E}})))$

발트하우젠 S-구성

발트하우젠 범주(Waldhausen範疇, 영어: Waldhausen category) $({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {C}})$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\mathcal {C}}$는 영 대상을 갖는 범주이다.
• ${\mathfrak {W}}$는 ${\mathcal {C}}$의 사상들의 모임이다. 그 원소를 약한 동치(영어: weak equivalence)라고 한다. 이를 ${\xrightarrow {\sim }}$로 나타내자.
• ${\mathfrak {C}}$는 ${\mathcal {C}}$의 사상들의 모임이다. 그 원소를 쌍대올뭉치(영어: cofibration)라고 한다. 이를 $\hookrightarrow$로 나타내자.

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 동형 사상은 약한 동치이자 쌍대올뭉치이다.
• 영 대상으로부터의 사상 $0\to X$는 쌍대올뭉치이다.
• 쌍대올뭉치는 합성에 대하여 닫혀 있다.
• 임의의 $X\hookleftarrow Z\to Y$에 대하여, 밂 $X\cup _{Z}Y$으로 가는 표준적 사상 $Y\to X\cup _{Z}Y$는 쌍대올뭉치이다.
• 다음 가환 그림이 주어졌을 때, 유도 사상 $X\cup _{Z}Y\to {\tilde {X}}\cup _{\tilde {Z}}{\tilde {Y}}$는 약한 동치이다.

  ${\begin{matrix}X&\hookleftarrow &Z&\to &Y\\{\scriptstyle \wr }\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \wr &&\downarrow \scriptstyle \wr \\{\tilde {X}}&\hookleftarrow &{\tilde {Z}}&\to &{\tilde {Y}}\end{matrix}}$

발트하우젠 범주 ${\mathcal {C}}$ 및 자연수 $n\in \mathbb {N}$이 주어졌을 때, 다음과 같은 범주 ${\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})$을 생각하자.

• ${\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})$의 대상은 다음 조건을 만족시키는 대상 $X_{i,j}$ ($i\leq j$) 및 이들 사이의 적절한 사상으로 구성된다.
  • $X_{ii}=0$
  • 쌍대올뭉치의 열 $0=X_{0,0}\hookrightarrow X_{0,1}\hookrightarrow X_{0,2}\hookrightarrow \cdots \hookrightarrow X_{0,n}$이 존재한다.
  • $i\leq j\leq k$에 대하여, $X_{jk}$는 $0\leftarrow X_{i,j}\hookrightarrow X_{i,k}$의 밂이다.
• ${\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})$의 사상은 적절한 그림들을 가환 그림으로 만드는 ${\mathcal {C}}$-사상들의 열 $f_{i,j}\colon X_{i,j}\to Y_{i,j}$로 구성된다.

그렇다면, 각 ${\mathcal {S}}_{n}({\mathcal {C}})$ 역시 자연스럽게 발트하우젠 범주를 이룬다. 또한, 이들을 모두 모은 ${\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}})$는 자연스럽게 단체 범주(영어: simplicial category, (작은) 범주의 범주에서의 단체 대상)를 이룬다.

이 연산 ${\mathcal {S}}_{\bullet }(-)$을 거듭해서 가하자. 그렇다면, 일련의 단체 범주 ${\mathcal {C}},{\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}}),{\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {S}}_{\bullet }({\mathcal {C}})),\dots$들을 얻는다. 이들은 자연스럽게 스펙트럼 ${\mathcal {S}}({\mathcal {C}})$을 이룬다.

${\mathcal {C}}$의 K군들은 스펙트럼 ${\mathcal {S}}({\mathcal {C}})$의 안정 호모토피 군들이다.

낮은 차수의 K군

K₀

$R$가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 0차 K군 $\operatorname {K} _{0}(R)$는 $R$의 유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자 $\operatorname {Ring} \hookrightarrow \operatorname {Rng}$의 수반 함자를 사용해, 유사환 $S$에 단위원을 추가해 환 $R\cong S\oplus \mathbb {Z}$으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열

$0\to S\to R\to 0$

이 존재한다. 그렇다면 $S$의 K군 $K_{0}(S)$는 이에 의하여 유도되는 군 준동형

$K_{0}(R)\to K(\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

의 핵이다.

