삼중성 리 대수

팔원수에 대응되는 삼중성 리 대수 ${\mathfrak {d}}_{4}={\mathfrak {o}}(8)={\mathfrak {tri}}(\mathbb {O} )$의 딘킨 도표는 삼중성에 의하여 Sym(3) 대칭을 갖는다.

추상대수학에서 삼중성 리 대수(三重性Lie代數, 영어: triality Lie algebra)는 합성 대수로부터 정의되는, 3차 대칭군의 작용을 갖는 특별한 리 대수이다. 가장 대표적인 예는 팔원수로부터 정의되는 실수 리 대수 ${\mathfrak {o}}(8)$이며, 이에 따라 이 리 대수의 8차원 벡터 표현 및 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너들이 서로 삼중성 아래 순열로 변환한다.

정의

$K$가 2와 3이 가역원인 체라고 하자. $K$ 위의 합성 대수 $A$ 에 대하여, 다음을 정의하자.

${\mathfrak {tri}}(A)=\{(A,B,C)\in {\mathfrak {o}}(A,Q)^{\oplus 3}\colon A(x\star y)=x\star By+Cx\star y\qquad \forall x,y\in A\}$

여기서 ${\mathfrak {o}}(A,Q)$는 $A$의 이차 형식 $Q\colon A\to K$(에 대응하는 대칭 쌍선형 형식)에 대한 직교 리 대수이다.

이는 ${\mathfrak {o}}(A,Q)^{\oplus 3}$의 부분 리 대수를 이룬다. 이를 $A$의 삼중성 리 대수라고 하며, ${\mathfrak {tri}}(A)$로 표기한다.^{:§4.1:18–24}

이는 다음과 같은 $K$-벡터 공간 동형 사상을 갖는다.

${\mathfrak {tri}}(A)\cong {\mathfrak {der}}(A)\oplus \operatorname {Im} (A)\oplus \operatorname {Im} (A)$

증명:

각 $a\in A$에 대하여, 교환자

$[x,y,z]=(x\star y)z-x(y\star z)$

를 정의하면, 교대 법칙에 의하여

$[a,x,y]+[x,a,y]=0$

이며, 이는

$({\mathsf {L}}_{a},-{\mathsf {L}}_{a},{\mathsf {L}}_{a}+{\mathsf {R}}_{a})\in {\mathfrak {tri}}(A)\qquad \forall a\in A$

로 번역된다. 마찬가지로

$[x,y,b]+[x,b,y]=0$

은

$({\mathsf {R}}_{b},{\mathsf {L}}_{b}+{\mathsf {R}}_{b},-{\mathsf {R}}_{b})\in {\mathfrak {tri}}(A)$

로 번역된다. 이들은 각각 선형 변환

$K\hookrightarrow {\mathfrak {tri}}(A)$

를 정의한다.

이에 따라, $K$-선형 변환

${\mathfrak {der}}(A)\oplus K\oplus K\to {\mathfrak {tri}}(A)$

$(\delta ,a,b)\mapsto (\delta ,0,0)+({\mathsf {L}}_{a},-{\mathsf {L}}_{a},{\mathsf {L}}_{a}+{\mathsf {R}}_{a})+({\mathsf {R}}_{b},{\mathsf {L}}_{b}{\mathsf {R}}_{b},-{\mathsf {R}}_{b})$

이 존재한다. 또한, 이는 왼쪽 역사상

$(A,B,C)\mapsto (A-{\mathsf {L}}_{a}+{\mathsf {R}}_{b},a,b)$

$a={\frac {1}{3}}B(1)+{\frac {2}{3}}C(1)$

$b={\frac {2}{3}}B(1)+{\frac {1}{3}}C(1)$

를 갖는 것을 쉽게 확인할 수 있으며, 이 왼쪽 역사상은 단사 함수인 것을 다음과 같이 쉽게 확인할 수 있다.

$B(y)=A(1\star y)-C(1)\star y$

$C(x)=A(x\star 1)-x\star B(1)$

성질

3차 대칭군의 작용

${\mathfrak {tri}}(A)$ 위에는 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.

