환론에서, 가군의 근기(根基, 영어: radical 래디컬[*])는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 주각(柱脚, 영어: socle 소클[*])은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다.
환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 제이컵슨 근기(Jacobson根基, 영어: Jacobson radical)라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.
환
위의 왼쪽 가군
이 주어졌다고 하자.
의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 극대 부분 가군이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군
은
이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로,
의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 극소 부분 가군(영어: minimal submodule)이라고 하자.
환
위의 왼쪽 가군
이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 근기(根基, 영어: radical)
와 주각(柱脚, 영어: socle)
을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.
왼쪽 가군
의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은
의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를
의 근기
라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는
과 같다.) 왼쪽 가군
의 모든 극소 부분 가군들의 합은
의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를
의 주각
이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.
환
를 스스로 위의 왼쪽 가군
또는 오른쪽 가군
으로 생각할 수 있다. 이 경우,
와
의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.
와
의 근기는
의 동일한 부분 집합을 정의한다.
![{\displaystyle \operatorname {rad} (_{R}R)=\operatorname {rad} (R_{R})\subseteq R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ecfad0f9015f48b1bbf65106300766028d814f0)
이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며,
의 제이컵슨 근기(영어: Jacobson radical)라고 한다.
근기의 경우와 달리, 일반적으로
(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과
(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를
의 왼쪽 주각(영어: left socle) 및 오른쪽 주각(영어: right socle)이라고 한다.
임의의
-가군 준동형
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle f(\operatorname {rad} M)\subseteq \operatorname {rad} N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/621caed7d66e90235648989858feb17f2b79e2cb)
![{\displaystyle f(\operatorname {soc} M)\subseteq \operatorname {soc} N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b925d45dea3353b31d26abb241cb6feb9e907ae)
모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군
의 경우
이다.
가군의 (유한 또는 무한) 직합
![{\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee3cc39cb36591bf5094353c4e860e9e5368bae6)
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {soc} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {soc} M_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79d6d706e556896d6ab08afdb0feff1505d1f82)
![{\displaystyle \operatorname {rad} M\cong \bigoplus _{i\in I}\operatorname {rad} M_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5e413be25b6173ae30f753f9ac8fccb7098430)
모든 왼쪽 가군
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {rad} \left(_{M}R/\operatorname {rad} (_{R}M)\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd41514c298504629b6d1482d5f50dcdc4381f8)
![{\displaystyle \operatorname {soc} \left(\operatorname {soc} (_{R}M)\right)=\operatorname {soc} (_{R}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b328c9142996056ceb89b2454b952bb21bd2355)
왼쪽 가군
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 반단순 가군이다.
이다.
환
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 반단순환이다.
이다.
이다.
- 모든 왼쪽 가군
에 대하여
이다.
- 모든 오른쪽 가군
에 대하여
이다.
환
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 반원시환이다.
이다.
제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환
의 경우
이다.
환
의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.
환
위의 왼쪽 가군
이 주어졌다고 하자.
는 아이디얼이므로,
![{\displaystyle (\operatorname {rad} R)M=\left\{r_{1}m_{1}+r_{2}m_{2}+\cdots +r_{k}m_{k}\colon k\in \mathbb {N} ,\;r_{1},\dots ,r_{k}\in \operatorname {rad} R,\;m_{1},\dots ,m_{k}\in M\right\}\subseteq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa82bd9b3cc12b12a979f42088e9d988e585c85)
는
의 부분 가군을 이룬다. 나카야마 보조정리(영어: Nakayama lemma)에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.
은 유한 생성 왼쪽 가군이 아니다.
이다.
이다.
증명:
이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자.
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- (생성 집합)
![{\displaystyle Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{k}=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07cf1f885626f70559dad21fc52b13b13afb157)
- (극소성) 임의의
에 대하여, ![{\displaystyle Rm_{1}+Rm_{2}+\cdots +Rm_{i-1}+Rm_{i+1}+\cdots +Rm_{k}\neq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a30254b8a102ace9c1dbca01e00d5012f5187b6)
이 영가군이 아니므로
이다.
