리 초대수

리 초대수(Lie 超代數, 영어: Lie superalgebra)는 리 대수에 Z₂ 등급을 주어 일반화한 수학적 구조다. 초대칭이나 BRST 대칭 따위를 수학적으로 다룰 때 쓰인다. (푸앵카레) 초대칭에서는 짝수 등급이 보존을, 홀수 등급이 페르미온을 나타낸다. (그러나 BRST에서는 그 반대다.)

정의

리 초대수는 다음 두 공리를 만족하는, 가환환(대개 실수나 복소수)에 대한 Z₂ 등급 대수다. (이는 일반적인 리 대수의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.)

• (반대칭성) $[x,y]+(-1)^{|x||y|}[y,x]=0\;$
• (야코비 항등식) $(-1)^{|z||x|}[x,[y,z]]+(-1)^{|x||y|}[y,[z,x]]+(-1)^{|y||z|}[z,[x,y]]=0\;$

여기서 x, y, z는 순수하게 등급을 지니는 대수의 원소다. |x|는 등급을 뜻한다. 리 괄호의 등급은 다음과 같다.

$|[x,y]|=|x|+|y|{\text{ mod }}2\;$

벡터 공간으로서, 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$는 그 등급이 0(보손)인 부분공간 ${\mathfrak {g}}_{0}$과 등급이 1(페르미온)인 부분공간 ${\mathfrak {g}}_{1}$의 직합이다. 이렇게 분해하면, ${\mathfrak {g}}_{0}$는 리 대수를 이루고, ${\mathfrak {g}}_{1}$은 ${\mathfrak {g}}_{0}$의 표현을 이룬다. 또한, ${\mathfrak {g}}_{1}$은 다음과 같은 가환 비결합 괄호

$\{\cdot ,\cdot \}\colon {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{0}$

를 가진다.

분류

고전적(classical) 단순(simple) 복소 리 초대수의 목록은 다음과 같다.

이름	기호	조건	보손 부분대수	보손 차원	페르미온 표현	페르미온 차원
특수선형(special linear)	${\mathfrak {sl}}(m|n)$	$1\leq m<n$	${\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$m^{2}+n^{2}-1$	$(\mathbf {n} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {n} }},\mathbf {m} )$	$2mn$
사영특수선형(projective special linear)	${\mathfrak {psl}}(m|m)$	$m\geq 2$	${\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(m)$	$2n^{2}-2$	$(\mathbf {m} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {m} }},\mathbf {m} )$	$2m^{2}$
직교-심플렉틱(orthosymplectic)	${\mathfrak {osp}}(m|2n)$	$m\geq 1$, $n\geq 1$	${\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)$	$m(m-1)/2+n(2n+1)$	$(\mathbf {n} ,\mathbf {2m} )$	$2mn$
이상한(queer)	${\mathfrak {q}}(n)$	$n\geq 3$	${\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$n^{2}$	$\mathbf {(n^{2}-1)}$	$n^{2}-1$
페리플렉틱(periplectic)	${\mathfrak {p}}(n)$	$n\geq 3$	${\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$n^{2}$	$\mathbf {n} ^{{\text{sym}}\otimes 2}\oplus {\bar {\mathbf {n} }}^{\wedge 2}$	$n^{2}$
예외	${\mathfrak {d}}(2|1;\alpha )$	$\alpha \neq 0,-1,+1$	${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)$	9	$(\mathbf {2} ,\mathbf {2} ,\mathbf {2} )$	8
예외	${\mathfrak {f}}(3|1)$		${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)$	24	$(\mathbf {2} ,\mathbf {8} )$	16
예외	${\mathfrak {g}}(3)$		${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {g}}_{2}$	17	$(\mathbf {2} ,\mathbf {7} )$	14

위 표에서 $\mathbf {r} ^{{\text{sym}}\otimes 2}$는 $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$의 대칭 성분이고, $\mathbf {r} ^{\wedge 2}$는 $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.

• ${\mathfrak {sl}}(2|1)={\mathfrak {osp}}(2|2)$
• ${\mathfrak {d}}(2|1;1)={\mathfrak {osp}}(4,2)$

또한 ${\mathfrak {d}}(2|1;\alpha )$의 경우 $\alpha$에 대하여 여러 동형이 존재한다. 이 밖에 고전 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

이 밖에도, 카르탕 형 대수(영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(영어: hyperclassical algebra)라고 불리는 단순 리 초대수 $W(n)$, $S(n)$, ${\tilde {S}}(n)$, $H(n)$이 존재한다. 이들의 보손 부분공간은 리 대수를 이루지 않는다.

고전적 리 초대수

$(m|n)\times (m|n)$ 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.

