추상대수학 에서 합성 대수 (合成代數, 영어 : composition algebra )는 대략 “절댓값의 제곱이 잘 정의되는” 대수 구조 이다. 구체적으로, 이는 (결합 법칙 이나 교환 법칙 을 따르지 않을 수 있는) 쌍선형 이항 연산 이 주어져 있으며, 이와 호환되는 (양의 정부호 가 아닐 수 있는) 비퇴화 쌍선형 형식 또는 비퇴화 이차 형식 이 주어진 벡터 공간 으로 구성된다.[ 1]
가환환
K
{\displaystyle K}
합성 대수 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
K
{\displaystyle K}
가군
A
{\displaystyle A}
K
{\displaystyle K}
선형 변환
A
⊗
K
A
→
A
{\displaystyle A\otimes _{K}A\to A}
a
⊗
K
b
↦
a
⋆
b
{\displaystyle a\otimes _{K}b\mapsto a\star b}
결합 법칙 이나 교환 법칙 을 따를 필요가 없다.)
⋆
{\displaystyle \star }
1
A
∈
A
{\displaystyle 1_{A}\in A}
A
{\displaystyle A}
비퇴화 이차 형식
Q
:
A
→
K
{\displaystyle Q\colon A\to K}
rad
Q
=
{
a
∈
A
:
Q
(
a
,
A
)
=
0
}
=
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {rad} Q=\{a\in A\colon Q(a,A)=0\}=\{0\}}
Q
(
1
A
)
=
1
K
{\displaystyle Q(1_{A})=1_{K}}
Q
(
a
⋆
b
)
=
Q
(
a
)
Q
(
b
)
∀
a
,
b
∈
A
{\displaystyle Q(a\star b)=Q(a)Q(b)\qquad \forall a,b\in A}
이차 형식 이 양의 정부호 일 필요는 없다.)(일부 문헌에서는 합성 대수의 정의에서 항등원의 존재를 요구하지 않는다.)
합성 대수는 다음과 같은 자연스러운 추가 구조들을 갖는다.
합성 대수
A
{\displaystyle A}
대칭 쌍선형 형식 을 정의할 수 있다.
⟨
−
,
−
⟩
:
A
⊗
A
→
K
{\displaystyle \langle -,-\rangle \colon A\otimes A\to K}
⟨
a
,
b
⟩
=
Q
(
a
+
b
)
−
Q
(
a
)
−
Q
(
b
)
{\displaystyle \langle a,b\rangle =Q(a+b)-Q(a)-Q(b)}
만약 가환환
K
{\displaystyle K}
가역원 이라면, 비퇴화 이차 형식 의 개념은 비퇴화 대칭 쌍선형 형식 의 개념과 동치 이며, 이 경우
Q
{\displaystyle Q}
Q
(
a
)
=
1
2
⟨
a
,
a
⟩
{\displaystyle Q(a)={\frac {1}{2}}\langle a,a\rangle }
즉, 대신 비퇴화 대칭 쌍선형 형식을 사용하여 위와 동치인 정의를 적을 수 있다.
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
대각합 이 존재한다.
tr
a
=
Q
(
a
+
1
)
−
Q
(
a
)
−
1
∀
a
∈
A
{\displaystyle \operatorname {tr} a=Q(a+1)-Q(a)-1\qquad \forall a\in A}
이는
K
{\displaystyle K}
tr
:
A
→
K
{\displaystyle \operatorname {tr} \colon A\to K}
을 정의하며, 또한 정의에 따라
tr
1
A
=
2
{\displaystyle \operatorname {tr} 1_{A}=2}
이다.
대각합으로부터, 다음과 같은 대합 을 정의할 수 있다.
a
∗
=
tr
(
a
)
1
A
−
a
{\displaystyle a^{*}=\operatorname {tr} (a)1_{A}-a}
이는 물론
K
{\displaystyle K}
(
−
)
∗
:
A
→
A
{\displaystyle (-)^{*}\colon A\to A}
를 정의한다.
합성 대수
A
{\displaystyle A}
미분 리 대수
d
e
r
(
A
)
{\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}
삼중성 리 대수
t
r
i
(
A
)
{\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)}
요르단 대수 로부터 프로이덴탈 마방진 단순 리 대수 를 포함한 여러 리 대수들을 구성할 수 있다.
