사용자:Kobmuiv/리 미분

미분 기하학에서 브와디스와프 실레보진스키가 소푸스 리의 이름을 따서 명명한 리 미분 ( /liː/ LEE )은 다른 벡터장에 의해 정의된 흐름에 대해 텐서장(스칼라 함수, 벡터장, 제 1미분형식 포함)의 변화율을 계산한다. 이 변화는 좌표 불변이므로 리 미분은 미분 다양체에서 정의된다.

함수, 텐서장, 형식은 벡터장와 관련하여 구별될 수 있다. $T$가 텐서장이고 $X$가 벡터장인 경우 $X$에 대한 $T$의 리 미분은 ${\mathcal {L}}_{X}T$과 같이 표시된다. 미분 연산자 $T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T$ 기본 다양체의 텐서장 대수의 유도이다.

리 미분은 수축과 미분 형식에 대한 외미분과 교환한다.

미분 기하학에서 도함수를 취하는 많은 개념이 있지만 미분되는 표현이 함수 또는 스칼라장일 때 모두 같다. 따라서 이 경우 "리"이라는 단어는 삭제되고 단순히 함수의 도함수에 대해 말한다.

다른 벡터장 $X$에 대한 벡터장 $Y$의 리 미분은 $X$와 $Y$의 "리괄호"로 알려져 있으며 종종 ${\mathcal {L}}_{X}Y$ 대신 $[X,Y]$로 표시된다. 벡터장의 공간은 이 리 괄호와 관련하여 리 대수를 형성한다. 리 미분은 항등식으로 인해 이 리 대수의 무한 차원 리 대수 표현을 구성한다.

${\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,$

모든 벡터장 $X$및 $Y$와 모든 텐서장 $T$에 유효하다.

벡터장를 M에서 흐름의 무한소 생성원들 (즉, 1차원 미분동형사상 군)으로 고려할 때, 리 미분은 군 표현과 관련된 무한소 표현으로서의 리 대수 표현과 유사하게 텐서장에서 미분동형사상 군 표현의 미분이다. 리 군론.

스피너 장, 접속이 있는 올다발 및 벡터 값 미분 형식 에 대한 일반화가 존재한다.

도입

벡터장에 대한 텐서장의 도함수를 정의하려는 '순진한' 시도는 각 점에서 벡터장에 대한 텐서장의 성분 함수의 방향 도함수를 취하는 것이다. 그러나 이 정의는 좌표계의 변화에 따라 불변하지 않기 때문에 바람직하지 않다. 예를 들어 극좌표 또는 구면 좌표로 표현된 순진한 도함수는 데카르트 좌표의 구성 요소의 순진한 도함수와 다르다. 추상적 다양체에서 그러한 정의는 무의미하고 잘못 정의된다. 미분 기하학에는 텐서장의 미분에 대한 세 가지 주요 좌표 독립 개념이 있다: 리 미분, 접속에 의한 미분 그리고 완전히 반대칭 공변 텐서, 즉, 미분 형식의 외미분. 리 미분과 달리 접속에 의한 미분은 접벡터에 대한 텐서장의 미분이 해당 접벡터를 벡터장으로 확장하는 방법이 지정되지 않은 경우에도 잘 정의된다는 것이다. 그러나 다양체에서 접속이라는 기하학적 구조를 추가로 선택해야 한다. 이에 반해 리 미분을 취하는 경우에는 다양체에 추가적인 구조가 필요하지 않다. 하지만, 접벡터 하나에 대한 텐서장의 리 미분에 대해 말하는 것이 불가능하다. 왜냐하면, $p$에서 벡터장 $X$에 대한 텐서장의 리 도함수의 값은 $p$의 근방에 있는 $X$의 값에 의존하기 때문이다. 마지막으로, 미분 형식의 외미분은 추가 선택이 필요하지 않으며 잘 정의된 미분 형식(함수 포함)의 미분일 뿐이다.

정의

리 미분은 몇 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다. 쉬운 설명을 위해, 일반 텐서를 정의하기 전에 먼저 스칼라 함수 및 벡터장에 작용하는 리 미분를 정의한다.

