공간군

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수학결정학에서, 공간군(space group)이란 결정 구조의 대칭성을 수학적으로 기술한 것이다.

정의[편집]

3차원에서의 공간군은 (7 결정계에 속한) 14 브라베이 격자와 32 결정학적 점군의 조합으로 이루어진다. 따라서 공간군은 lattice centering과 점군의 회전, 반사, 회전반전 대칭 조작을 갖는 단위 격자의 병진대칭(반복)으로 나타난다. 더욱이, 공간군에서는 점군과 달리 병진의 요소가 있기 때문에 점군에 없는 대칭 조작이 나타나는데, 회전 조작과 병진이 결합한 나사축과 반사 조작과 병진이 결합한 미끄럼면이 바로 그것이다. 이 대칭 조작들의 조합으로 결정이 가질 수 있는 230개의 공간군을 모두 표현할 수 있다.

미끄럼면과 나사축[편집]

공간군을 구성하는 대칭 조작들 중에 2가지는 브라베이 격자점군의 대칭 조작과 대응하지 않는다. 이 2가지를 각각 미끄럼면과 나사축이라고 한다.

어떤 한 면에 대해 평행하게 병진하면서 반사 조작이 나타나는 경우 이 면을 미끄럼면이라고 한다. 이 면은 병진이 일어나는 축에 따라 ab, 혹은 c로 나타낸다. nd미끄럼면도 있는데, n은 대각선 방향으로 단위 격자의 대각선 길이의 1/2만큼 병진하는 미끄럼면을 나타내고, d미끄럼면은 대각선 방향으로 1/4만큼 병진하는 미끄럼면을 나타낸다. d미끄럼면은 '다이아몬드 미끄럼면'이라고도 하는데 그 이유는 다이아몬드의 결정구조에서 볼 수 있기 때문이다.

어떤 한 축을 따라 회전 조작과 병진이 함께 나타날 때 그 축을 나사축이라고 한다. 나사축은 회전의 정도를 나타내는 숫자와 병진을 나타내는 숫자로 표현한다. 앞의 숫자는 몇 번 회전 조작을 하였을 때 1회전이 되는가를 표현한다(즉, 3이라면 3번 회전 조작을 해야 360도 회전하게 된다는 것을 나타낸다.). 병진의 정도는 그 뒤에 작게 표시하는데, 한 번의 회전 조작을 할 때(반시계방향임을 유의) 얼마나 병진하는지 격자벡터에 대한 비율로 표현한다. 예를 들어 21은 한 번 회전 조작을 할 때 격자벡터의 1/2만큼 병진하는 2회전 나사축을 말하며, 65는 한 번에 격자 벡터의 5/6 만큼 병진하는 6회전 나사축을 나타낸다.

표현[편집]

공간군을 식별하는 방법에는 여러가지가 있다. 국제 결정학 연합은 모든 공간군에 각각 다른 번호를 붙인 표를 출판한 바 있다. 이와 다른 도식으로는 헤르만-모갱 표기법쇤플리스 표기법이 많이 쓰인다.

헤르만-모긴(혹은 국제) 표기법은 4개의 기호로 구성되어있으며 결정학에서 가장 일반적으로 쓰이는 표기법이다. 첫 번째 기호는 브라베이 격자에서의 lattice centering을 나타내며 그 뒤에 있는 3개의 기호는 대칭성이 높은 방향을 따라 투영하였을 때 나타나는 (두드러진)대칭 조작을 표현한다. 뒤 3개의 기호는 점군의 표현과 동일한데, 나사축과 미끄럼면의 표현이 추가된 것이다. 예를 들어 석영의 공간군은 P3121로 표현되는데, P는 격자종류(Primitive cell)를 나타내고, 3121에서 3회전 나사축과 2회전축을 갖고 있음을 알 수 있다. 여기서 이 공간군이 어느 결정계에 포함되는지 명백하게 나타나지는 않는다는 것을 주의한다. 그러나 뒤 3개의 점군을 나타내는 기호를 보면 쉽게 알 수 있다.(P3121의 경우 삼방정계에 포함된다.)