$\theta ,\zeta \colon {\mathfrak {tri}}(A)\to {\mathfrak {tri}}(A)$

$\theta \colon (A,B,C)\mapsto (B^{*},C,A^{*})$

$\zeta \colon (A,B,C)\mapsto (A^{*},C^{*},B^{*})$

여기서

$A^{*}(x)=(A(x^{*}))^{*}$

를 뜻한다. 그렇다면,

$\theta ^{2}\colon (A,B,C)\mapsto (C^{*},A^{*},B)$

$\theta ^{3}=\zeta ^{2}=\operatorname {id}$

$\zeta \circ \theta =\theta ^{2}\circ \zeta \colon (A,B,C)\mapsto (B,A,C^{*})$

$\theta \circ \zeta =\zeta \circ \theta ^{2}\colon (A,B,C)\mapsto (C,B^{*},A)$

가 된다. 즉, 이는 군 준동형

$\operatorname {Sym} (3)\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {tri}}(A))$

를 정의한다 ($\operatorname {Sym} (3)$은 3차 대칭군). 이를 삼중성(영어: triality)이라고 한다.

또한, ${\mathfrak {der}}(A)$와 ${\mathfrak {tri}}(A)$ 사이에, $\operatorname {Im} (A)^{\oplus 2}$의 대각 성분으로 구성되는, 벡터 공간으로서 ${\mathfrak {der}}(A)\oplus \operatorname {Im} (A)$인 리 대수 ${\mathfrak {tri}}'(A)$가 존재한다. 이 위에는 $\operatorname {Sym} (3)$ 삼중성이 $\operatorname {Sym} (2)$ 이중성으로 깨지게 된다.

프로이덴탈 마방진과의 관계

두 실수 합성 대수 $A$, $B$에 대하여, 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상이 존재한다.^{:Theorem 4.4, §4.3}

${\mathfrak {freud}}(3;A,B)\cong {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A\otimes _{\mathbb {R} }B)^{\oplus 3}$

여기서 ${\mathfrak {freud}}(3;A,B)$는 $A$와 $B$로 정의되는 3×3 프로이덴탈 마방진 실수 리 대수이다. 특히, 우변에서 ${\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)$는 ${\mathfrak {freud}}(3;A,B)$의 부분 리 대수를 이룬다.

또한, 임의의 실수 합성 대수 $A$에 대하여, 그 위의 3×3 에르미트 행렬로 구성된 실수 요르단 대수 $\operatorname {H} (3;A)$의 미분 리 대수는 다음과 같은 표준적인 실수 벡터 공간 동형 사상을 갖는다.^{:Theorem 4.1, §4.1}

${\mathfrak {der}}(\operatorname {H} (3;A))\cong {\mathfrak {tri}}(A)\oplus A^{\oplus 3}$

특히, 우변에서 ${\mathfrak {tri}}(A)$는 ${\mathfrak {der}}(\operatorname {H} (3;A))$의 부분 리 대수이다.

예

실수 합성 대수에 대하여, 삼중성 리 대수는 다음과 같다.

실수 합성 대수 $A$	${\mathfrak {der}}(A)$	${\mathfrak {tri}}'(A)$	${\mathfrak {tri}}(A)$
$\mathbb {R}$	0	0	0
$\mathbb {C}$	0	${\mathfrak {o}}(2)$	${\mathfrak {o}}(2)^{\oplus 2}$
${\tilde {\mathbb {C} }}$	0	${\mathfrak {o}}(1,1)$	${\mathfrak {o}}(1,1)^{\oplus 2}$
$\mathbb {H}$	${\mathfrak {o}}(3)$	${\mathfrak {o}}(4)$	${\mathfrak {o}}(3)^{\oplus 3}$
${\tilde {\mathbb {H} }}$	${\mathfrak {o}}(1,2)$	${\mathfrak {o}}(2,2)$	${\mathfrak {o}}(1,2)^{\oplus 3}$
$\mathbb {O}$	${\mathfrak {g}}_{2}$	${\mathfrak {o}}(7)$	${\mathfrak {o}}(8)$
${\tilde {\mathbb {O} }}$	${\mathfrak {g}}_{2(2)}$	${\mathfrak {o}}(3,4)$	${\mathfrak {o}}(4,4)$

여기서 ${\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} \oplus \mathbb {R}$, ${\tilde {\mathbb {H} }}=\operatorname {Mat} (2,\mathbb {R} )$, ${\tilde {\mathbb {O} }}=\operatorname {Zorn} (\mathbb {R} )$는 각각 분할복소수 · 분할 사원수 · 분할 팔원수의 실수 합성 대수이다.

외부 링크

• Distler, Jacques (2012년 1월 27일). “G₂ and Spin(8) triality”. 《Musings》 (영어).