귀납적 차원

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일반위상수학에서 귀납적 차원(歸納的次元, 영어: inductive dimension)은 어떤 기하학적 대상의 경계의 차원이 전체의 차원보다 1만큼 더 작다는 사실을 기반으로 하는, 위상 공간 위에 정의되는 두 개의 차원 개념이다. 대부분의 경우, 르베그 덮개 차원의 상한과 하한을 정의한다.

정의

위상 공간 $X$의 작은 귀납적 차원(영어: small inductive dimension) $\operatorname {ind} X$는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 $n\in \{-1,0,1,2,\dots \}$이다.

• 임의의 $x\in X$ 및 열린 근방 $U\ni x$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 ${\tilde {U}}\ni x$가 존재한다.
  • $\operatorname {cl} {\tilde {U}}\subseteq U$
  • $\operatorname {ind} \partial V\leq n-1$

위상 공간 $X$의 큰 귀납적 차원(영어: large inductive dimension) $\operatorname {Ind} X$는 다음 조건을 만족시키는 최소의 정수 $n\in \{-1,0,1,2,\dots \}$이다.

• 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$의 열린 근방 $U\supseteq C$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 ${\tilde {U}}\supseteq C$가 존재한다.
  • $\operatorname {cl} {\tilde {U}}\subseteq U$
  • $\operatorname {Ind} \partial V\leq n-1$

공집합의 경우, 아무런 점이 없으므로 자명하게 $\operatorname {ind} \varnothing =-1$이다.

성질

서로 다른 차원들 사이의 관계

T1 공간 $X$ 또는 정칙 공간 $X$의 경우, 모든 점의 폐포가 점의 열린 근방에 다시 포함되므로,

$\operatorname {ind} X\leq \operatorname {Ind} X$

이다.^{:9, Proposition 2.7}

임의의 위상 공간 $X$에 대하여,

$\dim X\leq \operatorname {Ind} X$

이다.^{:18, Corollary 3.5} 여기서 $\dim$은 르베그 덮개 차원이다.

린델뢰프 공간 $X$의 경우,

$\dim X\leq \operatorname {ind} X$

이다.^{:27, Proposition 5.3}

린델뢰프 완전 정규 공간 $X$^:171 또는 완비 파라콤팩트(영어: completely paracompact) 완전 정규 공간 $X$^{:296, Theorem F2}의 경우,

$\dim X\leq \operatorname {ind} X=\operatorname {Ind} X$

이다.

거리화 가능 공간 $X$의 경우,

$\operatorname {ind} X\leq \dim X=\operatorname {Ind} X$

이다.^{:219, Theorem 10}

우리손 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 공간 $X$의 경우

$\operatorname {ind} X=\dim X=\operatorname {Ind} X$

이다.^{:51, Theorem 1.7.7}

부분 집합

위상 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여,

$\operatorname {ind} Y\leq \operatorname {ind} X$

이다.^{:8, Proposition 2.3} 만약 추가로 $Y$가 닫힌집합이거나,^{:9, Proposition 2.6} $X$가 완전 정규 공간이라면,^{:21, Corollary 3.13}

$\operatorname {Ind} Y\leq \operatorname {Ind} X$

이다.

합집합

완비 정규 공간 $X$ 및 부분 집합 $Y,Z\subseteq X$에 대하여, 만약 $X=Y\cup Z$라면,

$\operatorname {ind} X\leq \operatorname {ind} Y+\operatorname {ind} Z+1$

$\operatorname {Ind} X\leq \operatorname {Ind} Y+\operatorname {Ind} Z+1$

이다.^{:2203, 2206} 이를 작은·큰 귀납적 차원에 대한 우리손 부등식이라고 한다.

위상 공간 $X$ 및 닫힌집합 $Y,Z\subseteq X$에 대하여, 만약 $X=Y\cup Z$라면,

$\operatorname {ind} X\leq \max\{\operatorname {ind} Y,\operatorname {ind} Z\}+1$

이다.^{:2203, (1)} 만약 추가로 $X$가 정규 공간이라면,

$\operatorname {Ind} X\leq \operatorname {Ind} Y+\operatorname {Ind} Z$

이다.^:2206

곱공간

제2 가산 정칙 공간 $X,Y$의 경우, 귀납적 차원이 르베그 덮개 차원과 일치하므로

$\operatorname {ind} (X\times Y)\leq \operatorname {ind} (X)+\operatorname {ind} (Y)$

$\operatorname {Ind} (X\times Y)\leq \operatorname {Ind} (X)+\operatorname {Ind} (Y)$

이다.