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
[ 1] :156–157, §Ⅱ.2.4
tr
(
a
∗
)
=
tr
a
{\displaystyle \operatorname {tr} (a^{*})=\operatorname {tr} a}
1
A
∗
=
1
A
{\displaystyle 1_{A}^{*}=1_{A}}
Q
(
a
∗
)
=
Q
(
a
)
{\displaystyle Q(a^{*})=Q(a)}
a
∗
∗
=
a
{\displaystyle a^{**}=a}
a
∗
⋆
(
a
⋆
b
)
=
a
⋆
(
a
∗
⋆
b
)
=
(
b
⋆
a
)
⋆
a
∗
=
(
b
⋆
a
∗
)
⋆
a
=
Q
(
a
)
b
{\displaystyle a^{*}\star (a\star b)=a\star (a^{*}\star b)=(b\star a)\star a^{*}=(b\star a^{*})\star a=Q(a)b}
a
⋆
a
−
tr
(
a
)
a
+
Q
(
a
)
=
0
{\displaystyle a\star a-\operatorname {tr} (a)a+Q(a)=0}
⟨
a
b
,
c
⟩
=
⟨
b
,
a
∗
c
⟩
=
⟨
a
,
c
b
∗
⟩
{\displaystyle \langle ab,c\rangle =\langle b,a^{*}c\rangle =\langle a,cb^{*}\rangle }
일반적으로, 표수가 2가 아닌 임의의 체
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
케일리-딕슨 구성 을 가하여 얻어진다.
실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
복소수체
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
사원수 대수
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
팔원수 대수
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
분할복소수 대수
C
~
=
R
[
x
]
/
(
x
2
−
1
)
≅
R
⊕
R
{\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }
분할 사원수 (영어 : split-quaternion ) 대수
H
~
{\displaystyle {\tilde {\mathbb {H} }}}
Mat
(
2
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )}
행렬식 과 같다.분할 팔원수 (영어 : split-octonion ) 대수
O
~
=
Zorn
(
R
)
{\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}=\operatorname {Zorn} (\mathbb {R} )}
체
K
{\displaystyle K}
케일리-딕슨 구성 은 제곱 유군 에 의하여 분류된다. 따라서, 만약
K
{\displaystyle K}
이차 폐체 일 경우, 각 단계에서 케일리-딕슨 구성 은 유일하다.
따라서, 만약
K
{\displaystyle K}
표수 가 2가 아닌 이차 폐체 일 경우, 그 위의 합성 대수는 정확하게 네 개가 있다.
K
{\displaystyle K}
K
⊕
K
{\displaystyle K\oplus K}
K
=
C
{\displaystyle K=\mathbb {C} }
C
⊗
R
C
{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
Mat
(
K
;
2
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (K;2)}
K
=
C
{\displaystyle K=\mathbb {C} }
H
⊗
R
C
{\displaystyle \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
Zorn
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {Zorn} (K)}
K
=
C
{\displaystyle K=\mathbb {C} }
O
⊗
R
C
{\displaystyle \mathbb {O} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
임의의 체
K
{\displaystyle K}
(
K
,
a
↦
a
2
)
{\displaystyle (K,a\mapsto a^{2})}
교환 법칙 과 결합 법칙 을 따른다.
임의의 체
K
{\displaystyle K}
가환
K
{\displaystyle K}
결합 대수
K
⊕
K
{\displaystyle K\oplus K}
(
a
,
b
)
+
(
a
′
,
b
′
)
=
(
a
+
a
′
,
b
+
b
′
)
{\displaystyle (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')}
(
a
,
b
)
(
a
′
,
b
′
)
=
(
a
a
′
,
b
b
′
)
{\displaystyle (a,b)(a',b')=(aa',bb')}
이 위에 비퇴화 이차 형식
Q
(
a
,
b
)
=
a
b
{\displaystyle Q(a,b)=ab}
을 정의하면, 이는 2차원
K
{\displaystyle K}
tr
(
a
,
b
)
=
a
+
b
{\displaystyle \operatorname {tr} (a,b)=a+b}
이며, 대칭 쌍선형 형식 은
⟨
(
a
,
b
)
,
(
a
′
,
b
′
)
⟩
=
a
b
′
+
a
′
b
{\displaystyle \langle (a,b),(a',b')\rangle =ab'+a'b}
이다. 대합은 다음과 같이 두 성분의 순서를 바꾸는 것이다.
(
a
,
b
)
∗
=
(
b
,
a
)
{\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}
임의의 체
K
{\displaystyle K}
Mat
(
2
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)}
Q
=
det
{\displaystyle Q=\det }
행렬식 )을 잡으면,
(
Mat
(
2
;
K
)
,
det
)
{\displaystyle (\operatorname {Mat} (2;K),\det )}
결합 법칙 을 따르는 4차원 합성 대수를 이룬다. 그러나 이는 교환 법칙 을 따르지 않는다.
이 경우 합성 대수 대각합은 2×2 행렬의 대각합 과 같다. 쌍선형 형식 은 다음과 같다.
⟨
(
a
b
c
d
)
,
(
a
′
b
′
c
′
d
′
)
⟩
=
a
d
′
+
a
′
d
−
b
c
′
−
b
′
c
{\displaystyle \left\langle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix}}\right\rangle =ad'+a'd-bc'-b'c}
대합 은 다음과 같다.
