제트 (수학)

미분기하학에서 제트(영어: jet)는 어떤 매끄러운 함수 또는 단면의 테일러 급수를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 제트 다발(영어: jet bundle)이라는 올다발의 단면을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.)

정의

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 올다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow M$이 주어졌다고 하자. 또한, $E$의 올 역시 $k$차원의 매끄러운 다양체라고 하자.

점 $x\in M$의 근방에 정의되는, $E$의 매끄러운 단면의 공간을 $\Gamma _{x}(E)$라고 표기하자.

제트

$E$의 두 매끄러운 국소 단면 $s,t\in \Gamma _{x}(E)$이 $x\in M$에서 같은 $r$차 제트(영어: $r$th jet)를 갖는다는 것은 다음과 동치이다.

임의의 $M$의 국소 좌표계 및 $E$의 국소 자명화 및 다중지표 $\alpha \in \mathbb {N} ^{n}$에 대하여, 만약 $|\alpha |\leq r$이라면 $\partial ^{\alpha }s|_{x}=\partial ^{\alpha }t|_{x}$

즉, $x\in M$에서의 $r$차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면 $s\in \Gamma _{x}(E)$의 $x\in M$에서의 $r$차 제트를 $j_{x}^{r}s$로 표기한다.

제트 공간

임의의 $x\in M$에 대하여, $r$차 제트들의 집합 $J_{x}^{r}E$에는 다음과 같이

$\dim J_{x}^{r}E=k\sum _{i=0}^{r}{\binom {i+n-1}{i}}=k{\binom {r+n}{r}}$

차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다. $M$의 $\pi (e)\in M$에서의 국소 좌표계 $(x^{1},\dots ,x^{n})$ 및 이를 확장하는 $E$의 $e\in E$에서의 국소 좌표계 $(x^{1},\dots ,x^{n},e^{1},\dots ,e^{k})$가 주어졌다면,

$(\partial ^{\alpha }e^{i})_{\alpha \in \mathbb {N} ^{n},\;|\alpha |\leq r,\;i\in \{1,\dots ,k\}}$

는 $J_{x}^{r}E$의 국소 좌표계를 정의한다. $J_{x}^{r}E$를 $E$의 $r$차 제트 공간($r$次jet空間, 영어: $r$th jet space)이라고 한다.

$r$차 제트 공간에서 $s<r$차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.

$J_{x}^{r}E\to J_{x}^{s}E$

그러나 $s$차 제트 공간에서 $r>s$차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.

제트 다발

$M$ 위에, $r$차 제트 공간 $J_{x}^{r}E$을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를 $r$차 제트 다발 $J^{r}E\twoheadrightarrow M$이라고 한다. 즉, 제트 다발 $J^{r}E$의 전체 공간은 $\textstyle n+k{\binom {r+n}{r}}$차원이다.

자연스러운 사영 $J^{r}E\twoheadrightarrow E$이 존재하므로, 이는 $E$ 위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상

$j^{r}\colon \Gamma _{x}(E)\to \Gamma _{x}(J^{r}E)$

$j^{r}\colon s\mapsto j^{r}s\qquad \forall s\in \Gamma _{x}(E)$

이 존재한다. $j^{r}s$를 $s$의 $r$차 제트 연장($r$次jet延長, 영어: $r$th jet prolongation)이라고 한다.

제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.

무한 제트 다발

제트 다발 사이에는 사영 사상

$J^{r}E\to J^{s}E\qquad (s<r)$

이 존재한다. 이에 대한 역극한

$J^{\infty }E=\varprojlim _{r}J^{r}E$

을 무한 제트 다발(영어: infinite jet bundle)이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 줄 수 있다.

편미분 방정식

매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 $M$ 위의, 올다발 $E$의 단면에 대한 $r$차 편미분 방정식은 $r$차 제트 다발 $J^{r}E$의 매끄럽게 매장된 부분 다양체 $P\hookrightarrow J^{r}E$이다. 편미분 방정식 $P$의 해(解, 영어: solution)는 제트 연장 $j^{r}s\colon M\to J^{r}E$의 상 $j^{r}s(M)$이 $P$에 속하는, $E$의 매끄러운 단면 $s\in \Gamma (E)$이다.

