사용자:Kobmuiv/아인슈타인-카르탕 이론

이론 물리학에서 아인슈타인-카르탕 이론( 아인슈타인-카르탕-Sciama-Kibble 이론 )은 일반 상대성 이론과 유사한 고전 중력 이론이다. 이 이론은 1922년 Elie 카르탕 에 의해 처음 제안되었다. 아인슈타인-카르탕 이론은 가장 단순한 푸앵카레 게이지 이론이다.

개요

아인슈타인-카르탕 이론은 두 가지 면에서 일반 상대성 이론과 다릅니다. ; (2) 비틀림과 스핀을 관련시키는 추가 방정식 세트가 제시된다. 이 차이는 다음과 같이 고려할 수 있다.

general relativity (Einstein–Hilbert) → general relativity (Palatini) → Einstein–Cartan

리만 기하학에 대한 아인슈타인-힐베르트 작용을 리만-카르탕 기하학에 대한 팔라티니 작용으로 대체하여 먼저 일반 상대성 이론을 리만-카르탕 기하학으로 재공식화함으로써; 둘째, Palatini 동작에서 제로 비틀림 제약 조건을 제거하여 스핀 및 비틀림에 대한 추가 방정식 세트를 생성하고 아인슈타인 장 방정식 자체에 추가 스핀 관련 항을 추가한다.

일반 상대성 이론은 원래 아인슈타인-힐베르트 작용 에 의해 리만 기하학 의 설정에서 공식화되었으며, 그로부터 아인슈타인 장 방정식이 발생한다. 원래 공식화 당시에는 리만-카르탕 기하학의 개념이 없었다. 리만 기하학이 회전 및 부스트에 대한 연속 방정식 및 보존 법칙을 표현할 수 있어야 하는 것과 같은 국지적으로 측정된 로렌츠 대칭을 구현하는 데 필요한 구조를 가지고 있지 않다는 것을 이해하기 위한 게이지 대칭 의 개념에 대한 충분한 인식도 없었다. 대칭, 또는 곡선 시공간 기하학의 스피너를 설명한다. 이 인프라를 추가한 결과는 리만–카르탕 기하학이다. 특히, 스피너를 설명할 수 있으려면 이러한 기하학을 생성하기에 충분한 스핀 구조를 포함해야 한다.

리만-카르탕 기하학과 리만 기하학의 주된 차이점은 전자에서는 아핀 접속이 계량과 무관한 반면 후자에서는 레비-시비타 접속 과 같은 계량에서 파생된다는 것이다. 뒤틀림 이라고한다. 특히 레비치비타 접속의 경우 연결의 비대칭 부분( 비틀림이라고 함)은 그러한 연결을 정의하는 조건 중 하나로 0이다.

비틀림은 비틀림의 관점에서 선형으로 표현될 수 있기 때문에 아인슈타인-힐베르트 작용을 리만-카르탕 기하학으로 직접 변환하는 것도 가능하며 결과는 팔라티니 작용 이다( 팔라티니 변분 참조). 아인슈타인-힐베르트 작용을 아핀 연결로 재작성한 다음 비틀림과 뒤틀림이 모두 0이 되도록 강제하는 제약 조건을 별도로 지정하여 아핀 연결이 레비치비타 연결과 동일하도록 강제함으로써 파생된다. 일반상대성이론의 작용 방정식과 장방정식을 레비-시비타 접속으로 직접 번역한 것이기 때문에 리만-카르탕 기하학의 틀로 옮겨놓은 일반상대성이론 그 자체로 볼 수 있다.

