비표준 해석학

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비표준 해석학(非標準解析學, 영어: nonstandard analysis)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다.

정의[편집]

실수체이고, 자연수모노이드이라고 하자. 그렇다면 은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수 의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대 필터 를 고르자. (특히, 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 ㅎ 필터선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대 필터를 사용하여, 두 수열 사이에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 를 이루며, 이를 초실수의 체로 정의한다.

실해석학의 구현[편집]

실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.

극한과 미분[편집]

함수 에서의 극한은 다음과 같다.

함수 가 다음 조건을 만족시키면, 연속함수라고 한다.

  • 모든 에 대하여, 만약 라면 이다.

함수 에 대하여, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0이 아닌 두 무한소 에 대하여,

이 경우 에서 미분 가능하다고 하고, 도함수

이다.

1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 에 대하여, 이에 대응하는 비표준 확대

에 대하여, 다음이 동치이다.

또한, 다음이 동치이다.

  • 에서 는 연속함수이다.
  • 에서 는 연속함수이다.

또한, 다음이 동치이다.

  • 에서 는 미분 가능하며, 이다.
  • 에서 는 미분 가능하며, 이다.

적분[편집]

초실수 체계에서, 리만 적분aa + dxa + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다.[1]

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함수 의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. 가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 에 대하여 다음과 같다.

참고 문헌[편집]

  1. Keisler, H. Jerome (1994). 〈The hyperreal line〉. Philip Ehrlich. 《Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua》. Synthèse Library (영어) 242. Kluwer. 207–237쪽. doi:10.1007/978-94-015-8248-3_8. ISBN 978-90-481-4362-7. MR 1340464. Zbl 0964.03535. 

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같이 보기[편집]