미분기하학에서 제트(영어: jet)는 어떤 매끄러운 함수 또는 단면의 테일러 급수를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 제트 다발(영어: jet bundle)이라는 올다발의 단면을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.)
차원 매끄러운 다양체
위의 올다발
이 주어졌다고 하자. 또한,
의 올 역시
차원의 매끄러운 다양체라고 하자.
점
의 근방에 정의되는,
의 매끄러운 단면의 공간을
라고 표기하자.
의 두 매끄러운 국소 단면
이
에서 같은
차 제트(영어:
th jet)를 갖는다는 것은 다음과 동치이다.
- 임의의
의 국소 좌표계 및
의 국소 자명화 및 다중지표
에 대하여, 만약
이라면 ![{\displaystyle \partial ^{\alpha }s|_{x}=\partial ^{\alpha }t|_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7006aae3d056edd8efa1457d1eb8d1ac77fe8d)
즉,
에서의
차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면
의
에서의
차 제트를
로 표기한다.
임의의
에 대하여,
차 제트들의 집합
에는 다음과 같이
![{\displaystyle \dim J_{x}^{r}E=k\sum _{i=0}^{r}{\binom {i+n-1}{i}}=k{\binom {r+n}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a106a95c3fc8c2173b450a2d49b5bc1e1ba041)
차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다.
의
에서의 국소 좌표계
및 이를 확장하는
의
에서의 국소 좌표계
가 주어졌다면,
![{\displaystyle (\partial ^{\alpha }e^{i})_{\alpha \in \mathbb {N} ^{n},\;|\alpha |\leq r,\;i\in \{1,\dots ,k\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ca94af502b67330b3f1b291b7169f64cc2381ed)
는
의 국소 좌표계를 정의한다.
를
의
차 제트 공간(
次jet空間, 영어:
th jet space)이라고 한다.
차 제트 공간에서
차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.
![{\displaystyle J_{x}^{r}E\to J_{x}^{s}E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c02af4447dfea2d956bf58e0243ad6c6bbcb090)
그러나
차 제트 공간에서
차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.
위에,
차 제트 공간
을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를
차 제트 다발
이라고 한다. 즉, 제트 다발
의 전체 공간은
차원이다.
자연스러운 사영
이 존재하므로, 이는
위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상
![{\displaystyle j^{r}\colon \Gamma _{x}(E)\to \Gamma _{x}(J^{r}E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ed185f5f4fc47052f1a1b451674a8114e8516c)
![{\displaystyle j^{r}\colon s\mapsto j^{r}s\qquad \forall s\in \Gamma _{x}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fad1cad9ad1b268ea3e4f3945cd8acb8c03a12)
이 존재한다.
를
의
차 제트 연장(
次jet延長, 영어:
th jet prolongation)이라고 한다.
제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.
제트 다발 사이에는 사영 사상
![{\displaystyle J^{r}E\to J^{s}E\qquad (s<r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4493634e43a086d7703ce04c23deea35a557c255)
이 존재한다. 이에 대한 역극한
![{\displaystyle J^{\infty }E=\varprojlim _{r}J^{r}E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737f9b57783dab1aa356305b7c2928c5674c9384)
을 무한 제트 다발(영어: infinite jet bundle)이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 줄 수 있다.
매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체
위의, 올다발
의 단면에 대한
차 편미분 방정식은
차 제트 다발
의 매끄럽게 매장된 부분 다양체
이다. 편미분 방정식
의 해(解, 영어: solution)는 제트 연장
의 상
이
에 속하는,
의 매끄러운 단면
이다.
![{\displaystyle \operatorname {Sol} (P)=\{s\in \Gamma (E)\colon j^{r}s(M)\subseteq P\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa21a3981884793e4c5fb4a1af7647abc14c2bfa)
무한 제트 다발
은 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다.
위의 미분 형식 공간
에서, 차수
은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.
방향의 차수
. 이를 수평 차수(영어: horizontal degree)라고 한다.
- 무한 제트 다발의 올
방향의 차수
. 이를 수직 차수(영어: vertical degree)라고 한다.
따라서,
![{\displaystyle \Omega ^{n}E=\bigoplus _{h+v=n}\Omega ^{h,v}J^{\infty }E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5e65c1c8f8b3f97c262e57c914580d7ec97bf2)
가 된다. 이를
의 변분 이중 복합체(變分二重複合體, 영어: variational bicomplex)라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분
역시 수평 방향
와 수직 방향
로 분해할 수 있다.
![{\displaystyle \mathbf {d} =d+\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ad8b44ce71e1da50047778c4871643d5c5f29c)
![{\displaystyle d\colon \Omega ^{h,v}J^{\infty }E\to \Omega ^{h+1,v}J^{\infty }E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f234cb5cc98fed95e84fb4a38cc5976dc07f515b)
![{\displaystyle \delta \colon \Omega ^{h,v}J^{\infty }E\to \Omega ^{h,v+1}J^{\infty }E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c265840622e05f691746939e1944a38739062d52)
이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다.
예를 들어,
차원 시공간
위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발
의 단면
이 되고, 라그랑지언 밀도는 미분 형식
이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용
![{\displaystyle S=\int _{M}{\mathcal {L}}(j^{\infty }\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2e8d46fa1cbfef2a7f7f1834853b3396d8d846)
을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식은
![{\displaystyle \delta L\in \operatorname {im} d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795bd0c1b395750916e94a1729e607a86a626013)
![{\displaystyle d\colon \Omega ^{n,1}J^{\infty }E\to \Omega ^{n,1}J^{\infty }E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e3f863fcc7d6bb7da1ef22b0c3a1e939bb53470)
가 된다.
