호몰로지 대수학에서 순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 순환 대상(循環對象, 영어: cyclic object)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.
순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category) 는 다음과 같은 작은 범주이다.[1]:202, Definition 6.1.1
- 의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) 이다.
- 의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
- (면 사상)
- (퇴화 사상)
- (순환 사상)
- 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, 를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 의 정의에 등장하는 것과 같다.)
이제, 임의의 범주 위의 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서 로 가는 함자
이다.
구체적으로, 범주 속의 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 단체 대상 . 여기서 는 면(面)이며, 는 퇴화 단체이다.
- 일련의 동형 사상들 ,
이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.
- (순환의 순환성) . 특히, 이다.
- (순환과 면의 호환)
- (순환과 퇴화 단체의 호환)
순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.
교차단체군(交叉單體群, 영어: crossed simplicial group)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 단체 집합
- 임의의 에 대하여, 위의 군 구조
- 임의의 에 대하여, 위의, 의 오른쪽 군 작용
이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.[1]:205, Proposition 6.1.6
- 임의의 및 및 에 대하여,
- 임의의 및 에 대하여,
교차단체군의 예는 다음이 있다.
- 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
- 순환군
- 정이면체군
- 쌍순환군
- 대칭군
교차단체군 이 주어졌을 때, 임의의 및 에 대하여 편의상
로 표기하자. 이는
를 만족시킨다.
교차단체군 가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 를 정의할 수 있다.
- 의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 의 대상과 같다.
- 의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.
- 사상의 합성은 다음과 같다.[1]:207, Corollary 6.1.7 여기서, 에 대하여 은 에 대응하는 사상이며, 이다.
그렇다면, 범주 속의 -대상은 함자
이다.
특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.
그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 -대상은 순환 대상이라고 한다.
순환 범주 는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.[1]:208, Proposition 6.1.11
순환 범주 에서, 모든 사상 는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.[1]:203, Theorem 6.1.3(2)
보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 에 대하여, 범주 에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.
순환 범주 에서, 다음이 성립한다.[1]:202, Definition 6.1.1
증명:
증명:
단체 범주 에서 순환 범주로 가는 포함 함자
가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, 에는 으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).
이에 따라, 임의의 범주 에 대하여, -순환 대상의 범주에서 -단체 대상의 범주로 가는 망각 함자
가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.
모든 성분이 자명군인 교차단체군 을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 은 단체 범주 와 같다.
각 성분이 대칭군인 교차단체군
을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 는 유한 집합과 함수의 작은 범주 와 동치이다.
가환환 위의 결합 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
- [1]:45, (1.6.1.2)
- [1]:45, (1.6.1.2)
- [1]:53, §2.1.0
즉, 이는 -가군 범주 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 에 대응되는 순환 가군(영어: cyclic module associated to )이라고 한다.
이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.
알랭 콘이 1983년에 도입하였다.[2]:§2 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “”라고 표기하였다.[2]:§2[1]:201, Chapter 6
교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(폴란드어: Zbigniew Fiedorowicz)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.[3]