기하학 에서, 미분학적 공간 (微分學的空間, 영어 : diffeological space 디피올로지컬 스페이스[* ] )은 매끄러운 다양체 의 개념의 일반화이다.[1] 매끄러운 다양체 사이의 관계는 위상 공간 과 다양체 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다.
집합
X
{\displaystyle X}
미분학적 구조 (微分學的構造, 영어 : diffeology 디피올로지[* ] )
D
=
{
(
n
i
,
U
i
,
f
i
)
}
i
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(n_{i},U_{i},f_{i})\}_{i\in I}}
(
n
,
U
,
f
)
{\displaystyle (n,U,f)}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
자연수 이며,
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
유클리드 공간 의 열린집합 이며,
f
:
U
→
X
{\displaystyle f\colon U\to X}
함수 이다.이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
임의의 유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
열린집합
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
{\displaystyle x}
상수 함수
(
n
,
U
,
f
:
U
→
X
)
{\displaystyle (n,U,f\colon U\to X)}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
임의의 유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
열린집합
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
f
:
U
→
X
{\displaystyle f\colon U\to X}
(
n
,
U
,
f
)
∈
D
{\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}}
임의의
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
(
n
,
V
,
f
↾
V
)
∈
D
{\displaystyle (n,V,f\upharpoonright V)\in {\mathcal {D}}}
u
{\displaystyle u}
열린 근방
u
∈
V
⊆
U
{\displaystyle u\in V\subseteq U}
임의의
(
n
,
U
,
f
)
∈
D
{\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}}
V
⊆
R
m
{\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{m}}
매끄러운 함수
ϕ
:
V
→
U
{\displaystyle \phi \colon V\to U}
(
m
,
V
,
f
∘
ϕ
)
∈
D
{\displaystyle (m,V,f\circ \phi )\in {\mathcal {D}}}
미분학적 구조를 갖춘 집합을 미분학적 공간 이라고 한다.
두 미분학적 공간
(
X
,
D
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {D}})}
(
Y
,
E
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}})}
매끄러운 함수
ϕ
:
X
→
Y
{\displaystyle \phi \colon X\to Y}
임의의
(
n
,
U
,
f
)
∈
D
{\displaystyle (n,U,f)\in {\mathcal {D}}}
(
n
,
U
,
ϕ
∘
f
)
∈
E
{\displaystyle (n,U,\phi \circ f)\in {\mathcal {E}}}
이를 통해 미분학적 공간의 범주 를 정의할 수 있다.
미분학적 공간
(
X
,
D
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {D}})}
위상 을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합 일 필요 충분 조건 은 다음과 같다.
B
∈
Open
(
X
)
⟺
∀
(
n
,
U
,
f
)
∈
D
:
f
−
1
(
B
)
∈
Open
(
R
n
)
{\displaystyle B\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall (n,U,f)\in {\mathcal {D}}\colon f^{-1}(B)\in \operatorname {Open} (\mathbb {R} ^{n})}
여기서
Open
(
R
n
)
{\displaystyle \operatorname {Open} (\mathbb {R} ^{n})}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
열린집합 들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수
f
{\displaystyle f}
연속 함수 가 되는 가장 섬세한 위상이다.
미분학적 공간의 범주 는 준토포스 를 이룬다.
미분학적 공간의 부분 집합 은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.
미분학적 공간의 몫집합 은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.
모든
n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
M
{\displaystyle M}
매끄러운 함수 들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 프레셰 다양체 는 미분학적 공간이다.
1차원 유클리드 공간
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
Z
+
α
Z
{\displaystyle {\frac {\mathbb {R} }{\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} }}}
을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약
α
{\displaystyle \alpha }
유리수 라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수 라면 이는 매끄러운 다양체 가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간 이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.
미분학적 공간의 개념을 발견한 장마리 수리오 미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오(프랑스어 : Jean-Marie Souriau , 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다.[2] 프랑스어 : espace difféologique 에스파스 디페올로지크[* ] )이라는 이름은 프랑스어 : difféomorphisme 디페오모르피즘[* ] (미분 동형 사상 )과 프랑스어 : espace topologique 에스파스 토폴로지크[* ] (위상 공간 )의 합성어이다.
참고 문헌 [ 편집 ]
↑ Iglesias-Zemmour, Patrick (2013). 《Diffeology》 . Mathematical Surveys and Monographs (영어) 185 . American Mathematical Society. ↑ Souriau, Jean-Marie (1980). 〈Groupes différentiels〉. 《Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics. Proceedings of the Conferences Held at Aix-en-Provence, September 3–7, 1979 and Salamanca, September 10–14, 1979》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 836 . Springer-Verlag. 91–128쪽. doi :10.1007/BFb0089728 .
외부 링크 [ 편집 ] 