함수의 (리) 도함수

다양체에서 함수 $f\colon M\to {\mathbb {R} }$의 도함수 개념은 $x+h$가 정의되지 않아서 차이의 몫 $\textstyle (f(x+h)-f(x))/h$이 정의 될 수 없기 때문에 문제가 된다.

점 $p\in M$에서 벡터장 $X$에 대해 함수 $f\colon M\to {\mathbb {R} }$의 리 미분은 다음 함수이다:

$({\mathcal {L}}_{X}f)(p)={d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}f\circ \Phi _{X}^{t}{\bigr )}(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}-f{\bigl (}p{\bigr )}}{t}}$

여기서 $\Phi _{X}^{t}(p)$는 벡터장 $X$에 의해 정의된 흐름이 $t$에서 점 $p$를 사상하는 점이다. $t=0$ 근방에서, $\Phi _{X}^{t}(p)$는 $t$에 독립인 1차 연립 미분 방정식

${\frac {d}{dt}}{\biggr |}_{t}\Phi _{X}^{t}(p)=X{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}$

의 유일한 해이다. 여기서, $\Phi _{X}^{0}(p)=p.$

${\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f$로 놓으면 방향 도함수로 함수의 리 미분을 식별한다.

벡터장의 리 미분

$X$와 $Y$가 모두 벡터장인 경우 $X$에 대한 $Y$의 리 미분은 $X$와 $Y$의 리 괄호 $[X,Y]$으로도 알려져 있으며 때때로 다음과 같이 표시된다. 리 괄호를 정의하는 방법에는 여러 가지가 있으며 모두 동일하다. 위에서 주어진 벡터장의 두 가지 정의에 해당하는 두 가지 정의를 여기에 나열한다.

• $p$에 있는 $X$와 $Y$의 리 괄호는 공식에 의해 국소 좌표로 주어진다

  ${\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),$

  여기서 $\partial _{X}$와 $\partial _{Y}$는 각각 $X$와 $Y$에 대해 [방향도함수]s를 취하는 연산을 나타낸다. 여기서 우리는 n차원 공간에 있는 벡터를 "n"-[튜플]"로 취급함으로써, 그 방향도함수는 단순히 좌표의 방향 도함수로 이루어진 튜플이다. 이 정의에 나타난 최종 표현식 $\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)$는 국소 좌표의 선택에 의존하지 않지만, 개별 항 $\partial _{X}Y(p)$와 $\partial _{Y}X(p)$는 좌표의 선택에 의존한다.
• 만약 $X$와 $Y$가 두 번째 정의에 따라 다양체 $M$의 벡터장이라면, 연산자 ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$은 다음 공식으로 정의된다

  $[X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)$

  $[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)$

  이 연산자는 두 번째 정의에 따른 벡터장이며, $M$의 매끄러운 함수들의 차수 0의 도함수이다.

텐서장의 리 미분

흐름 측면에서의 정의

리 미분은 흐름으로 인해 공간이 바뀌면서 텐서장이 바뀌는 비율이다.

공식적으로, 매끄러운 다양체 $M$에 미분 가능한(시간 독립적인) 벡터장 $X$이 주어져 있고 $\Phi _{X}^{t}:M\to M$ 가 해당 국소 흐름이라 하자. $\Phi _{X}^{t}$가 각 $t$에 대한 국소 미분동형사상이므로, 이는 텐서장의 당김을 발생시킨다. 공변 텐서의 경우 당김 사상의 다중 선형 확장일 뿐이다.

$\left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M,\qquad \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}\alpha (X)=\alpha {\bigl (}T_{p}\Phi _{X}^{t}(X){\bigr )},\quad \alpha \in T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M,X\in T_{p}M$

반공변 텐서의 경우 미분 $T_{p}\Phi _{X}^{t}$의 역함수를 확장한다.

$\left(T_{p}\Phi _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M$

모든 $t$에 대해, 결과적으로 $T$들과 같은 종류인 텐서장 $(\Phi _{X}^{t})^{*}T$가 있다.

