호몰로지 대수학에서 순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 순환 대상(循環對象, 영어: cyclic object)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.
순환 범주[편집]
순환 범주(循環範疇, 영어: cycle category)
는 다음과 같은 작은 범주이다.[1]:202, Definition 6.1.1
의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수)
이다.
의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.
(면 사상)
(퇴화 사상)
(순환 사상)
- 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데,
를 포함하지 않는 것들은 단체 범주
의 정의에 등장하는 것과 같다.)
![{\displaystyle \delta _{n-1}^{j}\circ \delta _{n}^{i}=\delta _{n-1}^{i}\circ \delta _{n}^{j-1}\qquad (0\leq i<j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d907402f8a1d5418ac0684cd9adb3b6334f184e)
![{\displaystyle \sigma _{n+1}^{j}\circ \sigma _{n}^{i}=\sigma _{n+1}^{i}\circ \sigma _{n}^{j+1}\qquad (0\leq i\leq j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea2c59671dae8c1c1a18fa644d3d789ad41ceff)
![{\displaystyle \sigma _{n}^{j}\circ \delta _{n+1}^{i}={\begin{cases}\delta _{n}^{i}\circ \sigma _{n-1}^{j-1}&i<j\\\operatorname {id} _{n}&i\in \{j,j+1\}\\\delta _{n}^{i-1}\circ \sigma _{n-1}^{j}&i>j+1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40499b13f3c043848126d83f473400535e8965fc)
![{\displaystyle \overbrace {\tau _{n}\circ \dotsb \circ \tau _{n}} ^{n+1}=\operatorname {id} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7791b47cf41692a944ecace0fa0dc28f3ce258)
![{\displaystyle \tau _{n}\circ \delta _{n}^{i}=\delta _{n}^{i-1}\circ \tau _{n-1}\qquad (1\leq i\leq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0cf232a651b1a0a51c0b722383bcff8059a8f4)
![{\displaystyle \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{i}=\sigma _{n}^{i-1}\circ \tau _{n+1}\qquad (1\leq i\leq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c39e365a34fddbe64851f3077c6a734b234541)
이제, 임의의 범주
위의 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서
로 가는 함자
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1d551aa23e2ef55f4ce19d2fce4221e54ecfd9)
이다.
순환 대상의 구체적 정의[편집]
구체적으로, 범주
속의 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 단체 대상
. 여기서
는 면(面)이며,
는 퇴화 단체이다.
- 일련의 동형 사상들
, ![{\displaystyle n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b)
이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.
- (순환의 순환성)
. 특히,
이다.
- (순환과 면의 호환)
![{\displaystyle \partial _{n}^{i}\circ t_{n}=t_{n-1}\circ \partial _{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3515f76a008bce7542bf6642345eec3d8455957)
- (순환과 퇴화 단체의 호환)
![{\displaystyle s_{n}^{i}\circ t_{n}=t_{n+1}\circ s_{n}^{i-1}\qquad (1\leq i\leq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1d49ca1bfca45bf250bd5a6bd054d65aed21e5)
일반적 정의[편집]
순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.
교차단체군(交叉單體群, 영어: crossed simplicial group)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 단체 집합
![{\displaystyle G_{\bullet }\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/557f06caa347b31ff23e6505e4c41233ccf820a4)
- 임의의
에 대하여,
위의 군 구조
- 임의의
에 대하여,
위의,
의 오른쪽 군 작용 ![{\displaystyle \hom _{\triangle }(m,n)\times G_{n}\to \hom _{\triangle }(m,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad585ccc103f4bbe0b6b99bad79ad3eeab81d26)
이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.[1]:205, Proposition 6.1.6
- 임의의
및
및
에 대하여,
![{\displaystyle (\chi \circ \phi )\cdot g=(\chi \cdot g)\circ \left(\phi \cdot G(\chi ^{\operatorname {op} })(g)\right)\in \hom _{\triangle }(m,p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436f6c058b8a1eeffdd3c231ebf6e019b48a739c)
- 임의의
및
에 대하여,
![{\displaystyle G(\phi ^{\operatorname {op} })(gh)=G(\phi \cdot h)^{\operatorname {op} }(g)G(\phi ^{\operatorname {op} })(h)\in G_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d700d5760ecad869ad1815d69d8dcc4e9fc831ca)
교차단체군의 예는 다음이 있다.
- 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
- 순환군
![{\displaystyle G_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ab97e0c3d67c94dd03e9fb6c3537db55b82dcb5)
- 정이면체군
![{\displaystyle G_{n}=\operatorname {Dih} (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84be58147367d07c3d003e3c221c200136ea941)
- 쌍순환군
![{\displaystyle G_{n}=\operatorname {Dic} (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef37094ac2060103c22d816fd55232c4cd546236)
- 대칭군
![{\displaystyle G_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5174957128c876783dab7f715a9f84f30aaf21dc)
교차단체군
이 주어졌을 때, 임의의
및
에 대하여 편의상
![{\displaystyle g\cdot \phi =G(\phi ^{\operatorname {op} })(g)\in G_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef5901cd03f2504f399e2f8192fc3f0f9de120f)
로 표기하자. 이는
![{\displaystyle g\cdot (\phi \circ \chi )=(g\cdot \phi )\cdot \chi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1160f2c56c01b1db439c752cd2ce309c13a09e)
를 만족시킨다.
교차단체군
가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주
를 정의할 수 있다.
의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주
의 대상과 같다.
의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.
![{\displaystyle \hom _{\triangle _{G_{\bullet }}}(m,n)=\hom _{\triangle }(m,n)\times G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc74ed0751299ce6a5819efef3430c4743193f4d)
- 사상의 합성은 다음과 같다.[1]:207, Corollary 6.1.7 여기서,
에 대하여
은
에 대응하는 사상이며,
이다.
