직교 스펙트럼

호모토피 이론에서 직교 스펙트럼(直交spectrum, 영어: orthogonal spectrum)은 직교군의 등변 작용을 갖춘 스펙트럼의 일종이다. 이들의 범주는 분쇄곱을 가져 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 그 속에서 환 스펙트럼이 잘 정의된다.

정의

$\operatorname {CGWH}$가 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주라고 하자. 이는 (모든 위상 공간의 범주와 달리) 데카르트 닫힌 범주를 이룬다. 이 범주에 대하여, 점을 가진 공간의 범주

$\operatorname {CGWH} _{\bullet }=\operatorname {CGWH} \backslash \{\bullet \}$

를 한원소 공간 $\{\bullet \}$ 위의 쌍대 조각 범주로서 취할 수 있다. 이제, 곱공간과 분쇄곱 연산은 이 범주에서 취한다고 하자.

$G$가 다음 세 가지 가운데 하나라고 하자.

이름	$G(n)$	$\mathbb {K}$	$k=\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {K}$	$G$구조 스펙트럼의 이름
직교군	$\operatorname {O} (n)$	$\mathbb {R}$ 실수체	1	직교 스펙트럼(영어: orthogonal spectrum)
유니터리 군	$\operatorname {U} (n)$	$\mathbb {C}$ 복소수체	2	유니터리 스펙트럼(영어: unitary spectrum)
콤팩트 심플렉틱 군	$\operatorname {USp} (2n)=\operatorname {Sp} (n)$	$\mathbb {H}$ 사원수 대수	4	심플렉틱 스펙트럼(영어: symplectic spectrum)

다음과 같은 범주 ${\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }$를 생각하자.

• ${\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }$의 대상은 유한 차원 $\mathbb {K}$-내적 공간이다.
• ${\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }$의 사상은 같은 차원의 내적 공간 사이의 유니터리 변환들이다. 즉, 그 사상 집합은 $\hom _{{\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}(V,V)\cong G(\dim _{\mathbb {K} }V)$이다.

이는 내적 공간의 직합에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 실수 $nk$차원 유클리드 공간 $V$의 알렉산드로프 콤팩트화 ${\hat {V}}$는 $nk$차원 초구 $\mathbb {S} ^{nk}$이며, 이에 따라 함자

${\hat {\color {White}m}}\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {CGWH} _{\bullet }$

가 존재한다. (밑점은 알렉산드로프 콤팩트화에 의하여 추가된 점이다.)

이 경우, $G$구조 스펙트럼(영어: spectrum with $G$-structure) $X$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^{:Definition 7.2}

• 함자 $X\colon {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }\to \operatorname {CGWH} _{\bullet }$. $n$차원 내적 공간의 상을 $X(n)=X(\mathbb {K} ^{n})\in \operatorname {CGWH} _{\bullet }$이라고 하자. 특히, $X(n)$ 위에는 $\operatorname {Aut} _{{\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }}(\mathbb {K} ^{n})=G(n)$의 연속 작용이 주어진다.
• 각 $V,W\in {\mathcal {V}}_{\mathbb {K} }$에 대하여, 밑점을 보존하는 연속 함수 $f_{V,W}\colon {\hat {V}}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)$. 이를 구조 사상(構造寫像, 영어: structure map)이라고 한다. 이는 또한 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
  • (등변성) $f_{V,W}\colon {\hat {V}}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)$는 $G(V)\times G(W)$의 작용에 대하여 등변 함수이다.
  • (항등원) $f_{0,V}=\operatorname {id} _{X(V)}$ (항등 함수)
  • (결합성) $f_{W,U\oplus V}\circ f_{V,U}=f_{W\oplus V,U}\colon {\widehat {W\oplus V}}\wedge X(U)\to X(W\oplus V\oplus U)$이다. (여기서 초구의 분쇄곱 사이의 표준적 사상 ${\widehat {W\oplus V}}\cong {\widehat {W}}\wedge {\hat {V}}$를 사용하였다.)