만약에 $Y$가 $(r,0)$ 또는 $(0,s)$-형 텐서장이면, 벡터장 $X$를 따른 $Y$의 리 미분 ${\cal {L}}_{X}Y$은 점 $p\in M$에서 다음과 같이 되도록 정의된다:

${\cal {L}}_{X}T(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}\left({\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T\right)_{p}={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}_{p}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}=\lim _{t\to 0}{\frac {{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}-T_{p}}{t}}.$

결과 텐서장 ${\cal {L}}_{X}T$은 $T$들와 같은 유형이다.

더 일반적으로, ${d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}=X\circ \Phi _{0}$라는 의미에서 벡터장 $X$를 적분하는 미분동형사상들의 모든 매끄러운 1-매개변수 족 $\Phi _{t}$에 대해

$${\mathcal {L}}_{X}T={\bigl (}\Phi _{0}^{-1}{\bigr )}^{*}{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}^{*}T=-{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{t}^{-1}{\bigr )}^{*}\Phi _{0}^{*}T\,.$$

대수적 정의

이제 대수적 정의를 제공한다. 텐서장의 리 미분에 대한 대수적 정의는 다음 네 가지 공리에서 따른다.

공리 1. 함수의 리 미분은 함수의 방향 도함수와 같다. 이 사실은 종종 공식으로 표현된다.

${\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)$

공리 2. 리 미분은 라이프니츠 규칙의 다음 버전을 따른다. 모든 텐서장 $S$와 $T$에 대해,

${\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).$

공리 3. 리 미분은 축약과 관련하여 라이프니츠 규칙을 따른다.

${\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))$

공리 4. 리 미분은 함수에 대한 외미분과 교환한다.

$[{\mathcal {L}}_{X},d]=0$

이러한 공리가 유지되면 $df(Y)=Y(f)$에 리 미분 ${\mathcal {L}}_{X}$을 적용하는 것은 다음을 보여준다

${\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),$

리 괄호의 표준적 정의 중 하나이다.

미분 형식으로 작용하는 리 미분은 외미분과 함께 내부곱의 반교환자이다. 따라서 $\alpha$가 미분 형식이면

${\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .$

이는 표현식이 외부 도함수와 교환하고, 미분(등급 미분의 반교환자임)이며 함수에서 올바른 작업을 수행하는지 확인하여 쉽게 따른다.

명시적으로 $T$를 $(p,q)$-유형 텐서장라고 한다. $T$를 여접 다발 $T^{*}M$의 매끄러운 단면 $\alpha ^{1},\alpha ^{2},\dots ,\alpha ^{p}$과 단면 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{q}$의 미분 가능한 다중 선형 사상으로 본다. 접다발 $TM$의 $T(\alpha ^{1},\alpha ^{2},\dots ,X_{1},X_{2},\dots )$ R 로. 공식에 의해 Y를 따라 $T$의 리 미분를 정의한다.

$({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))$

$-T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots$

$-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots$

밂의 성질과 미분을 위한 라이프니츠 규칙을 사용하여 해석 및 대수적 정의가 동등한 것으로 입증될 수 있다. 리 미분은 축약과 교환한다.

미분 형식의 리 미분

특히 중요한 텐서장의 종류는 미분 형식 종류이다. 미분 형식의 공간에 대한 리 미분을 제한하면 외미분과 밀접한 관련이 생긴다. 리 미분과 외미분 모두 다른 방식으로 미분 개념을 포착하려고 시도한다. 이러한 차이는 내부곱을 도입함으로써 연결될 수 있으며, 그 후에 관계는 카르탕 공식으로 알려진 항등식으로 귀결된다. 카르탕 공식은 또한 미분 형식의 공간에서 리 미분의 정의로 사용될 수 있다.

M을 다양체라고 하고 X를 M의 벡터장이라고 하자. $\omega \in \Lambda ^{k+1}(M)$가 (k + 1)-형식이라 하자. 즉, 각$p\in M$에 대해, $\omega (p)$는 $(T_{p}M)^{k+1}$에서 실수로 가는 교대 다중 선형 사상이다. X와 ω의 내부곱은 다음과 같이 정의된 k -형식$i_{X}\omega$이다:

$(i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,$

미분 형식 $i_{X}\omega$는 X에 대한 ω의 수축이라고도 하며,

$i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)$

은 $\wedge$-역미분이다. 여기서 $\wedge$는 미분 형식의 쐐기 곱이다. 즉, $i_{X}$는 R-선형사상이고 $\omega \in \Lambda ^{k}(M)$과 또 다른 미분 형식 η에 대해,

$i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )$

이다. 또한 함수 $f\in \Lambda ^{0}(M)$의 경우 즉, M에 대한 실수 또는 복소수 값 함수에 대해서는 다음과 같다.

