영인자

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추상대수학에서 의 0이 아닌 원소 a가 좌 영인자(left zero divisor)라는 것은 ab = 0을 만족하는 0이 아닌 원소 b가 존재하는 경우를 말한다. 마찬가지로 ba = 0을 만족하는 0이 아닌 원소 b가 존재하는 경우 a를 우 영인자(right zero divisor)라고 하며, 좌 영인자 또는 우 영인자인 원소를 간단히 영인자(zero divisor)라고 하며, 좌 영인자인 동시에 우 영인자인 원소를 two-sided zero devisor라고 한다. 0이 아니며 좌 영인자도 우 영인자도 아닌 원소를 정칙원소(regular element)라고 한다.

가환환에서는 좌 영인자와 우 영인자가 같다.

[편집]

  • 정수환 Z에는 영인자가 없는 반면, Z × Z에서는 (0,1) × (1,0) = (0,0)이므로 (0,1)과 (1,0)은 영인자이다.
  • 3 \times 4 \equiv 0 \pmod{6}이므로, 몫환 Z/6Z에서 4의 잉여류인 4 + 6Z는 영인자이다.
  • 정수 계수 2행 2열의 행렬 \begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}가 영인자임은 다음의 계산을 통해 알 수 있다:
\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\
0&0\end{pmatrix}.

성질[편집]

영인자는 결코 가역원이 될 수 없다. a가 가역원이고 ab = 0이면 0 = a-10 = a^-1ab = b이기 때문이다.

0이나 1이 아닌 임의의 멱등원은 영인자이다. a가 그러한 원소이면 a2 = a일 때 a(a - 1) = (a - 1)a = 0이기 때문이다. 0이 아닌 멱영원은 당연히 영인자이다.

0과 1이 같지 않고 영인자가 존재하지 않는 가환환정역이라 한다.

몫환 Z/nZ에 영인자가 존재할 필요충분조건은 n이 합성수인 것이다. n이 소수일 때 이 환은 가 되는데, 이는 정역보다 강한 조건이다.

같이 보기[편집]