으뜸 아이디얼

가환대수학에서, 으뜸 아이디얼(영어: primary ideal)은 소 아이디얼의 개념의 일반화이다. 이를 통해 으뜸 분해(영어: primary decomposition)라는, 소인수 분해의 일반화를 정의할 수 있다.

정의

으뜸 부분 가군

환 $R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 다음 성질을 만족시킨다면, $_{R}M$을 여으뜸 왼쪽 가군(餘-加群, 영어: coprimary left module)이라고 한다.

모든 $r\in R$ 및 $m\in M$에 대하여, 만약 $rm=0$이라면, $m=0$이거나 아니면 충분히 큰 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여 $r^{n}M=\{0\}$이다.

$R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 으뜸 부분 가군(영어: primary submodule) $N\subseteq M$은 $M/N$이 공으뜸 왼쪽 가군인 부분 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

환 $R$의 왼쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {Q}}$에 대하여, 다음 두 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 아이디얼을 $R$의 으뜸 왼쪽 아이디얼(영어: primary left ideal)이라고 한다.

• $_{R}R$의 으뜸 부분 가군이다.
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rs\in {\mathfrak {Q}}$라면 $s\in {\mathfrak {Q}}$이거나, $r^{n}\in {\mathfrak {Q}}$인 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$이 존재한다.

삼종 아이디얼

환 $R$의 왼쪽 가군 $_{R}M$이 주어졌을 때, $\operatorname {ter} _{R}M\subseteq R$을 다음과 같이 정의하자.

$\operatorname {ter} _{R}M=\bigcap _{N\subsetneq M}\operatorname {Ann} _{R}N$

여기서 $\textstyle \bigcap _{N\subsetneq M}$는 $M$의 모든 진부분 가군들에 대한 교집합이며, $\operatorname {Ann} _{R}N$은 소멸자를 뜻한다.

환 $M$의 왼쪽 가군 $_{R}M$에 대하여, 만약 $\operatorname {Ann} _{R}M\subseteq \operatorname {ter} M$이라면, $M$이 여삼종 가군(餘三種加群, 영어: cotertiary module)이라고 한다. 환 $M$의 가군 $M$의 부분 가군 $N$에 대하여, 만약 몫가군 $M/N$이 여삼종 가군이라면, $N$을 삼종 부분 가군(영어: tertiary submodule)이라고 한다.

모든 으뜸 부분 가군은 삼종 부분 가군이며, 만약 $R$가 가환환이라면 두 개념은 일치한다.

가환환의 경우

가환환 $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {q}}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 아이디얼을 $R$의 으뜸 아이디얼이라고 한다.

• $R$의 으뜸 부분 가군이다.
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rs\in {\mathfrak {q}}$라면 $r\in {\mathfrak {q}}$이거나, $s^{n}\in {\mathfrak {q}}$인 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$이 존재한다.
• 임의의 $r,s\in R$에 대하여, 만약 $rs\in {\mathfrak {q}}$라면 $r\in {\mathfrak {q}}$이거나, $s\in {\mathfrak {q}}$이거나, 아니면 $r,s\in {\sqrt {\mathfrak {q}}}$이다. 여기서 ${\sqrt {}}$는 아이디얼의 근기이다.
• $R/{\mathfrak {q}}$의 모든 영인자는 멱영원이다.

으뜸 분해

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 부분 가군 $N\subseteq M$의 으뜸 분해(영어: primary decomposition)는 다음 두 조건을 만족시키는 유한 개의 으뜸 진부분 가군 $N_{1},\dots ,N_{k}\subseteq M$들의 집합이다.

• 이들의 교집합은 $N$이다.

  $N=\bigcap _{i=1}^{k}N_{i}$

• 만약 $N_{i}\subseteq N_{j}$라면 $i=j$이다.
• 만약 ${\sqrt {\operatorname {Ann} _{R}(M/N_{i})}}={\sqrt {\operatorname {Ann} _{R}(M/N_{j})}}$라면, $i=j$이다.

모든 진부분 가군이 으뜸 분해를 갖는 왼쪽 가군을 라스커 왼쪽 가군(영어: Lasker left module)이라고 한다. 만약 $_{R}R$가 라스커 왼쪽 가군이라면, $R$를 왼쪽 라스커 환(영어: left Lasker ring)이라고 한다. 마찬가지로 라스커 오른쪽 가군 및 오른쪽 라스커 환을 정의할 수 있다. (물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.)

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R}M$의 부분 가군 $N\subseteq M$의 으뜸 분해(영어: primary decomposition)는 다음 두 조건을 만족시키는 유한 개의 으뜸 진부분 가군 $N_{1},\dots ,N_{k}\subsetneq M$들의 집합이다.

• 이들의 교집합은 $N$이다.

  $N=\bigcap _{i=1}^{k}N_{i}$

• 만약 $N_{i}\subseteq N_{j}$라면 $i=j$이다.
• 만약 $\operatorname {ter} _{R}(M/N_{i})=\operatorname {ter} (M/N_{j})$라면, $i=j$이다.

성질

가환환의 경우 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 근기 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 근기 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼 ⊇ 극대 아이디얼

특히, 소 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. 가환환 $R$의 전체 아이디얼 $(1)=R$ 역시 으뜸 아이디얼이다.

으뜸 아이디얼의 근기는 항상 소 아이디얼이다. 으뜸 아이디얼 ${\mathfrak {q}}$의 근기가 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$이면, ${\mathfrak {q}}$를 ${\mathfrak {p}}$-으뜸 아이디얼(영어: ${\mathfrak {p}}$-primary ideal)이라고 한다. 반대로, 근기가 극대 아이디얼인 아이디얼은 으뜸 아이디얼이다. (그러나 으뜸 아이디얼이 아니지만 근기가 소 아이디얼인 아이디얼이 존재한다.)