올다발
위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 오일러-라그랑주 복합체(영어: Euler–Lagrange complex)를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to \Omega ^{0,0}{\xrightarrow {d}}\Omega ^{1,0}{\xrightarrow {d}}\Omega ^{2,0}{\xrightarrow {d}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega ^{n,0}\to {\mathcal {F}}^{1}(J^{\infty }E){\xrightarrow {\delta }}F^{2}(J^{\infty }E)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be7f0dc859069c6c91a021ce1f52ce572658139)
여기서
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{v}(E)=\Omega ^{n,v}/d(\Omega ^{n-1,s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fbb78724c0c795ea52925fa9b6e3fe1193c96c)
는
을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{v}(E)\hookrightarrow \Omega ^{n,v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c1b6381a87f62261c8b92a297dbc49d3cdb3fe)
가 존재한다.
오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간
의 드람 코호몰로지와 동형이다.
임의의 올다발
![{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c8ba12449f15e9dc975bf107b2e3fecfb978c7)
의 0차 제트 다발은
이다.
![{\displaystyle J^{0}E=E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f4db2fad8663d7191b90003f6e07964577a595)
즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.
![{\displaystyle j^{0}s=s\qquad \forall s\in \Gamma (E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce6194e4165c0d1380a10b465232cca1456bf3f)
자명한 올다발
![{\displaystyle E=M\times N\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53935b27c32fbb48c22b2745616d46a30dcf218)
의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다.
![{\displaystyle \Gamma (E)={\mathcal {C}}^{\infty }(M;N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58abecbe3b72e99c28820926402b1795f2d551b5)
매끄러운 함수
의 1차 제트는 함수의 미분이다.
![{\displaystyle j_{x}^{1}f=Df(x)\in T_{x}^{*}M\otimes T_{f(x)}N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccac93ab80bd5b07f04125f72e6b1a958165ea87)
여기서
및
은 각각 공변접다발과 접다발이다.
따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은
![{\displaystyle J^{1}E=\operatorname {pr} _{M}^{*}T^{*}M\otimes \operatorname {pr} _{N}TN}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630b8db70f9046a6cd783d6c2e2ee3d4ab9dbd75)
이다. 여기서
![{\displaystyle \operatorname {pr} _{M}\colon M\times N\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eede8c6ceefef8b1f0e1f966da2e6a1ad1f15b0)
![{\displaystyle \operatorname {pr} _{N}\colon M\times N\twoheadrightarrow N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc0ad138d6146f0721a616837ab0a01b74d7e6a)
는 곱공간의 자연스러운 사영 사상이며,
은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발의 당김이다.
특히,
일 경우
![{\displaystyle J^{1}E=\mathbb {R} ^{n}\times (TN)^{\otimes n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/499e3dd31f18d81b2485e99231057dd40578dbbb)
이며, 반대로
일 경우
![{\displaystyle J^{1}E=(T^{*}M)^{\otimes k}\times \mathbb {R} ^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a69349fff3b3d25587fb7f682f3e8194af878f4)
이다. 후자에서
인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로,
의 국소 좌표계
를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다.
![{\displaystyle dt+\sum _{i}p_{i}dx^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dde0e4c18bc4129e2725c66a7dd6208fb493b01)
올과 밑공간이 매끄러운 다양체인 올다발
![{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244675db0ae668ca69691759527ac9bba1d3c354)
![{\displaystyle \dim M=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916a81c7f61c12d90aa0763dad4ce1c381a97b46)
![{\displaystyle \dim E=n+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b2bb006ed0fa13ac1235e690e92340c9e0310e)
을 생각하자. 이 경우, 올다발의 접다발
의 자연스러운 부분 다발인 수직 다발(영어: vertical bundle)
를 다음과 같이 정의할 수 있다.
![{\displaystyle V_{e}E=T_{e}E_{\pi (e)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a897aacdfc60b87c6441c5add20650afa8a51a)
즉, 올다발
의 수직 다발
의 올
는
의 올의 접공간이다.
는
위의
차원 벡터 다발을 이룬다.
그렇다면,
위의 1차 제트 다발은 (
위의 올다발로서) 다음과 같다.
![{\displaystyle J^{1}E=VE\otimes _{E}\pi ^{*}T^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a5c76a546080e96ccffc26938dd28a11851ec8)
![{\displaystyle \dim J^{1}E=nk+k+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecba2f3f24e5a15ba2ac1af3782dee4a49cd4908)
의 단면
는 (
이므로)
위의
값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한,
를 다발 사상
로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 핵
는
위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉,
![{\displaystyle TE=\ker \theta \oplus VE}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af346e47976fabc5c995787b863e6eda236281da)
가 되어,
를 수평 다발로 여길 수 있다.
겹 피복 공간
![{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c8ba12449f15e9dc975bf107b2e3fecfb978c7)
은 올이
개의 점의 이산 공간인 올다발이다. 이 경우,
의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의
에 대하여
차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,
![{\displaystyle E=J^{0}E=J^{1}E=J^{2}E=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9baba38afda14f1215b45f93d63b32c1258116)
가 된다.
제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.[1]
- ↑ Ehresmann, C. (1953). 〈Introduction à la théorie des structures infinitésimales et des pseudo-groupes de Lie〉. 《Géométrie différentielle: Colloque international du Centre national de la recherche scientifique tenu à Strasbourg, 26 mai – 1 juin 1953》. Colloques internationaux du Centre national de la recherche scientifique (프랑스어) 52. Centre national de la recherche scientifique. 97-127쪽. OCLC 27311357.