아이디얼의 근기

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환론에서, 가환환아이디얼근기(根基, 영어: radical 래디컬[*])는 충분히 거듭제곱하면 아이디얼의 원소가 되는 가환환의 원소들의 집합이다. 아이디얼의 근기는 또다른 아이디얼을 이룬다. 기호는 \sqrt{\mathfrak a} 또는 \operatorname{Rad}(\mathfrak a).

정의[편집]

가환환 R아이디얼 \mathfrak a에 대하여, 다음 집합들은 모두 같으며, 이를 \mathfrak a근기 \sqrt{\mathfrak a} 또는 \operatorname{Rad}(\mathfrak a)라고 한다.

  • \sqrt{\mathfrak a}=\{r\in R|\exists n\in\mathbb Z^+\colon r^n\in\mathfrak a\}. 즉, 충분히 거듭제곱하면 \mathfrak a의 원소가 되는 것들의 집합이다.
  • R/\mathfrak a멱영원들의 집합 N에 대하여, \{r\in R\colon [r]\in N\}. 즉, 몫환에서 멱영원이 되는 것들의 집합이다.
  • \bigcap\{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R\colon\mathfrak p\supseteq\mathfrak a\}. 즉, \mathfrak a를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 교집합이다.

\mathfrak a의 근기 \sqrt{\mathfrak a}역시 R의 아이디얼을 이룬다.

\mathfrak a=\sqrt{\mathfrak a}인 아이디얼 \mathfrak a근기 아이디얼(根基ideal, 영어: radical ideal) 또는 준소 아이디얼(準素ideal, 영어: semiprime ideal)이라고 한다. 모든 소 아이디얼은 근기 아이디얼이다.

영 아이디얼의 근기 \sqrt{(0)}영근기라고 한다. 이는 멱영원들의 집합과 같다.

성질[편집]

근기는 멱등법칙을 따른다. 즉, \sqrt{\sqrt{\mathfrak a}}=\sqrt{\mathfrak a}다.

근기 아이디얼이자 으뜸 아이디얼인 아이디얼은 소 아이디얼이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

아이디얼 ⊇ 근기 아이디얼 ∪ 으뜸 아이디얼 ⊇ 근기 아이디얼 ∩ 으뜸 아이디얼 = 소 아이디얼극대 아이디얼

자리스키 위상에서, 아이디얼의 근기는 자리스키 폐포 연산자로 정의한다.

[편집]

정수환 \mathbb Z의 경우, 아이디얼 \mathbb Z/m의 근기는 다음과 같다.

\sqrt{\mathbb Z/m}=\mathbb Z/\left(\prod_{p\mid m}p\right)

여기서 \prod_{p\mid m}pm의 소인수들의 곱이다. 예를 들어

\sqrt{\mathbb Z/12}=\mathbb Z/6

이다.

대수적으로 닫힌 체 K 위의 다항식환 K[x]주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 다항식

\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\in K[x]\qquad(i\ne j\implies a_i\ne a_j)

으로 생성되는 주 아이디얼의 근기는 다음과 같다.

\sqrt{\left(\prod_{i=1}^k(x-a_i)^{n_i}\right)}=\prod_{i=1}^k(x-a_i)

보다 일반적으로, 데데킨트 정역 R에서, 영 아이디얼이나 R가 아닌 아이디얼은 소 아이디얼로 인수 분해되어

\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}

의 꼴로 유일하게 나타내어진다. 이 아이디얼의 근기는 다음과 같다.

\sqrt{\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p^{n(\mathfrak p)}}
=\prod_{\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R}\mathfrak p

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]