(
a
b
c
d
)
∗
=
(
d
−
b
−
c
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}
Mat
(
2
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)}
K
{\displaystyle K}
K
⊕
K
{\displaystyle K\oplus K}
대각 행렬 로서 포함한다.
임의의 체
K
{\displaystyle K}
벡터 공간
Zorn
(
K
)
=
K
8
{\displaystyle \operatorname {Zorn} (K)=K^{8}}
Zorn
(
K
)
=
{
[
a
u
v
b
]
:
a
,
b
∈
K
,
u
,
v
∈
K
3
}
{\displaystyle \operatorname {Zorn} (K)=\left\{{\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\colon a,b\in K,\;\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{3}\right\}}
이 위에, 다음과 같은 “곱셈”을 정의하자. 이는 행렬 의 곱셈과 유사하나, 3차원 벡터의 벡터곱 에 해당하는 추가 항들이 등장한다.
[
a
u
v
b
]
⋆
[
a
′
u
′
v
′
b
′
]
=
[
a
a
′
+
u
⋅
v
′
a
u
′
+
u
b
′
+
v
×
v
′
v
a
′
+
b
v
′
−
u
×
u
′
v
⋅
u
′
+
b
b
′
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\star {\begin{bmatrix}a'&\mathbf {u} '\\\mathbf {v} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} '&a\mathbf {u} '+\mathbf {u} b'+\mathbf {v} \times \mathbf {v} '\\\mathbf {v} a'+b\mathbf {v} '-\mathbf {u} \times \mathbf {u} '&\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '+bb'\end{bmatrix}}}
그 위의 이차 형식 은 다음과 같은 “행렬식”이다.
Q
(
[
a
u
v
b
]
)
=
det
[
a
u
v
b
]
=
a
b
−
u
⋅
v
{\displaystyle Q\left({\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\right)=\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }
그렇다면, 이는
K
{\displaystyle K}
결합 법칙 이나 교환 법칙 을 따르지 않는다. 이를
K
{\displaystyle K}
초른 대수 (영어 : Zorn algebra )라고 한다.[ 1] :158–160, Example Ⅱ.2.4.2
합성 대수를 이룸의 증명:
det
(
[
a
u
v
b
]
⋆
[
a
′
u
′
v
′
b
′
]
)
=
det
[
a
a
′
+
u
⋅
v
′
a
u
′
+
u
b
′
+
v
×
v
′
v
a
′
+
b
v
′
−
u
×
u
′
v
⋅
u
′
+
b
b
′
]
=
(
a
a
′
+
u
⋅
v
′
)
(
v
⋅
u
′
+
b
b
′
)
−
(
a
u
′
+
u
b
′
+
v
×
v
′
)
⋅
(
v
a
′
+
b
v
′
−
u
×
u
′
)
=
(
a
a
′
+
u
⋅
v
′
)
(
v
⋅
u
′
+
b
b
′
)
−
(
a
u
′
+
u
b
′
)
⋅
(
v
a
′
+
b
v
′
)
+
(
u
×
u
′
)
⋅
(
v
×
v
′
)
=
a
a
′
b
b
′
−
a
b
u
′
⋅
v
′
−
a
′
b
′
u
⋅
v
+
(
u
⋅
v
)
(
u
′
⋅
v
′
)
=
(
a
b
−
u
⋅
v
)
(
a
′
b
′
−
u
′
⋅
v
′
)
=
(
det
[
a
u
v
b
]
)
(
det
[
a
′
u
′
v
′
b
′
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\det \left({\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\star {\begin{bmatrix}a'&\mathbf {u} '\\\mathbf {v} '&b'\end{bmatrix}}\right)&=\det {\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} '&a\mathbf {u} '+\mathbf {u} b'+\mathbf {v} \times \mathbf {v} '\\\mathbf {v} a'+b\mathbf {v} '-\mathbf {u} \times \mathbf {u} '&\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '+bb'\end{bmatrix}}\\&=(aa'+\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '+bb')-(a\mathbf {u} '+\mathbf {u} b'+\mathbf {v} \times \mathbf {v} ')\cdot (\mathbf {v} a'+b\mathbf {v} '-\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\\&=(aa'+\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '+bb')-(a\mathbf {u} '+\mathbf {u} b')\cdot (\mathbf {v} a'+b\mathbf {v} ')+(\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {v} ')\\&=aa'bb'-ab\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} '-a'b'\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} ')\\&=(ab-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(a'b'-\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} ')\\&=\left(\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}\right)\left(\det {\begin{bmatrix}a'&\mathbf {u} '\\\mathbf {v} '&b'\end{bmatrix}}\right)\end{aligned}}}
여기서 항등식
(
u
×
u
′
)
⋅
(
v
×
v
′
)
=
(
u
⋅
v
)
(
u
′
⋅
v
′
)
−
(
u
⋅
v
′
)
(
v
⋅
u
′
)
{\displaystyle (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {v} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} ')-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ')(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}
을 사용하였다.
