미분기하학에서 미분 형식(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다.[1][2] 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는
,
따위를 엄밀하게 정의한 것으로,
차원의 다양체에서는
-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.
차원 매끄러운 다양체
위의 공변접다발
은
차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면
차원 벡터 다발
![{\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1004d12e164f196d826f3fd46bd972d601f17cc2)
을 얻는다. 그 단면을
위의 미분 형식이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자.
![{\displaystyle \Omega (M)=\Gamma \left(\bigwedge \mathrm {T} ^{*}M\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2ec35ecd101476b9bea192daa0255874ef3bb6)
외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.
![{\displaystyle \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M=\bigoplus _{k=0}^{n}\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c21ea5e4173152542e2bf56c92158fec53c3e5e)
![{\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{k=0}^{n}\Omega ^{n}(M)=\bigoplus \Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}M\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0ffc5fe9ff604af6d2b1486e99b4b8f1230dcc)
차 미분 형식은
의 매끄러운 단면이다.
지표 표기법[편집]
미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다.
차원 다양체에 국소적 좌표계
를 잡으면,
![{\displaystyle \{dx^{i}\}_{i=1,\dots ,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb538969a7f0c0cd3bafacccbc6bca084b49087d)
는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의
차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)
![{\displaystyle A={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540d9caa6260633f537b919313faa55482413a9d)
이에 따라서, 예를 들어 리만 계량
에 의한 부피 형식은
![{\displaystyle \omega ={\sqrt {\det(g_{ij})}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}={\frac {1}{k!}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}{\sqrt {\det(g_{ij})}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466a2ee0806999804c8e2e9f40396808d7eee55f)
이므로,
![{\displaystyle \omega _{i_{1}\dots i_{n}}={\sqrt {\det(g_{ij})}}\epsilon _{i_{1}\dots i_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a89774d1cb263f5dcf5518d3a1d789a0d386d5)
이 된다.
무한 차원 다양체 위의 미분 형식[편집]
국소 볼록 공간
가 주어졌을 때, 국소적으로
와 위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간을
-다양체라고 하자.
이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다.
-다양체
위의
차 미분 형식은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[3]:Definition Ⅰ.4.1
- 각
에 대하여, 완전 반대칭
-선형 변환 ![{\displaystyle \omega _{x}\colon \textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} _{x}M\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd5fa5a43c4ee58d5c04ab7d9b473d6c99ea80d)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 열린집합
위의 국소 좌표
에 대하여,
는 매끄러운 함수이다.
이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다.
미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.
쐐기곱[편집]
미분 형식의 쐐기곱(영어: wedge product)은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의
과
,
에 대하여,
![{\displaystyle f\wedge \alpha =f\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ee1f52fafb33163dfd3a14d6d6cceed9484d8e)
- (분배법칙)
![{\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\beta ')=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \beta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d9fd70aa479f3460e6945c7f8bf76a50d608a4)
- (반대칭성)
![{\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kl}\beta \wedge \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600cc2ecc94a2fda015fede9c8861dde421b2a22)
성분으로 적으면 다음과 같다.
![{\displaystyle \left({\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\wedge \left({\frac {1}{l!}}B_{j_{1}\dots j_{l}}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{l}}\right)={\frac {1}{(k+l)!}}{\frac {1}{k!l!}}A_{[i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{l}]}dx^{i_{1}}\wedge \cdots dx^{i_{k}}\wedge dx^{j_{1}}\wedge dx^{j_{l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8826b77b7ec879c6871e3696e23efa6f0f9fddb5)
![{\displaystyle (A\wedge B)_{i_{1}\dots i_{k}j_{1}\dots j_{l}}={\frac {1}{k!l!}}A_{[i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{l}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3dd387ec74dee624575d91f2525bb2d16c8fff)
여기서
는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식
,
의 쐐기곱은
![{\displaystyle (A\wedge B)_{ijkl}=A_{ij}B_{kl}-A_{jk}B_{li}+A_{kl}B_{ij}-A_{li}B_{jk}-A_{ik}B_{jl}-A_{jl}B_{ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b721baeb6cb6c557393c05463b568bf1bda7bb7)
이다.
외미분[편집]
미분 형식의 외미분(外微分, 영어: Exterior derivative)은
![{\displaystyle d\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d3a8757570f6bcd51b3783dc9610b0fd8fd2bc)
은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.
- 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
- 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉,
에 대하여,
이다.
- 모든 0차 형식에 대해,
이다.
- 임의의
,
에 대하여
이다.