공으뜸 가군

뇌터 가환환 위의, 영가군이 아닌 유한 생성 가군 $M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 공으뜸 가군이다
• 정확히 1개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

라스커-뇌터 정리

라스커-뇌터 정리(영어: Lasker–Noether theorem)에 따르면, 모든 뇌터 가환환 위의 유한 생성 가군은 라스커 가군이다. 특히, 뇌터 가환환은 라스커 환이다.

구체적으로, 뇌터 가환환 $R$의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$의 으뜸 분해는 다음과 같은 알고리즘으로 찾을 수 있다.

1. 만약 ${\mathfrak {a}}$가 으뜸 아이디얼이라면, $\{{\mathfrak {a}}\}$는 으뜸 분해를 이룬다. 아니라면, $rs\in {\mathfrak {a}}$인 $r,s\in R\setminus {\sqrt {\mathfrak {a}}}$를 찾을 수 있다.
2. ${\mathfrak {a}}:r^{\infty }={\mathfrak {a}}:r^{n}$이 되는 충분히 큰 자연수 $n\in \mathbb {N}$을 찾는다.
3. 그렇다면, ${\mathfrak {a}}=({\mathfrak {a}}+r^{n}R)\cap ({\mathfrak {a}}:r^{n})$이므로, ${\mathfrak {a}}+r^{n}R$ 및 ${\mathfrak {a}}:r^{n}$의 으뜸 분해를 찾으면 ${\mathfrak {a}}$의 으뜸 분해를 찾을 수 있다. (${\mathfrak {a}}+r^{n}R$와 ${\mathfrak {a}}:r^{n}$는 ${\mathfrak {a}}$보다 더 큰 아이디얼이므로, 뇌터 환 조건에 의하여 무한 반복이 일어나지 않는다.)

여기서

${\mathfrak {a}}:r^{\infty }=\bigcup _{n=0}^{\infty }({\mathfrak {a}}:r^{n})$

${\mathfrak {a}}:r^{n}=\{s\in R\colon sr^{n}\in {\mathfrak {a}}\}$

이다.

보다 일반적으로, 르시외르-크루아조 정리(영어: Lesieur–Croisot theorem)에 따르면, 왼쪽 뇌터 환 위의 유한 생성 왼쪽 가군은 유일한 삼종 분해를 갖는다.

예

정수환 $\mathbb {Z}$은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼이 주 아이디얼이다. 정수환에서 소 아이디얼은 소수 $p$로 생성되는 주 아이디얼 $(p)$이며, 으뜸 아이디얼은 소수의 거듭제곱 $p^{n}$ ($n\in \mathbb {Z} ^{+}$)으로 생성되는 주 아이디얼 $(p^{n})$이다.

근기가 소 아이디얼인 비(非)으뜸 아이디얼

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, $K[x,y,z]/(xy-z^{2})$를 생각하자. 이 경우,

${\mathfrak {p}}=(x,z)$

라고 하자. 이는 소 아이디얼이다. 즉, ${\mathfrak {p}}^{2}=(x^{2},z^{2},xz)$의 근기 ${\sqrt {{\mathfrak {p}}^{2}}}={\mathfrak {p}}$는 소 아이디얼이다. 그러나 ${\mathfrak {p}}^{2}$는 으뜸 아이디얼이 아니다.

$xy=z^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}$

이지만,

$x\not \in {\mathfrak {p}}^{2}$

$y^{n}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}$

이기 때문이다. ${\mathfrak {p}}^{2}$의 으뜸 분해는

${\mathfrak {p}}^{2}=(x)\cap (x^{2},xz,y)$

이다.

역사

소인수 분해를 정수환에서 보다 일반적인 환으로 일반화하는 것은 환론의 오래된 문제이다. 일부 대수적 수체의 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아니지만 (즉, 환의 원소가 기약원으로의 유일 인수 분해를 갖지 않을 수 있지만), 데데킨트 정역이라는 것(즉, 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일한 분해를 갖는 것)이 밝혀지면서 환의 원소의 분해 대신 아이디얼의 분해가 대두되었다. 그러나 데데킨트 정역이 아닌 환들의 경우, 소 아이디얼로의 분해 역시 실패한다.

이를 해결하기 위하여, 에마누엘 라스커가 라스커-뇌터 정리를 다항식환에 대하여 증명하였고, 그 뒤 에미 뇌터가 라스커-뇌터 정리를 일반적 뇌터 가환환에 대하여 증명하였다.^{:44, §5, Satz IX} 이에 따라 임의의 뇌터 가환환에 대하여 소인수 분해가 일반화되었다.

비가환환의 경우, 레옹스 르시외르(프랑스어: Léonce Lesieur)와 로베르 크루아조(프랑스어: Robert Croisot)가 삼종 아이디얼의 개념을 도입하여, 왼쪽 뇌터 환의 경우 삼종 분해가 성립함을 보였다.

참고 문헌

• Riley, John A. “Axiomatic primary and tertiary decomposition theory”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 105 (2): 177–201. doi:10.1090/S0002-9947-1962-0141683-4. ISSN 0002-9947. MR 0141683. 

바깥 고리

• “Primary ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lasker ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Primary decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Additive theory of ideals”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Tertiary ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Primary ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Swanson, Irena. “Primary decompositions” (PDF) (영어).