아인슈타인-카르탕 이론은 이 조건을 완화하고 그에 따라 아핀 연결이 사라지는 반대칭 부분( 비틀림 텐서 )을 갖는다는 일반 상대성 이론의 가정을 완화한다. 사용되는 동작은 비틀림에 대한 구속이 제거된다는 점을 제외하면 Palatini 작용과 동일하다. 이것은 일반 상대성 이론과 두 가지 차이점이 있다. Palatini 공식에서 파생된 장 방정식; (2) 아핀 연결이 물질의 에너지 및 운동량에 결합되는 것과 매우 유사한 방식으로 비틀림을 물질의 고유 각 운동량( 스핀 )에 결합하는 추가 방정식 세트가 이제 존재한다. 아인슈타인-카르탕 이론에서 비틀림은 이제 스핀의 곡선형 시공간 공식( 스핀 텐서 )과 결합된 고정 동작 원리의 변수이다. 이러한 추가 방정식은 물질 소스와 관련된 스핀 텐서 측면에서 비틀림을 선형으로 표현하며, 이는 일반적으로 비틀림이 물질 내부에서 0이 아님을 수반한다.

선형성의 결과는 물질 외부에는 비틀림이 없기 때문에 외부 기하학은 일반 상대성 이론에서 설명하는 것과 동일하게 유지된다는 것이다. 아인슈타인-카르탕 이론과 일반 상대성 이론(리만 기하학에 대한 아인슈타인-힐베르트 작용 또는 리만-카르탕 기하학에 대한 팔라티니 작용의 관점에서 공식화됨) 사이의 차이점은 전적으로 물질 소스 내부의 기하학에 일어나는 일에 달려 있다. 즉, "비틀림이 전파되지 않다". 비틀림 전파를 허용하는 아인슈타인–카르탕 작용의 일반화가 고려되었다.

리만–카르탕 기하학은 로컬 게이지 대칭으로 로런츠 대칭을 갖기 때문에 관련 보존 법칙을 공식화하는 것이 가능한다. 특히, 계량 및 비틀림 텐서를 독립 변수로 간주하면 중력장의 존재에 대한 총(궤도 + 고유) 각운동량에 대한 보존 법칙을 올바르게 일반화할 수 있다.

역사

이 이론은 1922년 수학자 엘리 카르탕에 의해 처음 제안되었으며 이후 몇 년 동안 설명되었다. 앨버트 아인슈타인은 1928년 통합장 이론의 일부로 비틀림을 전자기장 텐서와 일치시키려는 시도가 실패하면서 이 이론 계열 연구자에 속하게 되었다. 이러한 사고 방식은 관련이 있지만 다른 텔레파라렐리즘 이론으로 그를 이끌었다.

Dennis Sciama와 Tom Kibble 은 1960년대에 독립적으로 이론을 재검토했으며 1976년에 중요한 리뷰가 출판되었다

아인슈타인-카르탕 이론은 역사적으로 비틀림이 없는 상대 이론과 Brans-Dicke 이론 과 같은 다른 대안에 의해 가려져 왔다. 아인슈타인-카르탕 이론은 순전히 고전적이기 때문에 양자 중력 문제를 완전히 다루지는 않다. 아인슈타인–카르탕 이론에서 디랙 방정식은 비선형이 된다. 최근 아인슈타인-카르탕 이론에 대한 관심은 우주론적 함의, 가장 중요한 것은 우주의 시작에서 중력 특이점을 피하는 쪽으로 몰렸다. 이론은 실행 가능한 것으로 간주되며 물리학 커뮤니티에서 활발한 주제로 남아 있다.

이 이론은 루프 양자 중력에 간접적으로 영향을 미쳤다(또한 트위스터 이론에도 영향을 준 것으로 보이다 ).

일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식은 아인슈타인-힐베르트 작용을 시공간의 실제 작용으로 가정한 다음 계량 텐서에 대해 해당 작용을 변분하여 유도할 수 있다. 아인슈타인-카르탕 이론의 장 방정식은 대칭 레비치비타 접속이 아닌 일반적인 비대칭 아핀 연결이 가정된다는 점을 제외하면 정확히 동일한 접근 방식에서 나온다(즉, 시공간에는 곡률 외에 비틀림이 있는 것으로 가정됨). 계량과 비틀림은 독립적으로 변화한다.

${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$가 물질의 라그랑주 밀도를 나타내고 ${\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }$가 중력장의 라그랑주 밀도를 나타낸다고 하자. 아인슈타인-카르탕 이론에서 중력장의 라그랑주 밀도는 리치 스칼라 곡률에 비례한다.