그 항등원은 다음과 같은 “단위 행렬 ”이다.
1
Zorn
(
K
)
=
[
1
K
0
0
1
K
]
{\displaystyle 1_{\operatorname {Zorn} (K)}={\begin{bmatrix}1_{K}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &1_{K}\end{bmatrix}}}
또한, 그 대각합은 마찬가지로 “2×2 행렬”의 “대각합 ”이다.
tr
[
a
u
v
b
]
=
a
+
b
{\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}=a+b}
그 위의 대합 은 다음과 같다.
[
a
u
v
b
]
∗
=
[
b
−
u
−
v
a
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&\mathbf {u} \\\mathbf {v} &b\end{bmatrix}}^{*}={\begin{bmatrix}b&-\mathbf {u} \\-\mathbf {v} &a\end{bmatrix}}}
Zorn
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {Zorn} (K)}
K
{\displaystyle K}
K
⊕
K
{\displaystyle K\oplus K}
대각 행렬 ”로서 포함하며, 또 3차원 벡터 공간 속의 임의의 방향을 고르면
K
{\displaystyle K}
Mat
(
2
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (2;K)}
“합성 대수”라는 이름은 이러한 대수 구조에서 노름이 곱셈과 호환된다는 조건이 제곱들의 합 두 개의 곱을 제곱들의 합으로 나타내는 항등식을 정의하기 때문이다. 예를 들어, 복소수
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }
(
a
a
′
−
b
b
′
)
2
+
(
a
b
′
+
a
′
b
)
2
=
(
a
2
+
b
2
)
(
a
′
2
+
b
′
2
)
{\displaystyle (aa'-bb')^{2}+(ab'+a'b)^{2}=(a^{2}+b^{2})(a'^{2}+b'^{2})}
을 정의하며, 마찬가지로 분할복소수
z
=
a
+
b
j
{\displaystyle z=a+b\mathrm {j} }
j
2
=
1
{\displaystyle \mathrm {j} ^{2}=1}
(
a
a
′
+
b
b
′
)
2
−
(
a
b
′
+
a
′
b
)
2
=
(
a
2
−
b
2
)
(
a
′
2
−
b
′
2
)
{\displaystyle (aa'+bb')^{2}-(ab'+a'b)^{2}=(a^{2}-b^{2})(a'^{2}-b'^{2})}
을 정의한다. 즉, 이러한 항등식은 제곱들의 합 두 개의의 곱을 또다른 제곱들의 합으로 “합성”한다.
복소수체의 노름에 해당하는 항등식은 이미 기원후 3세기에 디오판토스 에게 알려져 있었다.[ 2] :Ⅲ §19
브라마굽타 는 628년에 디오판토스의 항등식을 일반화하였으며, 특히 이 항등식은 분할복소수 에 대응하는 항등식을 특별한 경우로 포함한다.[ 3]
1748년에 레온하르트 오일러 는 사원수 의 노름에 대응하는 항등식을 발견하였으며, 1818년에 덴마크의 페르디난드 데겐(덴마크어 : Ferdinand Degen )은 팔원수 의 노름에 해당하는 항등식을 발견하였다.
1843년에 윌리엄 로언 해밀턴 은 오일러의 항등식을 사용하여 사원수 의 대수를 구성하였다. 같은 해에 존 토머스 그레이브스(영어 : John Thomas Graves , 1806~1870)는 팔원수 의 대수를 구성하였으며, 이듬해에 아서 케일리 는 팔원수 의 대수를 독자적으로 재발견하였다. 1848년에는 합성 대수
C
⊗
R
C
{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
영어 : James Cockle , 1819~1895)이 “테사린”(영어 : tessarine )이라는 이름으로 발견하였다.
1919년에 레너드 유진 딕슨 이 케일리-딕슨 구성 을 도입하였으며, 이를 사용하여 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수들을 체계적으로 구성하였다. 1923년에는 아돌프 후르비츠 가 양의 정부호 노름을 갖는, 실수체 위의 합성 대수는 총 네 개(
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
1931년에 막스 초른 은 케일리-딕슨 구성 을 일반화하여, 분할 팔원수
O
~
{\displaystyle {\tilde {\mathbb {O} }}}
[ 4] 네이선 제이컵슨 이 합성 대수의 자기 동형군 을 묘사하였다.[ 5]
이 부분의 본문은 미분 리 대수입니다.
![{\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd39b3b77687302f5b21baef407e4c31d1472243)