성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의
차 미분 형식
![{\displaystyle A={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67a00e966f2507eed6281c5d582df94c4a6c8e3)
에 대하여,
![{\displaystyle dA={\frac {1}{k!}}(\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {1}{(k+1)!k!}}(\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]})dx^{i_{0}}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59948fcd601914277bc004d6169acceae4d95c15)
이다. 즉,
![{\displaystyle (dA)_{i_{0}\dots i_{k}}={\frac {1}{k!}}\partial _{[i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}]}=\partial _{i_{0}}A_{i_{1}\dots i_{k}}-\partial _{i_{1}}A_{i_{0}i_{2}\dots i_{k}}+\partial _{i_{2}}A_{i_{1}i_{0}i_{3}\dots i_{k}}+\cdots +(-1)^{p}\partial _{i_{p}}A_{i_{1}i_{2}\dots i_{p-1}i_{0}i_{p+1}\dots i_{k}}+\cdots +(-)^{k}\partial _{i_{k}}A_{i_{1}\dots i_{k-1}i_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db588181117dbc228280b541408370b7bd9f054c)
이다. 여기서
는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우
![{\displaystyle A=A_{i}dx^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46764aef01870e1e53aa526b3a4fc96a19d02f5)
![{\displaystyle dA={\frac {1}{2}}(\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i})dx^{i}\wedge dx^{j}={\frac {1}{2}}(dA)_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43b05ea065bceb1baaa460627d102372f129083)
![{\displaystyle (dA)_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5a433c8330af333b486f29b933763764afa3c6)
이고, 2차 형식의 경우
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9130f8c84bda2ae65434c073b5a2037e6859396)
![{\displaystyle dA={\frac {1}{6}}(\partial _{i}A_{jk}+\partial _{j}A_{ki}+\partial _{k}A_{ij})dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}={\frac {1}{6}}(dA)_{ijk}dx^{i}\wedge dx^{j}\wedge dx^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4ebf55179592088865615cdbc386639b12e0f1)
![{\displaystyle (dA)_{ijk}=\partial _{i}A_{jk}+\partial _{j}A_{ki}+\partial _{k}A_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a57cd3b847eb1d95b2399cac597fd4d706bc23)
이다.
차원 매끄러운 다양체
위에 방향 및
차 미분 형식
가 주어졌다면,
의 적분
![{\displaystyle \int _{M}\alpha \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144346f5227b2893556ad45480bd8ba5ada58cea)
을 정의할 수 있다. 구체적으로,
의 좌표근방계
및 이에 종속되는 단위 분할
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김
으로서 각
에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의
차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형
![{\displaystyle \Omega ^{n}(\phi _{i}(U_{i})){\xrightarrow {\iota }}\Omega ^{0}(\phi _{i}(U_{i}))={\mathcal {C}}^{\infty }(\phi _{i}(U_{i}),\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6ad3d20965e4c849b2946545debd0ebe6163f0)
을 정의할 수 있다. 그렇다면
![{\displaystyle \int _{M}=\sum _{i\in I}\int _{\phi _{i}(U_{i})}\iota \left((\phi _{i}^{-1})^{*}\alpha \right)\,d^{n}\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c7635a2fa583433d87a19e51febb4be1a201574)
이다. 여기서
는
차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은
배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.
만약
차원 매끄러운 다양체
위에 (유사) 리만 계량
가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적
을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.
- 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
- 내적은 쌍선형이다.
- 임의의
개의 1차 형식
,
에 대하여,![{\displaystyle \langle \eta _{1}\wedge \dots \wedge \eta _{k},\eta '_{1}\wedge \dots \wedge \eta '_{k}\rangle =\det(g(\eta _{i},\eta _{j}))_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7108b425459f8b75ed7eedc2105535ab98535e3a)
이다.
즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)
![{\displaystyle \left\langle {\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}},{\frac {1}{k!}}B_{j_{1}\dots j_{k}}dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}\right\rangle ={\frac {1}{k!}}A_{i_{1}\dots i_{k}}B_{j_{1}\dots j_{k}}g^{i_{1}j_{1}}\dots g^{i_{k}j_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c03ea13e7964083fecaf198a0f9d44f5c38ac9f)
이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.
.
호지 쌍대[편집]
차원 유향 (유사) 리만 다양체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle *\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{n-\bullet }(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fd56e544479d85df687a77febbab700109ad60)
이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \alpha \wedge *\beta =\langle \alpha ,\beta \rangle \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eba3079854e1342eb2f9fd073fe4218bc0e784b)
성분으로 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle (*A)_{j_{k+1}\dots j_{n}}={\frac {1}{k!}}{\sqrt {|\det g|}}\alpha _{i_{1}\dots i_{k}}\epsilon _{j_{1}\dots j_{n}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ad4fe4ac058c048b789a4fa5fcfef8f87e99b2)
예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는
![{\displaystyle (*A)_{kl}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\det g|}}\epsilon _{ijkl}A_{i'j'}g^{ii'}g^{jj'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e3dd5dbb98c6b03332df8166369faac28acb6c)
이다.
미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.
다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]