스펙트럼 (위상수학)

호모토피 이론에서 스펙트럼(영어: spectrum)은 일반화 코호몰로지 이론을 나타내는 위상수학적 구조이다. 서로 특정 연속 함수들로 연결된 점을 가진 공간들의 열로서 표현될 수 있다.

정의

스펙트럼 범주(영어: category of spectra)는 다음 조건들을 만족시키는 모형 범주 ${\mathcal {S}}$이다.

• 함자 $\Sigma ^{\infty }\colon \operatorname {Top} _{\bullet }\to {\mathcal {S}}$를 자연스럽게 갖추며, 이는 호모토피 범주의 함자 $\operatorname {hTop} _{\bullet }\to \operatorname {ho} ({\mathcal {S}})$를 유도한다. 또한 이는 오른쪽 수반 함자 $\Omega ^{\infty }\colon \operatorname {ho} ({\mathcal {S}})\to \operatorname {hTop} _{\bullet }$를 가진다.
• 현수 함자 $\Sigma \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$가 존재하며, 이는 자기 동치이다. 그 역을 $\Omega \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$라고 하자.
• 영 대상 · 유한 쌍대곱 · 유한 곱을 가지며, 가법 범주를 이룬다. (즉, 유한 쌍대곱과 곱이 일치한다.) 쌍대곱을 $\vee$ (쐐기합)이라고 쓰자.
• 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 또한, 이 닫힌 모노이드 범주 구조는 모형 범주 구조와 호환된다.
  • 텐서곱 연산을 $\wedge$ (분쇄곱)라고 쓴다.
  • 지수 대상을 $[-,-]$로 쓴다.
  • 모노이드 범주의 항등원은 $\mathbb {S}$ (초구 스펙트럼)라고 쓴다.
  • $[\mathbb {S} ,X]=\pi (X)$ (안정 호모토피 군)으로 쓴다.
• $\Sigma$에 대한 삼각 분할 범주를 이룬다.

이 조건들을 모두 만족시키는 모형 범주는 모두 서로 동형인 호모토피 범주를 유도한다. 따라서, 정확히 어떤 스펙트럼 범주를 사용하는지는 이론적으로 크게 중요하지 않다.

구성

스펙트럼 범주는 여러 방법으로 구성할 수 있다. 흔히 사용되는 구성들은 다음이 있다.

• S-가군(영어: S-module)의 범주. 이는 오퍼라드 이론을 사용하며 대수적이다.
• 직교 스펙트럼(영어: orthogonal spectrum)의 범주. 더 위상수학적이며, 직교군의 연속적 작용을 갖춘 위상 공간들로 구성된다. 위상 공간 대신 단체 집합을 사용하기 힘들다.
• 대칭 스펙트럼(영어: symmetric spectrum)의 범주. 대칭군의 작용을 갖춘 위상 공간 또는 단체 집합들로 구성된다.

이들 사이에는 다음과 같은 퀼런 동치가 존재한다. (퀼런 동치의 존재는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아님에 주의하자.)

준스펙트럼 ⇆ 대칭 스펙트럼 ⇆ 직교 스펙트럼 ⇆ S-가군

여기서 ${\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}$는 ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 방향의 함자 (왼쪽 퀼런 함자)가 쌍대올뭉치를 보존하고 ${\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ 방향의 함자(오른쪽 퀼런 함자)가 올뭉치를 보존한다는 뜻이다.

준스펙트럼

준스펙트럼(準spectrum, 영어: prespectrum)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 점을 가진 공간의 열 $(X_{i},x_{i})_{i\in \mathbb {N} })$
• 점을 보존하는 연속 함수 $(s_{i}\colon \Sigma X_{i}\to X_{i+1})_{n\in \mathbb {N} }$. 여기서 $\Sigma$는 축소 현수이다.

두 준스펙트럼이 유한 개의 성분을 제외하고 서로 동일하다면, 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.

점을 가진 공간 $X$에 대하여, 함자 $\Sigma ^{\infty }$를 다음과 같이 정의하자.

$\Sigma ^{\infty }X=(X,\Sigma X,\Sigma \Sigma X,\dots )$

여기서 함수 $s_{i}$는 모두 항등 함수이다.

두 준스펙트럼 $X_{\bullet }$, $Y_{\bullet }$ 사이의 사상 $f\colon X_{\bullet }\to Y_{\bullet }$은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수 $f_{i}\colon X_{i}\to Y_{i}$들의 열이다.

${\begin{matrix}\Sigma X_{i}&\to &X_{i+1}\\{\scriptstyle \Sigma f_{i}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f_{i+1}\\\Sigma Y_{i}&\to &Y_{i+1}\\\end{matrix}}$

준스펙트럼의 분쇄곱과 쐐기합을 성분별로 정의할 수 있다. 준스펙트럼의 분쇄곱은 일반적으로 결합 법칙을 따르지 않지만, 서로 다르게 괄호를 씌워 계산한 값은 항상 호모토피 동치이다. 준스펙트럼의 호모토피 범주는 닫힌 모노이드 범주를 이루며, 스펙트럼 범주의 호모토피 범주를 이룬다.