![{\displaystyle \phi \circ \tau _{g}=(\phi ,g)\qquad (\phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{m}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfad763d2dc9390eb69d40f33ae31ec566ec76bc)
![{\displaystyle \tau _{g}\circ \phi =(\phi \cdot g)\circ \tau _{g\cdot \phi }\qquad (\phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31d57349a9f3cb3f1d01819ae88d32c803cb496)
그렇다면, 범주
속의
-대상은 함자
![{\displaystyle \triangle _{G_{\bullet }}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87f3d776926fba61b0890542a4982799d6e4f06)
이다.
특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.
![{\displaystyle G_{n}=\operatorname {Cyc} (n+1)=\langle t_{n}|t_{n}^{n+1}=1\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34e780d53fbc139b7422f5590e11924443d8933)
![{\displaystyle \delta ^{i}\cdot g={\begin{cases}\delta ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\delta ^{n}&i=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2826de7822a4a09a3ea91dd799b19299dcfa475)
![{\displaystyle \sigma ^{i}\cdot g={\begin{cases}\sigma ^{i-1}&1\leq i\leq n\\\sigma ^{n}&i=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11724bda901e8143b38462d37c2c282a606eed96)
![{\displaystyle t_{n}\cdot \delta _{n}^{i}={\begin{cases}t_{n-1}&i\geq 1\\1&i=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6618259921f265052b3e84f7fd6f136f1bff1d4)
![{\displaystyle t_{n}\cdot \sigma _{n}^{i}={\begin{cases}t_{n+1}&i\geq 1\\t_{n+1}^{2}&i=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3548c938e805fdb1dda38dc60f04c55ed83aad)
그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한
-대상은 순환 대상이라고 한다.
순환 범주
는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.[1]:208, Proposition 6.1.11
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Cyc} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efc8401571934efb9e3c65dffaf2deb26c720b6)
![{\displaystyle n^{\operatorname {op} }\mapsto n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2ede69d2de834dee5aa4acbc14405873d5ead7)
![{\displaystyle (\delta _{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto {\begin{cases}\sigma _{n-1}^{i}&i<n\\\sigma _{n-1}^{0}\circ \tau _{n}^{-1}&i=n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17cd6d9e89aef8cfd34ed60e62bd28ce1f81434)
![{\displaystyle (\sigma _{n}^{i})^{\operatorname {op} }\mapsto \delta _{n+1}^{i+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30de8324b42be512580f2eab0a76107ac91f58c)
순환 범주
에서, 모든 사상
는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.[1]:203, Theorem 6.1.3(2)
![{\displaystyle f'\circ \overbrace {t_{m}\circ \dotsb \circ t_{m}} ^{k}\qquad (f'\in \hom _{\triangle }(m,n),\;k\in \{0,1,\dotsc ,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e765f1ce1fb2da98301cbe1d6727ddf4498ac43)
보다 일반적으로, 임의의 교차단체군
에 대하여, 범주
에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.
![{\displaystyle \phi \circ \tau _{g}\colon \phi \in \hom _{\triangle }(m,n),\;g\in G_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc51dcbdc6ff3d6d3b54ccdf6f73694d9564128c)
순환 범주
에서, 다음이 성립한다.[1]:202, Definition 6.1.1
![{\displaystyle \tau _{n}\circ \delta _{n}^{0}=\delta _{n}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4bc7170ec7323adb39741fa0e53664112f2c77)
증명:
![{\displaystyle \tau _{n}\circ \sigma _{n}^{0}=\sigma _{n}^{n}\circ \tau _{n+1}\circ \tau _{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ab0ef079d978a95f8f66a671faaf50162d557a)
증명:
단체와의 관계[편집]
단체 범주
에서 순환 범주로 가는 포함 함자
![{\displaystyle \triangle \hookrightarrow \triangle _{\operatorname {Cyc} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/198518c6a4c7d0c1984191784d269a349946c5de)
가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉,
에는
으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).
이에 따라, 임의의 범주
에 대하여,
-순환 대상의 범주에서
-단체 대상의 범주로 가는 망각 함자
![{\displaystyle \hom(\operatorname {Cyc} ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})\to \hom(\triangle ^{\operatorname {op} },{\mathcal {C}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b666258cf4476f6b07318a71d3534b2594aa3b9)
가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.
모든 성분이 자명군인 교차단체군
을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주
은 단체 범주
와 같다.
각 성분이 대칭군인 교차단체군
![{\displaystyle G_{n}=\operatorname {Sym} (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5174957128c876783dab7f715a9f84f30aaf21dc)
을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주
는 유한 집합과 함수의 작은 범주
와 동치이다.
결합 대수의 순환 가군[편집]
가환환
위의 결합 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle C\colon n\mapsto A^{\otimes _{K}(n+1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc7d8469fd1fbb1617e536e122e976de73164137)
![{\displaystyle C({\delta _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b9e460dd5f828f169630769a91d99389ec3b19)
[1]:45, (1.6.1.2)
![{\displaystyle C({\sigma _{n}^{i}}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559dd6de22ba14efdfc4c298df799c75e3b8a582)
[1]:45, (1.6.1.2)
![{\displaystyle C(\tau _{n}^{\operatorname {op} })\colon C_{n}\to C_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4777494d3c96a797d36232a467b9a5f511923631)
[1]:53, §2.1.0
즉, 이는
-가군 범주
속의 순환 가군을 이룬다. 이를
에 대응되는 순환 가군(영어: cyclic module associated to
)이라고 한다.
이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.
알랭 콘이 1983년에 도입하였다.[2]:§2 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “
”라고 표기하였다.[2]:§2[1]:201, Chapter 6
교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(폴란드어: Zbigniew Fiedorowicz)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.[3]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]