K₁

$R$가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 무한 일반선형군을 다음과 같은 귀납적 극한으로 정의하자.

$\operatorname {GL} (\infty ;R)=\varinjlim _{n\to \infty }\operatorname {GL} (n,R)$

그렇다면, 1차 K군 $\operatorname {K} _{1}(R)$는 무한 일반선형군의 아벨화이다.

$\operatorname {K} _{1}(R)=\operatorname {GL} (\infty ;R)^{\operatorname {ab} }=\operatorname {GL} (\infty ;R)/[\operatorname {GL} (\infty ;R),\operatorname {GL} (\infty ;R)]$

K₂

$R$가 (단위원을 가진) 환이라고 하자. 그렇다면, 일반선형군 $\operatorname {GL} (\infty ;R)$의 교환자 부분군 $[\operatorname {GL} (\infty ;R),\operatorname {GL} (\infty ;R)]$을 생각하자. 이는 완전군이며, 따라서 보편 중심 확대를 갖는다. 이 보편 중심 확대를 $R$의 스테인베르그 군(Steinberg群, 영어: Steinberg group) $\operatorname {St} R$라고 한다. 이는 로베르트 스테인베르그(루마니아어: Robert Steinberg, 1922~2014)가 도입하였다.

2차 K군 $\operatorname {K} _{2}(R)$는 $R$의 스테인베르그 군 $\operatorname {St} R$의 중심이다.

$\operatorname {K} _{2}(R)=\operatorname {Z} (\operatorname {St} R)$

예

유한체

유한체 $\mathbb {F} _{q}$의 K군은 다음과 같다.

$\operatorname {K} _{0}(\mathbb {F} _{q})=\mathbb {Z}$

$\operatorname {K} _{2i}(\mathbb {F} _{q})=0\qquad (i>0)$

$\operatorname {K} _{2i-1}(\mathbb {F} _{q})=\mathbb {Z} /(q^{i}-1)\qquad (i>0)$

정수환

정수환 $\mathbb {Z}$의 K군의 계산은 매우 어려운 문제이다.

$\operatorname {K} _{0}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$

$\operatorname {K} _{1}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2$

$\operatorname {K} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2$

$\operatorname {K} _{3}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /48$

$\operatorname {K} _{4}(\mathbb {Z} )$는 알려지지 않았으나, 아마 0일 것으로 추측된다.

역사

K이론의 시초는 알렉산더 그로텐디크에 의한 그로텐디크-리만-로흐 정리의 증명으로 여겨진다 (1956년). 곧 1950년대 말에 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.

세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 유한 생성 사영 가군이다. 이를 사용하여, 1962년에 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼(영어: Stephen Schanuel, 1934~2014)이 환의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다. 2차 K군의 정의는 존 밀너가 1970년에 발견하였다.

고차 K군의 정의는 대니얼 퀼런이 1970년대 초에 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성과 Q-구성을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.

이후 1985년에 프리트헬름 발트하우젠(독일어: Friedhelm Waldhausen, 1938~)이 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.

참고 문헌

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바깥 고리

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• “Algebraic K-theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Quillen Q-construction”. 《nLab》 (영어). 
  • “Quillen exact category”. 《nLab》 (영어). 
• “Waldhausen S-construction”. 《nLab》 (영어). 
  • “Waldhausen category”. 《nLab》 (영어). 
• “K-theory of a symmetric monoidal (∞,1)-category”. 《nLab》 (영어). 
• “K-theory of a permutative category”. 《nLab》 (영어). 
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• “K-theory of a stable (infinity,1)-category”. 《nLab》 (영어). 
  • “Waldhausen (infinity,1)-category”. 《nLab》 (영어). 
• “Motivation for algebraic K-theory” (영어). Math Overflow. 
• “Motivation/interpretation for Quillen's Q-construction” (영어). Math Overflow.