위상 공간 $X,Y$가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• 임의의 닫힌집합 $A,B\subseteq X$에 대하여, $\operatorname {ind} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {ind} A,\operatorname {ind} B\}$
• 임의의 닫힌집합 $A,B\subseteq Y$에 대하여, $\operatorname {ind} (A\cup B)\leq \max\{\operatorname {ind} A,\operatorname {ind} B\}$

그렇다면,

$\operatorname {ind} (X\times Y)\leq \operatorname {ind} X+\operatorname {ind} Y$

이다.^{:2203, (2)} 작은 귀납적 차원이 0 이하인 공간은 위 합집합 조건을 자명하게 만족시킨다. 그러나, 1차원 이상의 공간이 위 조건을 만족하기는 매우 ‘어렵다’. 예를 들어, 위 조건을 만족시키지 않는 거리화 가능 공간이 존재하며,^{:Chapter 20} 위 조건을 만족시키지 않는 콤팩트 하우스도르프 공간이 존재한다.^{:Chapter 14}

위상 공간 $X,Y$에 대하여, 만약 $\operatorname {ind} X=0$이라면,

$\operatorname {ind} (X\times Y)=\operatorname {ind} Y$

이다.^{:12, Exercise 2.27}

콤팩트 하우스도르프 공간 $X,Y$에 대하여, 만약 $\operatorname {Ind} X=0$이라면,

$\operatorname {Ind} (X\times Y)\leq \operatorname {Ind} Y$

이다.

위상 공간들의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$ 및 곱공간

$X=\prod _{i\in I}X_{i}$

에 대하여, 만약 모든 $i\in I$에 대하여 $\operatorname {ind} X_{i}=0$이라면, $\operatorname {ind} X=0$이다.^{:12, Exercise 2.28}

스톤-체흐 콤팩트화

정규 하우스도르프 공간 $X$ 및 그 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$에 대하여,

$\operatorname {Ind} X=\operatorname {Ind} \beta X$

이다.^{:137, Theorem 2.2.10}

0차원

경계가 공집합일 필요충분조건은 열린닫힌집합인 것이다. 따라서, 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\operatorname {ind} X=0$
• $X$는 열린닫힌집합들로 구성된 기저를 갖는다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:10, Proposition 2.9}

• $\dim X=0$
• $\operatorname {Ind} X=0$

위상 공간 $X$에 대하여, 다음과 같은 함의 관계들이 성립한다.

• 만약 $\operatorname {ind} X=0$이라면, $X$는 완비 정칙 공간이다.
• 만약 $\operatorname {ind} X=0$이며, $X$가 콜모고로프 공간이라면, $X$는 완전 분리 공간이자 티호노프 공간이다.
• 반대로, 만약 $X$가 완전 분리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, $\operatorname {ind} X=0$이다.^{:362, Theorem 6.2.9}
• 만약 $\dim X=0$이라면, $X$는 정규 공간이다.
• 만약 $\dim X=0$이며, $X$가 T1 공간이거나 정칙 공간이라면, $\operatorname {ind} X=0$이다.
• 반대로, 만약 $\operatorname {ind} X=0$이며, $X$가 린델뢰프 공간 $X$이라면, $\dim X=0$이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:362, Theorem 6.2.9}

• $\operatorname {ind} X=0$
• 완전 분리 공간이다.

국소 콤팩트 파라콤팩트 하우스도르프 공간 $X$이 주어졌을 때, $X$는 항상 서로소 린델뢰프 열린닫힌집합들의 합집합이다. 따라서, $X$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{:362, Theorem 6.2.10}

• 완전 분리 공간이다.
• $\operatorname {ind} X=0$
• $\dim X=0$

작은 귀납적 차원이 0인 위상 공간은 흔히 0차원 공간(零次元空間, 영어: zero-dimensional space)이라고 한다. 르베그 덮개 차원이 0인 위상 공간은 흔히 강한 0차원 공간(强-零次元空間, 영어: strongly zero-dimensional space)이라고 부른다. 일부 문헌은 0차원 공간의 정의에서 T1 조건을 추가로 가정하고, 강한 0차원 공간의 정의에 티호노프 조건을 추가한다.

매장

T1 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:363, Theorem 6.2.16:323, §f-6}

• $\operatorname {ind} X=0$
• 두 점 이산 공간의 곱공간 $\{0,1\}^{\operatorname {Clopen} (X)}$의 부분 집합과 위상 동형이다. (여기서 $\operatorname {Clopen} (X)$는 열린닫힌집합들의 집합이다.)