3차원 공간군 목록[편집]

결정족 # 삼사정계
1 1 P1  
\bar1 2 P\bar1  
    단사정계
2 3-5 P2 P21 C2  
m 6-9 Pm Pc Cm Cc  
2/m 10-15 P2/m P21/m C2/m P2/c P21/c C2/c  
    사방정계
222 16-24 P222 P2221 P21212 P212121 C2221 C222 F222 I222
I212121  
mm2 25-46 Pmm2 Pmc21 Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2 Pmn21 Pba2
Pn21 Pnn2 Cmm2 Cmc21 Ccc2 Amm2 Abm2 Ama2
Aba2 Fmm2 Fdd2 Imm2 Iba2 Ima2  
mmm 47-74 Pmmm Pnnn Pccm Pban Pmma Pnna Pmna Pcca
Pbam Pccn Pbcm Pnnm Pmmn Pbcn Pbca Pnma
Cmcm Cmca Cmmm Cccm Cmma Ccca Fmmm Fddd
Immm Ibam Ibca Imma  
    정방정계
4 75-80 P4 P41 P42 P43 I4 I41  
\bar4 81-82 P\bar4 I\bar4  
4/m 83-88 P4/m P42/m P4/n P42/n I4/m I41/a  
422 89-98 P422 P4212 P4122 P41212 P4222 P42212 P4322 P43212
I422 I4122  
4mm 99-110 P4mm P4bm P42cm P42nm P4cc P4nc P42mc P42bc
I4mm I4cm I41md I41cd  
\bar42m 111-122 P\bar42m P\bar42c P\bar421m P\bar421c P\bar4m2 P\bar4c2 P\bar4b2 P\bar4n2
I\bar4m2 I\bar4c2 I\bar42m I\bar42d  
4/mmm 123-142 P4/mmm P4/mmc P4/nbm P4/nnc P4/mbm P4/nnc P4/nmm P4/ncc
P42/mmc P42/mcm P42/nbc P42/nnm P42/mbc P42/mnm P42/nmc P42/ncm
I4/mmm I4/mcm I41/amd I41/acd
    삼방정계
3 143-146 P3 P31 P32 R3  
\bar3 147-148 P\bar3 R\bar3  
32 149-155 P312 P321 P3112 P3121 P3212 P3221 R32  
3m 156-161 P3m1 P31m P3c1 P31c R3m R3c  
\bar3m 162-167 P\bar31m P\bar31c P\bar3m1 P\bar3c1 R\bar3m R\bar3c  
    육방정계
6 168-173 P6 P61 P65 P62 P64 P63  
\bar6 174 P\bar6  
6/m 175-176 P6/m P63/m  
622 177-182 P622 P6122 P6522 P6222 P6422 P6322  
6mm 183-186 P6mm P6cc P62cm P63mc  
\bar6m2 187-190 P\bar6m2 P\bar6c2 P\bar62m P\bar62c  
6/mmm 191-194 P6/mmm P6/mcc P63/mcm P63/mmc  
    입방정계
23 195-199 P23 F23 I23 P213 I213  
m\bar3 200-206 Pm\bar3 Pn\bar3 Fm\bar3 Fd\bar3 I\bar3 Pa\bar3 Ia\bar3  
432 207-214 P432 P4232 F432 F4132 I432 P4332 P4132 I4132
\bar43m 215-220 P\bar43m F\bar43m I\bar43m P\bar43n F\bar43c I\bar43d  
m\bar3m 221-230 Pm\bar3m Pn\bar3n Pm\bar3n Pn\bar3m Fm\bar3m Fm\bar3c Fd\bar3m Fd\bar3c
Im\bar3m Ia\bar3d

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

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