$i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega$

여기서 $fX$는 f 와 X의 곱을 나타낸다. 외미분 과 리 미분의 관계는 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 벡터장 X 에 대한 함수 f 의 리 미분은 방향 도함수 X(f )와 같기 때문에 f 의 외미분을 X로 축약한 것과도 같다.

${\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df$

일반적인 미분 형식의 경우, 리 미분은 마찬가지로 X의 변동을 고려한 축약이다.

${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).$

이 항등식은 카르탕 공식, 카르탕 호모토피 공식 또는 카르탕의 마법 공식으로 다양하게 알려져 있다. 자세한 내용은 내부곱을 참조. 카르탕 공식은 미분 형식의 리 미분의 정의로 사용할 수 있다. 카르탕의 공식은 특히 다음을 보여준다.

$d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).$

리 미분은 다음 관계도 만족한다.

${\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .$

좌표 표현

틀:Einstein summation convention아래에서는 중복 첨자에 대해 아인슈타인 규약이 사용된다. 국소 좌표 표기법에서 (r, s)-텐서장 $T$의 경, $X$에 따른 리 미분은

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}$

여기서 표기법 $\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$은 좌표 $x^{a}$에 대해 편도 함수를 취하는 것을 의미한다. .또는 비틀림 없는 접속(예: 레비치비타 접속)을 사용하는 경우, 편미분 $\partial _{a}$는 $\partial _{a}X^{b}$를(표기법 남용) $\nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}$로 대체함을 의미하는 공변 미분으로 대체될 수 있다. 여기서 $\Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}$는 크리스토펠 계수이다.

텐서의 리 미분은 동일한 유형의 또 다른 텐서이다. 즉, 표현의 개별 항이 좌표계의 선택에 따라 달라지더라도 전체 표현은 텐서가 된다.

$({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}$

이는 좌표계와 독립적이며 $T$과 같은 유형인 텐서이다.

정의는 텐서 밀도로 더 확장될 수 있다. $T$가 실수 가중치 $w$의 텐서 밀도(예: 가중치 1의 부피 밀도)이면 리 미분은 동일한 유형 및 가중치의 텐서 밀도이다.

$({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}$

표현식 끝에 있는 새로운 항에 주목하라.

선형 접속 $\Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})$의 경우, $X$를 따른 리 미분은

${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}$

예

명확성을 위해 이제 국소 좌표 표기법으로 다음 예를 보여준다.

스칼라 장 $\phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)$의 경우:

$({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi$ .

따라서 스칼라 장 $\phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)$의 경우와 벡터장 $X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}$에 상응하는 리 미분은

$${\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}$$

고차 미분 형식의 예는 이전 예제에서 제 2미분형식 $\omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz$과 벡터장 $X$을 고려하라. 그러면

$${\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}$$

좀 더 추상적인 예로,

$({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}$

따라서 여벡터장, 즉, 미분 형식 $A=A_{a}(x^{b})dx^{a}$에 대해:

${\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}$.

마지막 식의 계수는 리 미분의 국소 좌표 식이다.

공변 2차 텐서장 $T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}$의 경우:

$${\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}$$

만약에 $T=g$가 대칭 계량 텐서이면, 레비-치비타 접속(일명 공변 도함수)에 대해 평행하며, 그 접속을 사용하는 것이 유익하다. 이는 모든 도함수를 공변 도함수로 대체하는 효과가 있다.

${\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}$

성질

리 미분에는 여러 가지 성질이 있다. ${\mathcal {F}}(M)$를 다양체 $M$에 정의된 함수들의 대수라 하자. 그러면,

${\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)$

는 대수 ${\mathcal {F}}(M)$의 미분이다. 즉, ${\mathcal {L}}_{X}$는 $\mathbb {R}$-선형이고

${\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.$

마찬가지로 ${\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)$에 대한 미분이다. 여기서 ${\mathcal {X}}(M)$는 $M$의 모든 벡터장들의 집합이다(cf. 문서의 정리 6: Nichita, FF 통합 이론: 새로운 결과 및 예. 공리 2019, 8, 60):

${\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y$

이는 다음의 동치인 표기법으로도 쓸 수 있다.

