아이디얼의 근기

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환론에서, 가환환아이디얼근기(根基, 영어: radical 래디컬[*])는 충분히 거듭제곱하면 아이디얼의 원소가 되는 가환환의 원소들의 집합이다. 아이디얼의 근기는 또다른 아이디얼을 이룬다. 기호는 \sqrt{\mathfrak a} 또는 \operatorname{Rad}(\mathfrak a).

정의[편집]

가환환 R아이디얼 \mathfrak a근기 \sqrt{\mathfrak a}는 다음과 같다.

\sqrt{\mathfrak a}=\{r\in R|\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}

즉, \mathfrak a의 근기의 원소들은 충분히 거듭제곱하면 \mathfrak a의 원소가 된다.

\mathfrak a=\sqrt{\mathfrak a}인 아이디얼 \mathfrak a준소 아이디얼(영어: semiprime ideal) 또는 근기 아이디얼(영어: radical ideal)이라고 한다. 모든 소 아이디얼은 준소 아이디얼이다.

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정수환 \mathbb Z의 경우, 아이디얼 \mathbb Z/m의 근기는 다음과 같다.

\sqrt{\mathbb Z/m}=\mathbb Z/\left(\prod_{p\mid m}p\right)

여기서 \prod_{p\mid m}pm의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

\sqrt{\mathbb Z/12}=\mathbb Z/6

이다.

성질[편집]