전자기장 텐서 (電磁氣場tensor, electromagnetic field tensor )는 물리학에서 전기장 과 자기장 의 성분을 포함한 반대칭 2차 텐서 이다. 전자기장 텐서는 헤르만 민코프스키 의 특수 상대성이론의 4차원 텐서 공식화에서 처음 사용되었으며 다른 여러 복잡한 전자기학의 공식들을 간단한 형태로 나타낼 수 있게 해준다. 기호는
F
μ
ν
{\displaystyle F_{\mu \nu }}
.
여기서 굵은 지표는 추상지표표기법 에서 사용되는 지표를 말하고, 일반 지표는 좌표를 나타내는 지표이다.
전자기장 텐서
F
μ
ν
{\displaystyle F_{\mu \nu }}
는 전자기 퍼텐셜
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
의 도함수로 구성되어 있으며, 전자기 퍼텐셜의 일종의 곡률 로 생각할 수 있다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
F
μ
ν
=
∂
A
ν
∂
x
μ
−
∂
A
μ
∂
x
ν
{\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}}
.
미분형식 으로 쓰면 식이 더 간단해진다. 전자기장 텐서
F
{\displaystyle F}
는 반대칭 텐서이므로 2차 미분형식이고, 전자기 퍼텐셜
A
{\displaystyle A}
는 벡터이므로 1차 미분형식이다. 따라서
F
=
d
A
{\displaystyle F=dA}
이게 된다. 여기서
d
{\displaystyle d}
는 미분형식의 외미분(exterior derivative )이다.
전자기장 텐서 Fμν 의 성분은 다음과 같다.
F
μ
ν
=
[
0
−
E
x
/
c
−
E
y
/
c
−
E
z
/
c
E
x
/
c
0
B
z
−
B
y
E
y
/
c
−
B
z
0
B
x
E
z
/
c
B
y
−
B
x
0
]
{\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}}
여기서,
E : 전기장 ,
B : 자기장 ,
c : 빛의 속도 .
이다. (전자기장 텐서의 부호는 어떤 계량 텐서 부호수 를 쓰는지에 따라 달라지는데, 여기서는 -+++
를 사용하였다.)
텐서만을 사용하여 전자기장 텐서를 정의해보면 다음과 같이 정의된다.
F
a
b
=
t
a
∧
E
b
−
B
a
b
{\displaystyle F_{\mathbf {ab} }=t_{\mathbf {a} }\wedge E_{\mathbf {b} }-B_{\mathbf {ab} }}
여기서
Eb : 전기장 1차 형식
Bab : 자기장 2차 형식
ta = ∇a ∧t : 시간의 4차원 공간에서의 외미분