$\operatorname {Sol} (P)=\{s\in \Gamma (E)\colon j^{r}s(M)\subseteq P\}$

변분 이중 복합체

무한 제트 다발 $J^{\infty }E$은 미분학적 공간(영어: diffeological space)의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다. $J^{\infty }E$ 위의 미분 형식 공간 $\Omega ^{n}J^{\infty }E$에서, 차수 $n=h+v$은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.

• $X$ 방향의 차수 $h$. 이를 수평 차수(영어: horizontal degree)라고 한다.
• 무한 제트 다발의 올 $J_{e}^{\infty }E$ 방향의 차수 $v$. 이를 수직 차수(영어: vertical degree)라고 한다.

따라서,

$\Omega ^{n}E=\bigoplus _{h+v=n}\Omega ^{h,v}J^{\infty }E$

가 된다. 이를 $E\twoheadrightarrow M$의 변분 이중 복합체(變分二重複合體, 영어: variational bicomplex)라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분 $\mathbf {d}$ 역시 수평 방향 $d$와 수직 방향 $\delta$로 분해할 수 있다.

$\mathbf {d} =d+\delta$

$d\colon \Omega ^{h,v}J^{\infty }E\to \Omega ^{h+1,v}J^{\infty }E$

$\delta \colon \Omega ^{h,v}J^{\infty }E\to \Omega ^{h,v+1}J^{\infty }E$

이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다.

예를 들어, $n$차원 시공간 $M$ 위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발 $E\twoheadrightarrow M$의 단면 $\phi \in \Gamma (E)$이 되고, 라그랑지언 밀도는 미분 형식 ${\mathcal {L}}(j^{\infty }\phi )\in \Omega ^{n,0}J^{\infty }E$이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용

$S=\int _{M}{\mathcal {L}}(j^{\infty }\phi )$

을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식은

$\delta L\in \operatorname {im} d$

$d\colon \Omega ^{n,1}J^{\infty }E\to \Omega ^{n,1}J^{\infty }E$

가 된다.

성질

올다발 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 오일러-라그랑주 복합체(영어: Euler–Lagrange complex)를 정의할 수 있다.

$0\to \mathbb {R} \to \Omega ^{0,0}{\xrightarrow {d}}\Omega ^{1,0}{\xrightarrow {d}}\Omega ^{2,0}{\xrightarrow {d}}\cdots {\xrightarrow {d}}\Omega ^{n,0}\to {\mathcal {F}}^{1}(J^{\infty }E){\xrightarrow {\delta }}F^{2}(J^{\infty }E)\to \cdots$

여기서

${\mathcal {F}}^{v}(E)=\Omega ^{n,v}/d(\Omega ^{n-1,s})$

는 $\Omega ^{\bullet ,\bullet }$을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계

${\mathcal {F}}^{v}(E)\hookrightarrow \Omega ^{n,v}$

가 존재한다.

오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간 $E$의 드람 코호몰로지와 동형이다.

예

0차 제트

임의의 올다발

$E\twoheadrightarrow M$

의 0차 제트 다발은 $E$이다.

$J^{0}E=E$

즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.

$j^{0}s=s\qquad \forall s\in \Gamma (E)$

자명한 올다발의 1차 제트

자명한 올다발

$E=M\times N\twoheadrightarrow M$

의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다.

$\Gamma (E)={\mathcal {C}}^{\infty }(M;N)$

매끄러운 함수 $f\colon M\to N$의 1차 제트는 함수의 미분이다.

$j_{x}^{1}f=Df(x)\in T_{x}^{*}M\otimes T_{f(x)}N$

여기서 $T^{*}M$ 및 $TN$은 각각 공변접다발과 접다발이다.

따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은

$J^{1}E=\operatorname {pr} _{M}^{*}T^{*}M\otimes \operatorname {pr} _{N}TN$

이다. 여기서

$\operatorname {pr} _{M}\colon M\times N\twoheadrightarrow M$

$\operatorname {pr} _{N}\colon M\times N\twoheadrightarrow N$

는 곱공간의 자연스러운 사영 사상이며, $\operatorname {pr} _{M}^{*}$은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발의 당김이다.

