영국의 수학자 존 펠(John Pell)의 이름에서 명명되는 펠 수열 또는 펠 시퀸스(Pell Sequece)는 펠 방정식 또는
의 근사 값을 구하는 과정에서 출현하는 수학 상수 펠 수를 분모로 갖는 분수의 순서있는 나열이다.
펠 수열(Pell Sequence)은 펠 방정식
![{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4fb5f7a5ba80ff4572a3f21d645477f80ad43fc)
을 만족하는 해의 순서있는 나열이다.
따라서, 펠 방정식의 보다 더 큰 해의 정보는
의 값에 보다 접근하게 된다.
펠 수열(Pell sequence)은 펠 방정식의 해들의 순서있는 나열이며 다음과 같다,
펠 방정식
에서
이다.
![{\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\cdots ,{577 \over 408},\cdots ,{665857 \over 470832},\cdots ,{886731088897 \over 627013566048},\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d4463c6a1ab2f5ad1e179882e74dfcd68182c2)
또한
![{\displaystyle x_{n}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe8a123e7e1e8bd503cfa984c38b4c4c2f32395)
![{\displaystyle y_{n}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2{\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b597bf77a579e0ce02739b6fe8da40394cfb436b)
또한
![{\displaystyle x_{n}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}={{\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}+{{\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{n}} \over {2}}=\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}+\left({{1-{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c98a5fc4fe60f00c8ba72ddc198ce328f4a9ab)
를 예약하면,
![{\displaystyle \quad =\alpha ^{n}+(-\alpha )^{-n}=\left({{1+{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}+\left({{1-{\sqrt {2}}} \over {2^{{1} \over {n}}}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1645ffd8c617fa40d3a0d2a3684931929b078dcf)
![{\displaystyle \alpha ^{n}+(1-\alpha )^{n}=L_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce89da8f65ed7852b24869ee4e50bb4087feccd)
이렇게 루카스 시퀸스(루카스 수열)와 연관된다.
펠 수는 펠 방정식의 해
에서, 분모인
이다.
![{\displaystyle 1,2,5,{12},{29},{70},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b2fea32488881b96cd6390acfc7cf7d3549c01)
펠 수열은
의 근사 값을 구하는 과정에서 빠르게 나타나는 수열이기도 하다.
이것은 근삿값을 구하는 방법인 바빌로니아 법으로부터 찾아져지는 분수들이다.
따라서 바빌로니아 법 같은 근삿값을 구하는 함수는
에 대해서 펠 수열을 구하는 생성함수가 될 수 있다.
다음은 근삿값을 구하는 바빌로니아 법
는
에서,
이고,
에 대입하여 ,
위의 과정을 반복해보면,
아래는 위의 방법에 따라
의 근삿값을 구한 것으로 펠 수열의 일부가 된다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=&1&\\x_{1}&=&3&/2\\x_{2}&=&17&/12\\x_{3}&=&577&/408\\x_{4}&=&665857&/470832\\x_{5}&=&886731088897&/627013566048\\\vdots &&\vdots &\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa0f7d701ed93860f2b25b1820e0a20ceb8aa09)
따라서
![{\displaystyle {1 \over 1},{3 \over 2},{17 \over 12},{577 \over 408},{665857 \over 470832},{886731088897 \over 627013566048},\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d67b3a2439614ecf718ecc31c5d89784258b1f3)