이 경우, 곱공간으로의 매장은 다음과 같이 잡을 수 있다.

$\mu \colon X\to \{0,1\}^{\operatorname {Clopen} (X)}$

$\mu (x)_{U}={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}$

모든 0차원 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 실수들의 집합과 위상 동형이다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간(=분해 가능 거리화 가능 공간) $X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^{:20, Theorem 1.3.15}

• $\operatorname {ind} X=0$
• $X$는 칸토어 집합 $C\cong \{0,1\}^{\aleph _{0}}$의 부분 집합과 위상 동형이다.
• $X$는 무리수 집합 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \cong \mathbb {N} ^{\aleph _{0}}$의 부분 집합과 위상 동형이다.

실수들의 집합 $X\subseteq \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\operatorname {ind} X=0$
• (둘 이상의 점을 갖는) 구간을 포함하지 않는다.

뇌벨링-폰트랴긴 정리에 따르면, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\operatorname {ind} X<\infty$
• $X$는 유클리드 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.

사실, 모든 $n$차원 이하의 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간은 $(2n+1)$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2n+1}$에 매장할 수 있다. 구체적으로, 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:95, Theorem 1.11.5}

• $\operatorname {ind} X\leq n$
• $X$는 $\{x\in \mathbb {R} ^{2n+1}\colon |\{i\colon x_{i}\in \mathbb {Q} \}|\leq n\}$의 부분 집합과 위상 동형이다.

예

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.

• $\operatorname {ind} X=-1$
• $\dim X=-1$
• $\operatorname {Ind} X=-1$
• $X=\varnothing$

유클리드 공간, 단체, 초구의 작은·큰 귀납적 차원은 통상적인 차원과 일치한다.

$\operatorname {ind} \mathbb {R} ^{n}=\dim \mathbb {R} ^{n}=\operatorname {Ind} \mathbb {R} ^{n}=n$

$\operatorname {ind} \Delta _{n}=\dim \Delta _{n}=\operatorname {Ind} \Delta _{n}=n$

$\operatorname {ind} \mathbb {S} ^{n}=\dim \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {Ind} \mathbb {S} ^{n}=n$

보다 일반적으로, 임의의 $n$차원 다양체의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 $n$이다.

$[0,1]^{\aleph _{0}}$의 작은·큰 귀납적 차원은 $\infty$이다.

$\operatorname {ind} [0,1]^{\aleph _{0}}=\dim[0,1]^{\aleph _{0}}=\operatorname {Ind} [0,1]^{\aleph _{0}}=\infty$

조르겐프라이 직선 $S$ 및 조르겐프라이 평면 $S\times S$의 작은·큰 귀납적 차원은 0이다.^:2 조르겐프라이 직선의 르베그 덮개 차원은 0이지만, 조르겐프라이 평면의 르베그 덮개 차원은 무한하다.^{:2, Theorem 1}

$\operatorname {ind} S=\dim S=\operatorname {Ind} S=\operatorname {ind} S\times S=\operatorname {Ind} S\times S=0$

$\dim S\times S=\infty$

이산 공간과 모든 비이산 공간의 작은·큰 귀납적 차원 및 르베그 덮개 차원은 0 이하이다. 시에르핀스키 공간의 르베그 덮개 차원과 큰 귀납적 차원은 0이지만, (정칙 공간이 아니므로) 작은 귀납적 차원은 무한하다.

거리화 가능 공간 $X$에 대하여, 만약

$|X|<2^{\aleph _{0}}$

라면, $\operatorname {ind} X=0$이다.

증명:

임의의 점 $x\in X$ 및 열린 근방 $U\ni x$가 주어졌다고 하자.

$\operatorname {ball} (x,r)\subseteq U$

인 $r>0$을 잡자. $|X|<2^{\aleph _{0}}$이므로,

$d(x,y)\neq s\forall y\in X$

인 $0<s<r$이 존재한다. 따라서,

$\partial \operatorname {ball} (x,s)=\{y\in X\colon d(x,y)=s\}=\varnothing$

이다.

순서 위상을 가한 전순서 집합 $(X,\leq )$의 작은 귀납적 차원은 1 이하이다.^{:12, Exercise 2.24}

$\operatorname {ind} X\leq 1$

외부 링크

• “Inductive dimension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Dimension theory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 르베그 덮개 차원