두 직교 스펙트럼 $X$, $Y$ 사이의 사상은 구조 사상과 호환되는 자연 변환 $f\colon X\to Y$이다. 여기서 구조 사상과 호환된다는 것은 다음 그림이 가환한다는 것이다.

${\begin{matrix}X(V)\wedge \mathbb {S} ^{k}&{\xrightarrow {f_{V}\wedge \mathbb {S} ^{k}}}&Y(V)\wedge \mathbb {S} ^{k}\\\downarrow &&\downarrow \\X(V\oplus \mathbb {K} )&{\xrightarrow[{f_{V\oplus \mathbb {K} }}]{}}&Y(V\oplus \mathbb {K} )\end{matrix}}$

$\mathbb {K} =\mathbb {R}$일 때, 직교군 구조 스펙트럼을 줄여서 직교 스펙트럼이라고 한다. 마찬가지로, $\mathbb {K} =\mathbb {C}$인 경우는 유니터리 스펙트럼, $\mathbb {K} =\mathbb {H}$인 경우는 심플렉틱 스펙트럼이다.

성질

대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$은 $\operatorname {O} (n)$의 부분군이므로, 직교 스펙트럼은 (추가 구조를 갖춘) 대칭 스펙트럼이다.

직교 스펙트럼 $X$의 안정 호모토피 군(영어: stable homotopy group)은 다음과 같다.

$\pi _{\bullet }(X)=\varinjlim _{n\to \infty }\pi _{\bullet +n}(X(\mathbb {R} ^{n}))$

직교 스펙트럼 사이의 약한 동치(영어: weak equivalence)는 안정 호모토피 군의 동형을 유도하는 직교 스펙트럼 사상이다. 이에 따라 직교 스펙트럼의 범주 위에는 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따른 호모토피 범주는 다른 스펙트럼 범주의 호모토피 범주와 동치이다.

예

현수 스펙트럼

임의의 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$X(V)={\hat {V}}\wedge X$

를 정의하고, 그 위의 $G(V)$ 작용은 $V$ 위의 작용으로부터 유도된다고 하자. 그 위의 구조 사상은 초구의 분쇄곱 사이의 동형으로부터 유도된다. 그렇다면, 이는 $G$구조 스펙트럼을 이룬다. 이를 $X$의 현수 스펙트럼(영어: suspension spectrum)이라고 한다.

특히, $X=\mathbb {S} ^{0}$(0차원 초구 = 크기 2의 이산 공간)일 때, 이를 초구 스펙트럼(영어: sphere spectrum)이라고 한다.

자유 직교 스펙트럼

임의의 유한 차원 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $V$에 대하여, $V$차 성분을 고르는 함자

$U_{V}\colon \operatorname {Spectrum} _{G}\to \operatorname {CGWH} _{G}$

$U_{V}\colon X\mapsto X(V)$

가 존재한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자

$F_{V}\colon \operatorname {CGWH} _{G}\to \operatorname {Spectrum} _{G}$

$F_{V}\dashv U_{V}$

를 가지며, 구체적으로

$(F_{V}X)(V\oplus W)=G(V\oplus W)_{+}\wedge _{G(W)}X\wedge {\widehat {W}}$

$(F_{V}X)(W)=\{\bullet \}\qquad (\dim W<\dim V)$

이다.^:§7.1

톰 스펙트럼

 이 부분의 본문은 톰 스펙트럼입니다.

실수에 대한 톰 스펙트럼 $\operatorname {MO}$은 자연스럽게 직교 스펙트럼을 이룬다. 마찬가지로 $\operatorname {MU}$는 유니터리 스펙트럼을 이룬다.

외부 링크

• “Orthogonal spectrum”. 《nLab》 (영어). 
• “Model structure on orthogonal spectra”. 《nLab》 (영어). 
• “Free spectrum”. 《nLab》 (영어). 
• “Orthogonal ring spectrum”. 《nLab》 (영어).