특히, $M=\mathbb {R} ^{n}$일 경우

$J^{1}E=\mathbb {R} ^{n}\times (TN)^{\otimes n}$

이며, 반대로 $N=\mathbb {R} ^{k}$일 경우

$J^{1}E=(T^{*}M)^{\otimes k}\times \mathbb {R} ^{k}$

이다. 후자에서 $k=1$인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로, $T^{*}M\times \mathbb {R}$의 국소 좌표계 $(x^{i},p_{i},t)$를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다.

$dt+\sum _{i}p_{i}dx^{i}$

일반적 올다발의 1차 제트

올과 밑공간이 매끄러운 다양체인 올다발

$\pi \colon E\twoheadrightarrow M$

$\dim M=n$

$\dim E=n+k$

을 생각하자. 이 경우, 올다발의 접다발 $TE$의 자연스러운 부분 다발인 수직 다발(영어: vertical bundle) $VE$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$V_{e}E=T_{e}E_{\pi (e)}$

즉, 올다발 $E$의 수직 다발 $VE$의 올 $V_{e}E$는 $E$의 올의 접공간이다. $VE$는 $E$ 위의 $k$차원 벡터 다발을 이룬다.

그렇다면, $E\twoheadrightarrow M$ 위의 1차 제트 다발은 ($E$ 위의 올다발로서) 다음과 같다.

$J^{1}E=VE\otimes _{E}\pi ^{*}T^{*}M$

$\dim J^{1}E=nk+k+n$

$J^{1}E\twoheadrightarrow E$의 단면 $\theta$는 ($\pi ^{*}T^{*}M\subset T^{*}E$이므로) $E$ 위의 $VE$값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한, $\theta$를 다발 사상 $TE\to VE\subset TE$로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 핵 $\ker \theta \subset TE$는 $E$ 위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉,

$TE=\ker \theta \oplus VE$

가 되어, $\ker \theta$를 수평 다발로 여길 수 있다.

피복 공간의 제트

$n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}$겹 피복 공간

$E\twoheadrightarrow M$

은 올이 $n$개의 점의 이산 공간인 올다발이다. 이 경우, $E\twoheadrightarrow M$의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의 $r$에 대하여 $r$차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,

$E=J^{0}E=J^{1}E=J^{2}E=\cdots$

가 된다.

역사

제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.

참고 문헌

• Sardanashvily, Gennadi (2013). 《Advanced differential geometry for theoreticians: fiber bundles, jet manifolds and Lagrangian theory》 (PDF) (영어). Lambert Academic Publishing. arXiv:0908.1886. ISBN 978-3-659-37815-7. 2015년 11월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 11월 18일에 확인함. 
• Sardanashvily, Gennadi (1994). “Five lectures on the jet manifold methods in field theory” (영어). arXiv:hep-th/9411089. Bibcode:1994hep.th...11089S. 
• Sardanashvily, Gennadi (2002). “Ten lectures on jet manifolds in classical and quantum field theory” (영어). arXiv:math-ph/0203040. Bibcode:2002math.ph...3040S. 
• Kolář, Ivan; Michor, Peter W.; Slovák, Jan (1993). 《Natural operations in differential geometry》 (영어). Springer. doi:10.1007/978-3-662-02950-3. ISBN 978-3-540-56235-1. 

외부 링크

• “Jet”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Jet bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Jet space”. 《nLab》 (영어). 
• “Jet prolongation”. 《nLab》 (영어). 
• “Jet group”. 《nLab》 (영어). 
• “Jet groupoid”. 《nLab》 (영어). 
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• “Arithmetic jet space”. 《nLab》 (영어). 
• “Metric jet”. 《nLab》 (영어). 
• “Variational bicomplex”. 《nLab》 (영어). 
• “Euler-Lagrange complex”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2013년 6월 26일). “Jet bundles and flexes”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2013년 6월 27일). “Dual curves, bitangents, and jet bundles”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• “Jet bundles and partial differential operators” (영어). Math Overflow.