${\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y$

여기서 텐서곱 기호 $\otimes$는 함수 곱하기 벡터장의 곱이 전체 다양체에 적용된다는 사실을 강조하기 위해 사용된다.

추가 성질은 리 괄호의 성질과 일치한다. 따라서, 예를 들어 벡터장에 대한 유도로 보면,

${\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]$

위의 식이 야코비 항등식일 뿐이라는 것을 알 수 있다. 따라서 리 괄호가 장착된 $M$ 위의 벡터장의 공간이 리 대수를 형성한다는 중요한 결과가 있다.

리 미분은 또한 미분 형식에 작용할 때 중요한 성질을 갖다. α와 β를 $M$에 대한 두 개의 미분 형식이라고 하고 X 와 Y를 두 개의 벡터장이라고 한다. 그 다음에

• ${\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )$
• $[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha$
• $[{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,$ 여기서 i는 위에서 정의한 내부 곱을 나타내고 [·,·]가 교환자를 나타내는지 또는 벡터장의 리 괄호를 나타내는지는 분명하다.

일반화

리 미분의 다양한 일반화는 미분 기하학에서 중요한 역할을 한다.

스피너 장의 리 미분

일반적인 (준) 리만 다양체에서 반드시 킬링일 필요 없는 일반 시공간 벡터장을 따른 스피너의 리 미분에 대한 정의는 이미 1971년 Yvette 코스만에 의해 제안되었다. 나중에 (게이지 공변)장 이론에 가장 적합한 것으로 판명된 게이지 자연 다발의 명시적 맥락에서 올다발에 대한 리 미분의 일반적 방식 내에서 임시 처방을 정당화하는 기하학적 방식이 제공되었다.

주어진 스핀 다양체에서, 즉 리만 다양체 $(M,g)$에 있다. 스핀 구조를 가진, 스피너 장 $\psi$의 리 미분은 1963년에 주어진 앙드레 리크네로비츠의 국소 표현을 통해 무한소 등장 사상(킬링 벡터장)과 관련하여 먼저 정의하여 정의할 수 있다.

${\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,$

여기서 $X=X^{a}\partial _{a}$가 킬링 벡터장으로 가정하였으므로, $\nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}$이며, $\gamma ^{a}$들은 디랙 행렬이다.

그런 다음 일반 벡터장에 대한 리크네로비츠의 국소 표현을 유지하여 리크네로비츠의 정의를 모든 벡터장 $X$(일반 무한소 변환)로 확장할 수 있다. 그러나 명시적으로 오직 $\nabla _{a}X_{b}$의 반대칭 부분을 취하면서. 보다 명확하게 1972년에 주어진 코스만의 국소 표현은 다음과 같다.

${\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,$

여기서, $[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}$는 교환자이며, $d$는 외미분이다. $X^{\flat }=g(X,-)$는 계량(즉, 첨자가 낮아짐)이 주어진 $X$에 해당하는 쌍대 제 1미분형식이다. $\cdot$ 는 클리포드 곱셈이다.

스피너 리 미분이 계량과 무관하므로 접속과도 무관하다는 점은 주목할 가치가 있다. 이것은 코스만의 국소 표현의 오른쪽에서 명확하지 않다. 오른쪽은 스핀 접속(공변 도함수), 벡터장의 쌍대화(지수 감소) 및 클리포드 스피너 다발에 대한 곱셈. 그렇지 않다. 코스만의 국소 표현 오른쪽에 있는 양이 결합되어 모든 계량 및 접속 종속 항을 취소한다.

스피너 장의 리 미분에 대한 오랜 논쟁의 개념을 더 잘 이해하기 위해 원래 문서를 참조할 수 있다. 여기에서 스피너 장의 리 미분의 정의는 올다발 단면의 리 미분 이론과 Y. 코스만의 스피너 경우에 대한 직접적인 접근은 코스만 올림이라는 새로운 기하학적 개념의 형식으로 자연 다발을 측정하기 위해 일반화되었다.