${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

여기서 $A$는 $m\times m$이고, $B$는 n\times n</math>이다. $(m|n)\times (m|n)$ 초행렬의 모임을 일반 선형 초대수 $\operatorname {gl} (m|n)$이라고 쓰자. 초행렬의 초대각합(영어: supertrace)은 다음과 같다.^:§25

$\operatorname {str} {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\operatorname {tr} A-\operatorname {tr} D$

특수 선형 초대수 $\operatorname {sl} (m|n)$는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.^:§25

$\operatorname {sl} (m|n)=\{M\in \operatorname {gl} (m|n)\colon \operatorname {str} (m|n)=0\}$

단위 행렬 $1_{m|n}$의 경우 $\operatorname {str} 1_{m|n}=m-n$이므로, $1_{m|n}\in \operatorname {sl} (m|n)$일 필요충분조건은 $m=n$이다. 이 경우, 사영 특수 선형 초대수 $\operatorname {psl} (m|m)$는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.

$\operatorname {psl} (m|n)=\left\{[M]_{\sim }\colon M\in \operatorname {sl} (m|n),\;M\sim M+1_{m|n}\right\}$

직교-심플렉틱 초대수 · 이상한 초대수

직교-심플렉틱 초대수 $\operatorname {osp} (m|2n)$는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.^:§25

$\operatorname {osp} (m|2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \operatorname {gl} (m|n)\colon A^{\top }=-A,\;D^{\top }\Omega =-\Omega D,\;B=C^{\top }\Omega \right\}$

여기서

$\Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}$

이다.

페리플렉틱 초대수 ${\mathfrak {p}}(n)$는 다음과 같다.^:§25

${\mathfrak {p}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \operatorname {gl} (n|n)\colon A^{\top }=-D,\;B^{\top }=B,\;C^{\top }=-C,\;\operatorname {tr} A=0\right\}$

${\tilde {\mathfrak {q}}}(n)$를 다음과 같이 정의하자.

${\tilde {\mathfrak {q}}}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in \operatorname {gl} (n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname {tr} B=0\right\}$

이 리 초대수는 단위 행렬로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 이상한 초대수 ${\mathfrak {q}}(n)$이라고 한다.^:§25

${\mathfrak {q}}(n)=\{[M]_{\sim }\colon M\in {\tilde {\mathfrak {q}}}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\}$

응용

리 초대수는 이론물리학에서 쓰인다.

BRST 대칭

 이 부분의 본문은 BRST 양자화입니다.

게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 $Q$의 초괄호는 다음과 같다.

$\{Q,Q\}=0$

즉, 이는 멱영(영어: nilpotent) 리 초대수이다.

초대칭

 이 부분의 본문은 초대칭입니다.

초대칭 이론들은 시공간의 대칭들과 초대칭들을 포함하는 리 초대수를 대칭으로 가진다. 이들 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군과 R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다.

만약 이론이 초대칭과 등각대칭을 둘 다 가질 경우, 이 두 대칭군은 초등각 대칭군이라는 하나의 초군을 생성시킨다. 대표적으로, 4차원 민코프스키 ${\mathcal {N}}=4$ 초등각 대칭군은 단순초군 $PSU(2,2|4)$이다. 이 초군은 AdS/CFT 대응성에서 등장한다.

참고 문헌

• Cheng, Shun-Jen; Weiqiang Wang (2013). 《Dualities and Representations of Lie Superalgebras》. Graduate Studies in Mathematics 144. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9118-6. MR 3012224. Zbl pre06125952. 
• Musson, Ian M. (2012). 《Lie Superalgebras and Enveloping Algebras》. Graduate Studies in Mathematics 131. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6867-6. MR 2906817. Zbl 1255.17001. 
• Cheng, Shun-Jen; Weiqiang Wang (2010년 1월). “Dualities for Lie superalgebras”. arXiv:1001.0074. Bibcode:2010arXiv1001.0074C. 
• Leites, D. A. (1985년 9월). “Lie superalgebras”. 《Journal of Soviet Mathematics》 30 (6): 2481–2512. doi:10.1007/BF02249121. ISSN 0090-4104. 
• Kac, Victor G. (1977년 10월). “Lie superalgebras”. 《Advances in Mathematics》 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2. ISSN 0001-8708. MR 0486011. 
• Kac, Victor G. (1977년 2월). “A sketch of Lie superalgebra theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 53 (1): 31–64. Bibcode:1977CMaPh..53...31K. doi:10.1007/BF01609166. ISSN 0010-3616. MR 0442049. Zbl 0359.17009. 
• Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group Theory: A Physicist’s Survey》. Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001. 
• 〈A guide to Lie superalgebras〉. 《Group theoretical methods in physics: Sixth International Colloquium, Tübingen, 1977》. Lecture Notes in Physics 79. Springer. 3–21쪽. doi:10.1007/3-540-08848-2_1. ISBN 978-3-540-08848-6. ISSN 0075-8450. 

바깥 고리

• “Super Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Supergroup”. 《nLab》 (영어). 
• “Super-translation group”. 《nLab》 (영어). 
• “General linear supergroup”. 《nLab》 (영어). 
• “Orthosymplectic super Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 
• Ridout, David (2011년 4월 29일). “A (gentle) introduction to Lie superalgebras” (PDF). 

같이 보기

• 초대칭
• 초공간
• 초군