기하학에서 유클리드 군(Euclid群, 영어: Euclidean group)은 유클리드 공간의 등거리 변환들로 구성된 리 군이다. 즉, 거리와 각도가 정의되지만, 원점이 정의되지 않는 유클리드 공간의 대칭군이다. 아벨 리 군(병진 변환)과 직교군(회전)의 반직접곱이다.
유클리드 군(영어: Euclidean group)
은 다음과 같은 리 군 반직접곱이다.
![{\displaystyle \operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ad35d53b944c3028080aa04a6b2165d1d66765)
여기서 직교군
의
위의 작용은 다음과 같은,
행렬의
차원 벡터 위의 작용이다.
![{\displaystyle \operatorname {O} (n)\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd308a60e8c842a5edc6fcc86248a1fcaacaa57d)
![{\displaystyle R\mapsto (\mathbf {x} \mapsto R\mathbf {x} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb4a7cadba77c2ea1f3371e828130d6f097ee63)
이는 유클리드 공간의 등거리 변환
들의 위상군과 같다.
마찬가지로, 특수 유클리드 군(特殊Euclid群영어: special Euclidean group)
은 직교군 대신 특수 직교군을 사용한 다음과 같은 리 군 반직접곱이다.
![{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e87a77f0d9d9c11c556fae93f96d1a7d0b6a83)
과
은 각각
및
으로 표기하기도 한다.
유클리드 대수[편집]
유클리드 대칭군
(또는
)의 리 대수는 유클리드 대수(Euclid代數, 영어: Euclidean algebra)
이라고 한다. 그 생성원은 다음과 같다. (물리학 관례에 따라
를 추가하여 적었다.)
(병진 이동)
(회전)
이들의 리 괄호는 다음과 같다.
![{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fc7c4a468ce7fa72d4ce1a447632324337ff52)
![{\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i\left(\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf07b5674053d5974e90299698af4f36cc6dd57)
![{\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i\left(\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba74e7d029ee71a7ffdbc6f4ec13ce46bc8a680)
위상수학적 성질[편집]
과
은 둘 다
차원 리 군이다.
은 연결 공간이며,
은 두 개의 연결 성분을 갖는다.
은
의 두 연결 성분 가운데 항등원을 포함하는 성분이다.
반직접곱 표현에 따라,
은
과 미분 동형이다. 특히, 유클리드 군의 기본군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {ISO} (n))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (n))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&n\geq 3\\\mathbb {Z} &n=2\\1&n=1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33502ecf23c421d718590ac7ab7419529286a8c1)
일 경우, 그 2겹 범피복군
을 정의할 수 있다.
일 경우, 그 범피복군은 무한겹이다.
리 이론적 성질[편집]
유클리드 대수의 2차 리 대수 코호몰로지는 자명하다. 즉, 유클리드 군의 범피복군은 중심 확대를 갖지 않는다.
2차원 유클리드 군
는 비안키 분류의 VII0에 해당한다.
단위 등거리성[편집]
베크먼-퀄스 정리(영어: Beckman–Quarles theorem)에 따르면,
일 때 함수
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[1][2][3]
는 전단사 등거리 변환이다.
는 (전사가 아닐 수 있는) 등거리 변환이다.
- (단위 길이 등거리성) 임의의
에 대하여, 만약
이라면,
이다.
일 경우, 처음 두 조건은 동치이지만 세 번째 조건은 처음 둘보다 더 약하다. 예를 들어,
![{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fadf3927293c3bb66c6bb34668923799af3484b7)
![{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}x+1&x\in \mathbb {Z} \\x&x\in \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00dea3ef936b15d8d3150c57aac330b030ea2e9)
는 세 번째 조건을 만족시키지만, 등거리 변환이 아니다. 또한, 베크번-퀄스 정리는 무한 차원 힐베르트 공간에서도 성립하지 않는다.
원소의 분류[편집]
유클리드 군
의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 적을 수 있다.
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedfe8fbd4f4cf7ee069b4200e65cd7d2657279f)
![{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto R\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\qquad R\in \operatorname {O} (n),\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b705aad76d8c5b011540db9bdce1aa8e9753b7b7)
만약
라면 이는 고정점 집합
를 갖고, 아니라면 고정점을 갖지 않는다. 또한,
인데, 만약
이라면 이는 방향을 보존하고,
이라면 이는 방향을 보존하지 않는다.
인 경우 고정점 집합을 회전축(回轉軸, 영어: axis of rotation)이라고 하며,
인 경우 고정점 집합을 반사 초평면(反射超平面, 영어: hyperplane of reflection)이라고 한다.
유클리드 군의 원소들은 방향의 보존 여부와 고정점의 유무에 따라 다음과 같이 4종류로 분류된다.
각각의 설명은 다음과 같다.
- 회전(回轉, 영어: rotation):
이며
인 경우. 이 경우, 고정점 집합
를 회전축(영어: rotation axis)이라고 한다. 만약
이 짝수라면 짝수 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전축이 0차원이라면, 이를 회전 중심(영어: center of rotation)이라고 한다. 고정점 집합은 회전축이다.
- 고정점 집합이
전체인 경우는 항등 함수이다. 이는 회전의 자명한 경우이다.