대칭 스펙트럼

대칭 스펙트럼은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 점을 가진 단체 집합들의 열 $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
• 대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$의 $X_{n}$ 위의 작용
• 각 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 점을 보존하는 사상 $\sigma _{n}\colon \mathbb {S} ^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}$. 이를 구조 사상이라고 한다. 이 경우 구조 사상으로부터 얻어지는 사상 $\mathbb {S} ^{m}\wedge X_{n}\to X_{m+n}$은 항상 $\operatorname {Sym} (m)\times \operatorname {Sym} (n)$-등변 함수이어야 한다 ($m>0$, $n\geq 0$).

대칭 스펙트럼 $X$, $Y$ 사이의 사상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 사상 $f\colon X_{n}\to Y_{n}$

이는 다음과 같은 그림들을 가환하게 만들어야 한다.

${\begin{matrix}X_{n}\wedge \mathbb {S} ^{1}&{\xrightarrow {f_{n}\wedge \mathbb {S} ^{1}}}&Y_{n}\wedge \mathbb {S} ^{1}\\\downarrow &&\downarrow \\X_{n+1}&{\xrightarrow[{f_{n+1}}]{}}&Y_{n+1}\end{matrix}}$

직교 스펙트럼

 이 부분의 본문은 직교 스펙트럼입니다.

대칭 스펙트럼의 개념과 유사하지만, 대칭ᄀᆍᆫ 대신 직교군을 사용한 개념을 직교 스펙트럼이라고 한다. (이 경우, 대칭군의 경우와 달리, 단체 집합 대신 위상 공간을 사용해야 한다.)

예

초구 스펙트럼

가장 기본적인 예는 초구 스펙트럼

$\mathbb {S} =\Sigma ^{\infty }(\mathbb {S} ^{0})$

이다. ($\mathbb {S} ^{0}$은 임의의 밑점을 가진 0차원 초구이다.) 이에 대하여 정의되는 코호몰로지는 안정 호모토피 군이다.

특이 코호몰로지

아벨 군 $G$ 계수의 특이 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{\bullet }(-;G)$는 브라운 표현 정리에 따라서 다음과 같다.

$\operatorname {H} ^{\bullet }(X;G)\cong [X,K(G,n)]_{\bullet }$

여기서 $[,]_{\bullet }$은 적절한 점을 가진 공간의 범주에서의 점 보존 호모토피류 집합이며, $K(G,n)$은 에일렌베르크-매클레인 공간이다.

에일렌베르크-매클레인 공간 사이에는 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다.

$\Omega K(G,n)\simeq K(G,n-1)$

따라서, 이들은 에일렌베르크-매클레인 스펙트럼 $\mathrm {H} G$를 이룬다. 준스펙트럼의 구조 사상

$\Sigma K(G,n-1)\to K(G,n)$

은 임의의 $X$에 대하여 사상

$\operatorname {H} ^{n-1}(X;G)=[X,\mathbb {S} ^{1}\wedge K(G,n-1)]\to [X,K(G,n)]=\operatorname {H} ^{n}(X;G)$

을 유도하는데, 이는 축소 현수의 코호몰로지 사상이다.

위상 K이론

 이 부분의 본문은 위상 K이론입니다.

위상 K이론 역시 스펙트럼으로 나타내어진다.

위상 공간의 현수 스펙트럼

점을 가진 CW 복합체 $(X,\bullet _{X})$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$X_{i}=\mathbb {S} ^{n}\wedge X$

를 정의하자 ($\wedge$는 분쇄곱). 즉,

$X_{0}=\mathbb {S} ^{0}\wedge X=X$

$X_{1}=\mathbb {S} ^{1}\wedge X=\Sigma X$ (축소 현수)

$X_{i+1}=\Sigma X_{i}$

이다. 이 경우 축소 현수의 표준적 사상 $X_{i}\to \Sigma X_{i}=X_{i+1}$이 주어져, 이는 준스펙트럼을 이룬다. 이를 $X$의 현수 스펙트럼(영어: suspension spectrum)이라고 한다.

참고 문헌

• Elmendorf, A. D.; Kříž, I.; Mandell, M. A.; May, J. Peter (1995). 〈Modern foundations for stable homotopy theory〉 (PDF). James, I. M. 《Handbook of algebraic topology》 (영어). North-Holland. 213–253쪽. doi:10.1016/B978-044481779-2/50007-9. ISBN 978-0-444-81779-2. MR 1361891. 

외부 링크

• “Spectrum of spaces”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Spectrum”. 《nLab》 (영어). 
• “Stable homotopy category”. 《nLab》 (영어). 
• “Connective spectrum”. 《nLab》 (영어). 
• “Coordinate-free spectrum”. 《nLab》 (영어). 
• “G-spectrum”. 《nLab》 (영어). 
• “Stable (infinity,1)-category of spectra”. 《nLab》 (영어). 
• “Highly structured spectrum”. 《nLab》 (영어). 
• “Smash product of spectra”. 《nLab》 (영어). 
• “Symmetric smash product of spectra”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on spectra”. 《nLab》 (영어). 
• “S-module”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on S-modules”. 《nLab》 (영어). 
• “Symmetric spectrum”. 《nLab》 (영어). 
  • “Model structure on symmetric spectra”. 《nLab》 (영어). 
• “Spectrum object”. 《nLab》 (영어).