대수기하학에서 군 스킴(群scheme, 영어: group scheme, 프랑스어: schéma en groupe)은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다.
군 스킴은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.
스킴
가 주어졌다고 하자.
위의 군 스킴은 스킴의 범주의 조각 범주
속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
는
-스킴이다.
는
-스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
는
-스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
는
-스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.
이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.
스킴
위의 군 스킴은 다음 조건을 만족시키는 함자
![{\displaystyle G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a437a9f33436c3224d3a2c942dcc7c3476c0ae)
이다.
는 표현 가능 함자이다. 즉,
가 되는
-스킴
가 존재한다.
여기서
![{\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e960bd2d79aa0e7f015b5b15a7901954f99b25)
는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다.
이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로,
속의 군 대상
가 주어졌을 때, 표현 가능 함자
는 둘째 정의에 부합한다.
스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자
![{\displaystyle \operatorname {Sch} \to \operatorname {Top} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f83be4eb31759d46a87fa1a25cbeff8ea02e4e)
를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다.
반면, 임의의 체
에 대하여,
위의 군 스킴
의
-유리점의 집합
을 취할 수 있다. 이 경우,
![{\displaystyle (G\times _{\operatorname {Spec} K}G)(K)=G(K)\times _{\operatorname {Set} }G(K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a71b94f84488cb54ba5a0f4f76444432333f7241)
이므로, 집합
위에는 군의 구조가 존재한다.
복소수체
위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.
스킴
위의 군 스킴
은 스킴으로서 원점을 제거한
-아핀 직선
이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0b687a6f76983d6d92ee87892ee1d85af2208e)
![{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac094488cb4c834bed2637827e53987e9e880db1)
여기서
는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며,
는 구조층
의 가역원군층이다. 특히, 만약
가 아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은
계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다.
![{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\cong \operatorname {Spec} [x,x^{-1}]=\operatorname {Spec} R[x,y]/(xy-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df04dc138136f960342e0843ca2911c4b4f40201)
이 경우, 군 이항 연산
![{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\times _{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d89dadb7f1422916ce436e6cecf2109565e07b6)
은 다음과 같은
-결합 대수의 준동형에 대응한다.
![{\displaystyle R[x,x^{-1}]\to R[y,y^{-1},z,z^{-1}]=R[y,y^{-1}]\star _{R}R[z,z^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f58544946e71d7f8acd9a2e8f07680b62137840)
![{\displaystyle x\mapsto yz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7dcfb30851aedfba477043ecce251d0eee5958)
마찬가지로, 항등원
![{\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a551395793fa0a7e9a939194c6eeb2beca973f)
은 다음과 같은
-결합 대수의 준동형에 대응한다.
![{\displaystyle R[x,x^{-1}]\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba57fb9a7a31e06e8824ed9c0f256aca035bbc4)
![{\displaystyle x\mapsto 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8204ad49e975d5a38dff1f463db664ec89a787)
이는 로랑 다항식환
의 호프 대수 구조에서 유래한다.
보다 일반적으로, 스킴
위의 일반 선형군 스킴(一般線型郡scheme, 영어: general linear group scheme)
는 함자로서 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec547321e91397a42a4d18b6d8cc22dca992cb3f)
![{\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \operatorname {Mat} (n;\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f602395e029f0849c2a2f5ab2b611a359c527d5a)
여기서
는 행렬환을 뜻한다. 이 경우
이다.
스킴
위의 군 스킴
는 스킴으로서
-아핀 직선
이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067f37e5726d4e8504bfe02286f1e962a4202384)
![{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a34abce912feb835aaee02641af80ad118aad2)
여기서
는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다.
특히, 만약
가 아핀 스킴이라면,
이다. 이 경우, 군의 이항 연산
![{\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\times _{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206ffa4755fe065012810229a4bcb298c7321188)
은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.
![{\displaystyle R[x]\to R[y,z]=R[y]\star _{R}R[z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710c81f54622fafb9ac550c153cc39ec08b41dd4)
![{\displaystyle x\mapsto y+z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7dc87f1c153370b401f069b799fe511e44d871)
군의 항등원 사상
![{\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64b3b81fea897651396fda3a6223881f38cfae39)
은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.
![{\displaystyle R[x]\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d737e368df52290adc8ecaa8b45bc3f81a696de6)
![{\displaystyle x\mapsto 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5f3b528f8d3d111db4095bc0e2d328cb1f11f4)
양의 정수
에 대하여, 1의
제곱근 군 스킴(영어: group scheme of
th roots of unity)
은
제곱 사상
의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9beae120e0d9d9eed42ff1a707e4af03722f71b)
![{\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to \{s\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\colon s^{n}=1_{\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9834d0ef5fab250de0a5a66e3ad35060b3ea594b)
특히, 만약
가 아핀 스킴이라면,
이다.
군
가 주어졌다고 하자. 스킴
위의 상수 군 스킴(영어: constant group scheme)
는 스킴으로서 분리합집합
이다 (즉, 위상 공간으로서
에 이산 위상을 준다면
이다). 그 위의 군 스킴의 구조는
의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle G_{S}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275baffec95f7b62d47e1ebfa3c880f9cedc411c)
![{\displaystyle G_{S}\colon X\mapsto G^{\times \operatorname {conn\,comp} (X)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666d6426aee9bddf63d10b912f06fc4a45e00fb3)
여기서
는
의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다.
특히,
가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘
는
위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든
위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.
아벨 군
가 주어졌다고 하자. 스킴
위의 대각화 가능 군 스킴(영어: diagonalizable group scheme)
는 함자로서 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Diag} (G)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1955546369de3f41b2bcc3f66628d7c7150e672)
![{\displaystyle \operatorname {Diag} (G)\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \hom _{\operatorname {Ab} }\left(G,(\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})^{\times }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9adc7139af957d32f458d851be0838414b8a120)
만약
가 아핀 스킴이라면,
는 군환
의 스펙트럼이다.
가환환
위의 가환 호프 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼
는 표준적으로
-군 스킴을 이룬다. 반대로,
위의 모든 아핀 군 스킴은
위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다.
군 스킴 |
호프 대수
|
곱
|
쌍대곱
|
항등원
|
쌍대항등원
|
역원
|
앤티포드
|
-스킴의 구조 사상
|
항등원
|
대각 사상
|
곱
|
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