- 회전 평행 이동(回轉平行移動, 영어: rototranslation):
이며
인 경우. 이 경우,
를 회전 초평면(영어: rotation hyperplane)이라고 하며, 이는
이 짝수라면 짝수 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전 초평면에 수직인 성분
를 평행 이동 벡터(영어: translation vector)라고 한다. 이 경우 고정점은 없다.
- 특히,
인 경우(즉,
인 경우)를 평행 이동(平行移動, 영어: translation)이라고 한다. 2차원 이하에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다.
- 반사(反射, 영어: reflection):
이며
인 경우. 이 경우, 고정점 집합
를 반사의 반사 초평면(영어: reflection hyperplane)이라고 한다. 반사 초평면은
이 짝수일 경우 홀수 차원이며,
이 홀수일 경우 짝수 차원이다.
- 미끄러짐 반사(-反射, 영어: glide reflection):
,
,
. 이는 반사와 평행 이동의 합성이다. 고정점은 없다. 마찬가지로, 아핀 부분 공간
을 미끄러짐 반사의 반사 초평면이라고 하며, 이는
이 짝수일 경우 홀수 차원이며,
이 홀수일 경우 짝수 차원이다. 이는 2차원 이상에서만 존재한다.
,
인 경우를 반전 변환(영어: parity reversal)이라고 한다. 이는
이 짝수일 때 회전이며, 홀수일 때 반사이다.
1차원[편집]
1차원에서 회전은 항등 함수밖에 없으며, 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이며, 미끄러짐 반사는 존재하지 않는다. 회전축은 1차원이며, 반사 초평면은 0차원이다. 1차원 유클리드 공간을 실직선으로 나타내면, 등거리 변환은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle x\mapsto \sigma x+a\qquad (\sigma \in \{\pm 1\},a\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf196f7099694d07bca0b692fb647c9e660f3000)
,
인 경우는 항등 함수이다. 이는 자명한 회전이다.
,
인 경우는
만큼의 평행 이동이다.
인 경우는 반사이며, 반사 초평면은
이다.
2차원[편집]
2차원에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다. 회전축은 0차원 또는 2차원이며, 반사 초평면은 모두 1차원이다. 2차원인 경우는 항등 함수이며, 0차원인 경우 회전축을 회전 중심(영어: center or rotation)이라고 한다.
2차원 유클리드 공간은 복소평면
으로 간편하게 나타낼 수 있다. 이 경우, 2차원 유클리드 공간의 등거리 변환은 다음과 같이 나타내어진다. 아래 표에서
는 절댓값이 1인 복소수이다.
평행 이동
|
, ![{\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a984ee46e4f523befada853f794acfa579cfaa3) |
평행 이동 벡터는
|
회전
|
![{\displaystyle z\mapsto \alpha (z-z_{0})+z_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219bd5d794b46f7a11e5cab68670859ebbb08e44) |
회전 각도는 일 때 시계 반대 방향으로 라디안
|
반사
|
![{\displaystyle z\mapsto \alpha ({\bar {z}}-{\bar {z}}_{0})+z_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689e17235add2171417f9a3b29ffbc5f536d49d4) |
반사축은 이다.
|
미끄러짐 반사
|
, ![{\displaystyle w\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed8aa448d2aba90b9c07ff76b9be4658b785261) |
반사축 에서 반사한 뒤, 만큼 평행 이동
|
3차원[편집]
3차원에서, 회전의 회전축은 1차원 또는 3차원이며, 반사의 반사 초평면은 0차원 또는 2차원이다. 회전축이 3차원인 경우는 항등 함수인 경우이다. 반사 초평면이 0차원인 경우는 회전 반사(回轉反射, 영어: rotoreflection)인 경우이며, 2차원인 경우는 반사 평면(영어: plane of reflection)이라고 한다.
유클리드 군은 반직접곱
이며,
은 아벨 리 군이다. 따라서, 모든 복소수 기약 표현은
의 복소수 기약 표현의 유도 표현이다.
구체적으로, 유클리드 대수
의 보편 포락 대수의 중심 원소는 다음이 있다. 이들은 슈어 보조정리에 따라, 기약 표현에서 항등 함수의 스칼라배로 표현된다.
. 유니터리 표현의 경우 이는 양수이거나 0이다. 이를
로 쓰자.
은 유클리드 계량 부호수에서의 질량에 해당한다.
(파울리-루반스키 벡터의 제곱 노름)
의
위의 작용에서, 궤도는 카시미르 불변량
에 의하여 분류된다. 이 경우, 안정자군은
(무질량)인 경우와
(유질량)인 경우가 다르다.
유질량[편집]
일 경우, 평행 이동군
은
공간에 추이적으로 작용한다. 이러한 경우 안정자군은
이다. 따라서, 유니터리 표현은
의 유니터리 기약 표현으로부터 유도된다.
무질량[편집]
일 경우, 안정자군은
전체이다. 따라서, 유니터리 표현은
의 유니터리 기약 표현으로부터 유도된다.
- ↑ Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953), “On isometries of Euclidean spaces”, 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 4: 810–815, doi:10.2307/2032415, MR 0058193
- ↑ Townsend, Carl G. (1970), “Congruence-preserving mappings”, 《Mathematics Magazine》 (영어) 43: 37–38, doi:10.2307/2688111, MR 0256252
- ↑ Bishop, Richard L. (1973), “Characterizing motions by unit distance invariance”, 《Mathematics Magazine》 (영어) 46: 148–151, doi:10.2307/2687969, MR 0319026
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]