공변 리 미분

$G$를 구조 군으로 하는 다양체 $M$ 위에 주다발이 있고 주다발의 접공간의 단면으로 공변 벡터장으로 $X$를 선택하는 경우(즉, 수평 및 수직 구성 요소가 있음) 공변은 다음과 같다. 리 미분은 주다발에 대한 $X$에 대한 리 미분이다.

이제 $M$에 대한 벡터장 $Y$(주다발은 아님)가 주어졌지만 주다발에 대한 접속도 있는 경우 수평 구성 요소가 $Y$와 일치하도록 주다발에 대한 벡터장 $X$를 정의할 수 있다. 수직 구성 요소가 접속과 일치한다. 이것은 공변 리 미분이다.

자세한 내용은 접속 형식을 참조.

니젠후이스–리 미분

알베르트 니젠후이스로 인한 또 다른 일반화는 접다발의 값을 갖는 미분 형식의 다발 $\Omega ^{k}(M,TM)$의 임의 단면을 따라 미분 형식의 리 미분를 정의할 수 있게 한다. 만약 $k\in \Omega ^{k}(M,TM)$이고 $\alpha$는 제 $p$미분 형식이면 K와 $\alpha$의 내부곱 $i_{k}\alpha$를 정의하는 것이 가능하다. 니젠후이스–리 미분은 내부곱과 외미분의 반교환자이다.

${\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .$

역사

1931년에 브와디스와프 실레보진스키는 스칼라, 벡터, 텐서 및 아핀 접속에 적용할 수 있고 자기동형사상군 연구에서 강력한 방법임이 입증된 새로운 미분 연산자를 도입했다.

일반적인 기하학적 대상(즉, 자연 올다발의 단면)의 리 미분은 A. 니젠후이스, Y. 타시로 및 K. 야노에 의해 연구되었다.

꽤 오랫동안 물리학자들은 수학자들이 연구 해놓은 리 미분에 대한 결과들을 모른 채 리 미분으로 볼 수 있는 것을 사용해 왔다. 1940년에 레온 로젠필드—그리고 그보다 앞서(1921년)볼프강 파울리가 '국소적 변분'이라고 부르는 $\delta ^{\ast }A$를 도입했다. 기하학적 대상 $A\,$의 벡터장 $X\,$에 의해 생성된 좌표의 무한소 변환에 의해 유도됨. 파울리가 도입한 $\delta ^{\ast }A$이 $-{\mathcal {L}}_{X}(A)\,$인 것을 쉽게 증명할 수 있다.

같이보기

• 코쥘 접속
• Frölicher–니젠후이스 괄호
• 측지선
• 킬링 벡터장
• 지수 사상의 미분

참고 문헌

• “Lie derivative”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

외부 링크

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). 《Foundations of Mechanics》. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.  See section 2.2.
• Bleecker, David (1981). 《Gauge Theory and Variational Principles》. Addison-Wesley. ISBN 0-201-10096-7.  See Chapter 0.
• Jost, Jürgen (2002). 《Riemannian Geometry and Geometric Analysis》. Berlin: Springer. ISBN 3-540-42627-2.  See section 1.6.
• Kolář, I.; Michor, P.; Slovák, J. (1993). 《Natural operations in differential geometry》. Springer-Verlag. ISBN 9783662029503.  Extensive discussion of 리 괄호s, and the general theory of 리 derivatives.
• Lang, S. (1995). 《Differential and Riemannian manifolds》. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1.  For generalizations to infinite dimensions.
• Lang, S. (1999). 《Fundamentals of Differential Geometry》. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98593-0.  For generalizations to infinite dimensions.
• Yano, K. (1957). 《The Theory of Lie Derivatives and its Applications》. North-Holland. ISBN 978-0-7204-2104-0.  Classical approach using coordinates.

틀:Manifolds [[분류:미분의 일반화]] [[분류:미분 연산자]] [[분류:미분위상수학]] [[분류:미분기하학]] [[분류:번역이 검토되지 않은 문서]]