클리퍼드 군

이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.

정의

국소 동차 원소

가환환 $K$가 주어졌을 때, $\mathbb {Z} /2$-등급 $K$-대수 $A$의 원소 $a\in A$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(영어: locally homogeneous element)라고 한다.^{:233, Lemma 5.1.4:149, §III.6.1}

• $(1-k)a\in A_{0}$, $ka\in A_{1}$인 원소 $k\in K$가 존재한다.
• 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} K$에 대하여, $a\in A\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}$는 동차 원소이다. 여기서 $\operatorname {Spec} K$는 환의 스펙트럼이며, $K_{\mathfrak {p}}$는 $K\setminus {\mathfrak {p}}$에서의 가환환의 국소화이다.
• 모든 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$에 대하여, $a\in A\otimes _{K}K_{\mathfrak {m}}$는 동차 원소이다. 여기서 $K_{\mathfrak {m}}$는 $K\setminus {\mathfrak {m}}$에서의 가환환의 국소화이다.

(물론 $K$가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군 $A_{\text{lh}}^{\times }$은 $A$의 가역원군 $A^{\times }$의 부분군을 이룬다.

$A_{0}^{\times }\subseteq A_{\text{lh}}^{\times }\subseteq A^{\times }$

국소 동차 가역원 $a\in A_{\text{lh}}^{\times }$가 주어졌으며, $k\in K$가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때, $A=(1-k)A\oplus kA$이며, 다음과 같은 $A$-자기 동형을 정의할 수 있다.^{:234:158, §III.6.5}

$\Theta _{a}\colon A\to A$

$\Theta _{a}\colon b\mapsto (1-k)xax^{-1}+kx\alpha (a)x^{-1}$

여기서

$\alpha \colon (a_{0}+a_{1})\mapsto (a_{0}-a_{1})\qquad \forall a_{0}\in A_{0},a_{1}\in A_{1}$

는 $\mathbb {Z} /2$ 등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.

클리퍼드 군

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cliff} (V,Q)$의 클리퍼드 군(영어: Clifford group)

$\Gamma (V,Q;K)\subseteq (\operatorname {Cliff} (V,Q))_{\text{lh}}^{\times }$

은 다음과 같은 원소 $x\in \operatorname {Cliff} (V,Q)$로 구성된, 가역원군의 부분군이다.^{:228, §IV.6.1}

• $x$는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
• $\Theta _{x}(V)\subseteq V$이다.
• 모든 $v\in V$에 대하여, $Q(\Theta _{x}(v))=Q(v)$이다.

즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cliff} (V,Q)$의 특수 클리퍼드 군(영어: special Clifford group)

$\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)\subseteq \Gamma (V,Q;K)\subseteq \operatorname {Cliff} (V,Q)^{\times }$

은 다음과 같다.^{:228, §IV.6.1}

$\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)=\Gamma (V,Q;K)\cap \operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)$

즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.

스핀 군과 핀 군

클리퍼드 군 $\Gamma (V,Q;K)$의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 핀 군(영어: pin group)이라고 한다.^{:230, §IV.6.2}

$\operatorname {Pin} (V,Q;K)=\left\{x\in \Gamma (V,Q;K)\colon \alpha (x)x=1\right\}$

마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.^{:230, §IV.6.2}

$\operatorname {Spin} (V,Q;K)=\operatorname {Pin} (V,Q;K)\cap \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)$

성질

임의의 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

${\begin{matrix}\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\subset &\operatorname {Pin} (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\subset &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)^{\times }&\subset &\operatorname {Cliff} (V,Q;K)^{\times }\end{matrix}}$

체 위의 클리퍼드 군

$K$가 체라고 하고, $V$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, $Q$가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 $K$-대수군의 짧은 완전열을 이룬다.

