가환대수학에서 완비 국소환(完備局所環, 영어: complete local ring)은 극대 아이디얼에서 스스로의 완비화와 같은 국소 가환환이다.[1]
국소 가환환 이 주어졌다고 하자. 이 경우 극대 아이디얼 의 거듭제곱에 대한 몫환
을 취할 수 있으며, 이에 대한 완비화
를 취할 수 있으며, 환 준동형
으로부터 표준적인 환 준동형
이 존재한다. 만약 이 준동형이 전단사 함수라면(즉, 환의 동형 사상이라면), 를 완비 국소환이라고 한다. 이는 위상환을 이룬다.
보다 구체적으로, 다음 두 조건이 성립해야 한다.
- (하우스도르프 조건)
- (완비성) 임의의 원소열 에 대하여, 만약 라면, 충분히 큰 에 대하여 가 되는 가 존재한다.
함의 관계[편집]
모든 완비 국소환은 헨젤 환이다.
모든 아르틴 국소 가환환은 (자명하게) 뇌터 완비 국소 가환환이다. 이 경우 충분히 큰 에 대하여 이다.
모든 뇌터 완비 가환환은 탁월한 가환환이다.
매틀리스 쌍대성[편집]
가 뇌터 완비 국소환이며, 가 의 단사 껍질이라고 하자. 그렇다면, 위의 뇌터 가군의 범주 의 반대 범주와 아르틴 가군의 범주 사이에 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.
이를 매틀리스 쌍대성(영어: Matlis duality)이라고 한다.
특히, 뇌터 가군이자 아르틴 가군인 가군(즉, 길이가 유한한 가군)의 범주는 스스로의 반대 범주와 동치이다.
국소화 함자[편집]
임의의 국소 가환환 에 대하여, 완비화를 통해 완비 국소환
을 정의할 수 있다. 이는 국소환과 국소 준동형의 범주에서 완비 국소환과 국소 준동형의 범주로 가는 함자
를 정의한다.
이 함자 아래, 의 극대 아이디얼은
이다. 그 잉여류체는 원래 국소환의 잉여류체와 표준적으로 같다.
이 함자 아래, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 가 뇌터 국소 가환환이다.
- 가 뇌터 완비 국소환이다.
코언 구조 정리(영어: Cohen structure theorem)에 따르면, 모든 뇌터 완비 국소환은 어떤 완비 정칙 국소환의 몫환으로 표현될 수 있다.
모든 완비 정칙 국소환은 완전히 분류되었다. 구체적으로, 완비 정칙 국소환의 목록은 다음과 같다.
- 어떤 자연수 및 체 에 대하여, 형식적 멱급수환
- 이 경우, 크룰 차원은 이다.
- 어떤 자연수 및 -코언 환 에 대하여, 형식적 멱급수환
- 이 경우, 크룰 차원은 이다.
- 어떤 자연수 및 -코언 환 에 대하여, 형식적 멱급수환의 몫 . 여기서 이며, 은 의 유일한 극대 아이디얼이다.
- 이 경우, 크룰 차원은 이다.
여기서, 소수 에 대하여, -코언 환(영어: Cohen ring)은 완비 이산 값매김환 가운데, 이며 이며 인 것이다. 예를 들어, 진 정수환 는 코언 환이다.
체 에 대하여 형식적 멱급수환
은 완비 국소환이다. 또한, 소수 에 대하여 진 정수환 는 완비 국소환이다.
완비 국소환이 아닌 환[편집]
진수체 의 대수적 폐포의 완비화 를 생각하자. 이 역시 대수적으로 닫힌 체이다. 이에 대응하는 값매김환(즉, 에서 진 값매김이 음이 아닌 정수인 원소로 구성된 부분환)의 극대 아이디얼 은
을 만족시킨다. 따라서 이는 하우스도르프 조건을 만족시키지 못해 완비 가환환을 이루지 못한다.
코언 구조 정리는 1946년에 어빈 솔 코언이 증명하였다.[2]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]