영인자

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

환론에서, 영인자(零因子, 영어: zero divisor)는 0의 약수이지만 0이 아닌 원소이다. 정수환에는 존재하지 않지만, 다른 환에서는 존재할 수 있다.

정의[편집]

유사환 R에서 ab=0이지만 a,b\ne0인 경우, aR좌영인자(左零因子, 영어: left zero divisor)라고 하고, bR우영인자(右零因子, 영어: right zero divisor)라고 한다. 좌영인자이자 우영인자인 원소를 양쪽 영인자(영어: two-sided zero divisor)라고 한다.

가환 유사환에서는 물론 좌영인자·우영인자·양쪽 영인자의 개념이 일치한다.

성질[편집]

자명환은 자명하게 영인자를 갖지 않는다. 영인자를 갖지 않는 (곱셈 항등원을 갖는) 가환환정역이라고 한다.

영인자는 결코 가역원이 될 수 없다. a가 가역원이고 ab = 0이면 0 = a-10 = a^-1ab = b이기 때문이다.

0이나 1이 아닌 임의의 멱등원은 영인자이다. a가 그러한 원소이면 a2 = a일 때 a(a - 1) = (a - 1)a = 0이기 때문이다. 0이 아닌 멱영원은 당연히 영인자이다.

몫환 \mathbb Z/(n)에 영인자가 존재할 필요충분조건은 n이 합성수인 것이다. n이 소수일 때 이 환은 가 되는데, 이는 정역보다 강한 조건이다.

[편집]

  • 정수환 \mathbb Z에는 영인자가 없다. 보다 일반적으로, 모든 정역에서는 영인자가 없다.
  • \mathbb Z\times\mathbb Z에서는 (0,1)\cdot(1,0) = (0,0)이므로 (0,1)과 (1,0)은 영인자이다.
  • 3 \times 4 \equiv 0 \pmod{6}이므로, 몫환 \mathbb Z/(6)에서 4의 잉여류 4+6\mathbb Z은 영인자이다.
  • 행렬환 \operatorname{Mat}(2;\mathbb Z)에서, 다음과 같은 행렬은 영인자이다.
\begin{pmatrix}1&1\\ 2&2\end{pmatrix}

이는 다음의 계산을 통해 알 수 있다.

\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\
-2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\
2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\
0&0\end{pmatrix}

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]