${\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}$

여기서

• $\mu _{2}(K)=\{a\in K^{\times }\colon a^{2}=1\}$은 $K$에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약 $K$의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
• $(K^{\times })^{2}\subseteq K^{\times }$는 $K^{\times }$ 속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군 $K^{\times }/(K^{\times })^{2}$는 $K$의 제곱 유군이다.
• 준동형 $\Gamma (V,Q;K)\to K^{\times }$은 스피너 노름이다. 마찬가지로 $\operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}$ 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
• $\operatorname {\Omega } (V,Q;K)\subseteq \operatorname {O} (V,Q;K)$는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군 $\operatorname {O} (V,Q;K)$의 부분군이다.
• 준동형 $\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)$는 클리퍼드 군의 $V$ 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. $\operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \operatorname {\Omega } (V,Q;K)$ 역시 마찬가지다.

위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.

${\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}$

(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

${\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &\mu _{2}(K)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}$

마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.

${\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &K^{\times }&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}$

여기서

• $\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2$는 딕슨 불변량이며, $\operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2$는 그 제한이다.
• $\operatorname {O} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2$는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, $\operatorname {SO} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2$는 그 제한이다.

실수 계수

$K=\mathbb {R}$이며, $V$가 $n$차원 실수 벡터 공간이며, $Q$가 비퇴화 이차 형식일 때, $\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )$의 가역원군 $\operatorname {Cliff} (p,q;\mathbb {R} )^{\times }$은 $2^{n}$차원 리 군을 이룬다. 만약 $Q$가 음의 정부호 이차 형식이라면, $\Gamma (0,n;\mathbb {R} )$는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분 $\Gamma _{0}(V,Q;\mathbb {R} )$는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\to 1$

$1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {S\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1$

즉, $\Gamma (0,n;\mathbb {R} )$는 $n(n-1)/2+1$차원 리 군이다. 전체 가역원군 $\operatorname {Cliff} (0,n;\mathbb {R} )^{\times }$은 $2^{n}$차원 리 군이므로, 이는 여차원 $2^{n}-n(n-1)/2-1$의 부분군이다.

직교군과의 관계

정의에 따라, 클리퍼드 군 $\Gamma (V,Q;K)$는 $V$ 위의 $K$-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식 $Q$를 보존하며, 따라서 직교군

$\operatorname {O} (V,Q;K)=\{f\in \operatorname {End} _{K}(V)\colon Q\circ f=Q\}$

으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\Gamma (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)$

클리퍼드 군 $\Gamma (V,Q;K)$는 $\{v\in V\colon Q(v)\in K^{\times }\}$를 부분 집합으로 포함한다 ($K^{\times }$는 $K$의 가역원군). 이 경우

$v^{-1}={\frac {v}{Q(v)}}$

$vu\alpha (v)^{-1}=-{\frac {vuv}{Q(v)}}={\frac {v^{2}u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}}=u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}\qquad \forall u\in V$

이다. 즉, $v\in V$의 작용은 $u$를 축 $v$에 대하여 반사시키는 것이다.

딕슨 불변량

$K$가 체이며, $V$가 유한 차원 벡터 공간이며, $Q$가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.

$D\colon \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2$

$D\colon x\mapsto \operatorname {rank} (u\mapsto u-xu\alpha (x)^{-1}){\bmod {2}}$

즉, 이는 $u$로 인하여 생성되는 $V$-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약 $K$의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.

$D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha (x)^{-1})}$

핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.

$\operatorname {Spin} (V,Q;K)=\ker D=\{x\in \operatorname {Pin} (V,Q;K)\colon D(x)=0\}$

참고 문헌

• Porteous, Ian R. (1995년 10월). 《Clifford algebras and the classical groups》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 50. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511470912. ISBN 978-0-521-55177-9. MR 1369094. Zbl 0855.15019. 
• Hanke, Jonathan (2013). 〈Quadratic forms and automorphic forms〉. Alladi, Krishnaswami; Bhargava, Manjul; Savitt, David; Tiep, Pham Huu. 《Quadratic and higher degree forms》. Developments in Mathematics (영어) 31. Springer-Verlag. 109-168쪽. arXiv:1105.5759. Bibcode:2011arXiv1105.5759H. doi:10.1007/978-1-4614-7488-3_5. ISBN 978-1-4614-7487-6. ISSN 1389-2177. Zbl 1282.11017. 

바깥 고리

• “Clifford algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.