가환대수학과 대수기하학에서 탁월한 가환환(卓越한可換環, 영어: excellent commutative ring)은 차원의 개념이 잘 정의되며(즉, 현수환이며), 완비화가 ‘잘 작동하며’, 거의 모든 점들이 특이점이 아니며 (즉, 특이점의 집합이 닫힌집합이며), 이 성질들이 가환대수학의 주요 연산(국소화, 다항식환, 몫환 등)에 대하여 보존되는 뇌터 가환환이다. 즉, 이러한 가환환은 대수기하학이나 대수적 수론에 등장하는 주요 가환환들과 유사한 성질을 갖는다.
가환환의 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 국소환의 잉여류체를 라고 하자.
뇌터 국소 가환환 에 대하여 다음 조건을 생각하자.
- (G) 임의의 및 의 유한 확대 에 대하여, 는 정칙 국소환이다.
여기서 는 의 완비 국소환이다.
뇌터 가환환 이 다음 조건들을 만족시킨다면, 탁월한 가환환이라고 한다.[1]:Definition 1.7
- 임의의 극대 아이디얼 에 대하여, 이 (G)를 만족시킨다.
- 임의의 유한 생성 -가환 결합 대수 에 대하여,
- (C) 는 현수환이다. (즉, 는 보편 현수환이다.)
- (J) 의 소 아이디얼 가운데, 정칙 국소환을 정의하는 것들의 집합은 속의 열린집합이다.
만약 (C)조건을 생략한다면, 준탁월한 가환환(영어: quasiexcellent commutative ring)이라고 한다.
보다 일반적으로, 탁월한 가환환의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는 국소 뇌터 스킴을 탁월한 스킴(영어: excellent scheme)이라고 한다.
임의의 탁월한 가환환의 소 아이디얼 (스펙트럼의 점) 가운데, 정칙 국소환을 정의하는 것들의 집합은 열린집합이다. 즉, 특이점들의 집합은 닫힌집합이다.
연산에 대한 닫힘[편집]
탁월한 가환환의 임의의 곱셈 부분 모노이드에 대한 국소화는 탁월한 가환환이다.
탁월한 가환환 가 주어졌을 때,
- 곱셈 부분 모노이드 에 대하여, 국소화
- 다항식환
- 임의의 아이디얼 에 대하여, 몫환
탁월한 가환환 의 아이디얼 가 주어졌을 때, 완비화
를 취할 수 있다. 이 경우, 만약 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다면, 역시 탁월한 가환환이다.[1]:Theorem 1.11
- 의 극대 아이디얼의 수는 유한하다.
- 이다.
다음과 같은 가환환은 탁월한 가환환이다.
양의 표수에서는 탁월한 가환환이 아닌 이산 값매김환이 존재한다. 구체적으로,
- 소수
- 표수 의 체 . 또한 라고 하자. (는 프로베니우스 사상의 치역이다.)
이 경우,
라고 하자. 그렇다면 이는 이산 값매김환이며 따라서 보편 현수환이지만, 탁월한 가환환이 아니다.
탁월한 가환환의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 1965년에 도입하였다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]