귀류법을 사용하여,
이라고 가정하자. 그렇다면,
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}m_{i}=\sum _{i=1}^{k}j_{i}r_{i}m_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f301de9805494756d6a84590033376eb5936583)
가 되는
및
가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든
에 대하여
는 가역원이다. 따라서,
![{\displaystyle m_{1}=-(1-j_{1}r_{1})^{-1}\sum _{i=2}^{k}(1-j_{i}r_{i})m_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6218b339ac54f53711b4dbb6f9794ca6fb8b4a90)
가 되며, 이는
의 극소성과 모순된다.
환
의 원소
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
이다.
- 임의의 왼쪽 단순 가군
에 대하여,
이다.
- 임의의 오른쪽 단순 가군
에 대하여,
이다.
- 모든 왼쪽 극대 아이디얼
에 대하여, ![{\displaystyle r\in {\mathfrak {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9c7553727af1eca9a07ba78f092dbda7e59eb1)
- 모든 오른쪽 극대 아이디얼
에 대하여, ![{\displaystyle r\in {\mathfrak {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9c7553727af1eca9a07ba78f092dbda7e59eb1)
- 모든
에 대하여,
는 가역원이다.
- 모든
에 대하여,
는 가역원이다.
- 모든
에 대하여,
는 가역원이다.
즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)
가환환
의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.
![{\displaystyle {\sqrt {(0)}}\subseteq \operatorname {rad} R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9e69144eefbee11075354faf016c039f23008f4)
만약 가환환
가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.
체
는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.
![{\displaystyle \operatorname {rad} K=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f61c147a0d8e3a4993b5002db2f1e85177c423b)
![{\displaystyle \operatorname {soc} K=K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a5d331062f6f6f2ef8ba02464f5ee0b3ec523d)
보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환
의 근기는 영 아이디얼이다.
국소환
의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼
이다.
정수환의 몫환
의 극대 아이디얼들은
의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서,
의 소인수 분해가
![{\displaystyle n=\prod _{i}p_{i}^{n_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cf91bf209127bfd600ee402c4a1ab14e66c11c)
라면,
의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약
이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {rad} (\mathbb {Z} /(n))={\sqrt {(0)}}=(\prod _{i}p_{i})\subseteq \mathbb {Z} /(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb86ce0d323f9f49e34eea42f4d0e2bba3f9afb)
아벨 군은 정수환
위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.
무한 순환군
은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수
에 대하여
의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다.
![{\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=\operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276e0641bd9489035601bf1530ca98e8d1ba0402)
임의의 자연수
의 소인수 분해
![{\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1cbdbe194fc14f3cb7edc8141e698897f225be)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기
![{\displaystyle \operatorname {rad} (n)=p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88abb3d820f4983d0468c90a6cc449468076354)
를 정의할 수 있다.
차 순환군
의 극소 부분군은
의 소인수
크기의 순환군
이며, 극대 부분군은
크기의 순환군
에 대응한다. 따라서, 이 경우
![{\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(n/\operatorname {rad} n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13d9a97436425505909cb977d9b2d80497b1bf2)
![{\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n))=(n/\operatorname {rad} n)\mathbb {Z} /n\cong \mathbb {Z} /(\operatorname {rad} n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ee29f97498ecdf3686fcbb8d8ca9670758d4bf)
이다.
나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.
![{\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b891d7fabf3b9698d9b12365e54052717312ec)
![{\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf187e2c58dee7594c4b5381349d519726c263b)
프뤼퍼 군의 부분군들은
![{\displaystyle 0\subsetneq p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq p^{-2}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subset \mathbb {Z} (p^{\infty })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55728a3b53c5eb2b31b93b1b099a2f21f7e3aea)
이므로, 그 유일한 극소 부분군은
이며, 이는 그 주각과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {rad} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=\mathbb {Z} (p^{\infty })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c8f617c3f297d3fbc9225a4a5a0fadc72f6d36)
![{\displaystyle \operatorname {soc} (_{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} (p^{\infty }))=p^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf84bfd608267e3a682789c7c8959220dc734179)
환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.[1][2]:168
제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.[3]
나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.[4]