${\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }={\frac {1}{2\kappa }}R{\sqrt {|g|}}$

$S=\int \left({\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)\,d^{4}x$

여기서 $g$는 계량 텐서의 행렬식이며, $\kappa$는 중력 상수와 빛의 속력을 포함하는 물리 상수 $8\pi G/c^{4}$이다.. 해밀턴의 원리에 의해 중력장과 물질에 대한 전체 작용 $S$의 변분이 사라지기 때문에,

$\delta S=0.$

계량 텐서 $g^{ab}$에 대한 변분은 아인슈타인 방정식을 산출한다.

${\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta g^{ab}}}-{\frac {1}{2}}P_{ab}=0$

$R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=\kappa P_{ab}$

여기서 $R_{ab}$는 리치 곡률 텐서이고 $P_{ab}$는 정준 응력-에너지-운동량 텐서이다. 접속에 0이 아닌 비틀림 텐서가 포함되어 있기 때문에 리치 곡률 텐서는 더 이상 대칭이 아니다. 따라서 방정식의 우변도 대칭이 될 수 없으며, $P_{ab}$는 스핀 텐서와 관련된 것으로 표시될 수 있는 비대칭 기여도를 포함해야 함을 의미한다. 이 정준 에너지-운동량 텐서는 Belinfante-Rosenfeld 절차에 의해 더 친숙한 대칭 에너지-운동량 텐서와 관련된다.

비틀림 텐서 ${T^{ab}}_{c}$에 대한 변분은 카르탕 스핀 접속 방정식을 산출한다.

${\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta {T^{ab}}_{c}}}-{\frac {1}{2}}{\sigma _{ab}}^{c}=0$

${T_{ab}}^{c}+{g_{a}}^{c}{T_{bd}}^{d}-{g_{b}}^{c}{T_{ad}}^{d}=\kappa {\sigma _{ab}}^{c}$

여기서 ${\sigma _{ab}}^{c}$는 스핀 텐서이다. 비틀림 방정식은 편미분 방정식이 아닌 대수적 제약이기 때문에 비틀림 장은 파동으로 전파되지 않고 물질 밖에서 사라진다. 따라서 원칙적으로 비틀림은 물질 내부에서 효과적인 "스핀-스핀" 비선형 자기 상호 작용을 생성하는 스핀 텐서에 찬성하여 이론에서 대수적으로 제거될 수 있다.

특이점 회피

리만 기하학(예: 펜로즈 특이점 정리)는 리만-카르탕 기하학에서 성립할 필요가 없다. 결과적으로 아인슈타인-카르탕 이론은 빅뱅에서 특이점이라는 일반 상대론적 문제를 피할 수 있다. 비틀림과 디랙 스피너 사이의 최소 결합은 효과적인 비선형 스핀-스핀 자체 상호 작용을 생성하며, 이는 매우 높은 밀도에서 페르미온 물질 내부에서 중요해진다. 그러한 상호 작용은 관측 가능한 우주가 수축하기 전에 최소이지만 유한한 척도인자에서 단일 빅뱅을 첨단과 같은 빅 바운스로 대체할 것으로 추측된다. 이 시나리오는 또한 가장 큰 규모의 현재 우주가 공간적으로 평평하고 균질하며 등방성으로 보이는 이유를 설명하여 우주 팽창 에 대한 물리적 대안을 제공한다. 비틀림은 블랙홀 과 같은 특이점의 형성을 피하고 "점" 대신 페르미온이 공간적으로 확장되도록 해서 양자장 이론에서 자외선 발산을 제거하는 데 도움이 된다. 일반 상대성 이론에 따르면 충분히 조밀한 질량의 중력 붕괴는 단일 블랙홀을 형성한다. 대신 아인슈타인-카르탕 이론에서는 붕괴가 반등에 도달하고 사건의 지평 반대편에서 성장하는 새로운 우주로 가는 규칙적인 아인슈타인-로젠 다리(웜홀)를 형성한다. [[분류:알베르트 아인슈타인]] [[분류:중력 이론]]