전자기학 에서 예피멘코 방정식 (Ефименко方程式, 영어 : Jefimenko's equation )은 주어진 전하 밀도 및 전류 밀도 가 만드는 전자기장 에 대한 방정식이다.[ 1]
우크라이나 태생 미국 물리학자 올레크 예피멘코(우크라이나어 : Оле́г Дми́триевич Ефиме́нко )가 자신이 1966년에 쓴 교과서에 이 공식을 이름 없이 언급하였고[ 2] , 그 뒤 데이비드 그리피스(David J. Griffiths )가 "예피멘코 방정식"이라는 이름을 붙였다.[ 3]
시간에 따라 변하는 전하 밀도
ρ
(
t
,
y
)
{\displaystyle \rho (t,\mathbf {y} )}
와 전류 밀도
J
(
t
,
y
)
{\displaystyle \mathbf {J} (t,\mathbf {y} )}
로 구성된 계 가 만드는 전자기장 을 생각해 보자. 로렌츠 게이지 조건 아래, 이 계의 전위
ϕ
(
t
,
x
)
{\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )}
와 벡터 퍼텐셜
A
(
t
,
x
)
{\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}
은 뒤처진 퍼텐셜 이다.
ϕ
(
t
,
x
)
=
∫
ρ
(
t
ret
,
y
)
4
π
ϵ
0
r
d
3
y
{\displaystyle \phi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\rho (t_{\text{ret}},\mathbf {y} )}{4\pi \epsilon _{0}r}}\;d^{3}\mathbf {y} }
A
(
t
,
x
)
=
∫
μ
0
J
(
t
ret
,
y
)
4
π
r
d
3
y
{\displaystyle \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mu _{0}\mathbf {J} (t_{\text{ret}},\mathbf {y} )}{4\pi r}}\;d^{3}\mathbf {y} }
.
여기서
r
=
x
−
y
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {y} }
,
r
=
‖
x
−
y
‖
{\displaystyle r=\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert }
이고,
t
ret
=
t
−
r
/
c
{\displaystyle t_{\text{ret}}=t-r/c}
은 뒤처진 시간이다.
이 뒤처진 퍼텐셜로부터 전기장 과 자기장 을 직접 계산할 수 있다.
E
(
t
,
x
)
=
−
∇
ϕ
(
t
,
x
)
−
A
˙
(
t
,
x
)
{\displaystyle \mathbf {E} (t,\mathbf {x} )=-\nabla \phi (t,\mathbf {x} )-{\dot {\mathbf {A} }}(t,\mathbf {x} )}
B
(
t
,
x
)
=
∇
×
A
(
t
,
x
)
{\displaystyle \mathbf {B} (t,\mathbf {x} )=\nabla \times \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )}
.
여기에 위 뒤처진 퍼텐셜 공식을 대입하면 다음 식을 얻는다.
E
(
x
,
t
)
=
∫
(
ρ
(
t
ret
,
y
)
+
ρ
˙
r
(
t
ret
,
y
)
/
c
)
r
^
−
r
J
˙
(
t
ret
,
y
)
/
c
2
4
π
ϵ
0
r
2
d
3
y
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {(\rho (t_{\text{ret}},\mathbf {y} )+{\dot {\rho }}r(t_{\text{ret}},\mathbf {y} )/c){\hat {\mathbf {r} }}-r{\dot {\mathbf {J} }}(t_{\text{ret}},\mathbf {y} )/c^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\;d^{3}\mathbf {y} }
B
(
x
,
t
)
=
∫
μ
0
(
J
(
t
ret
,
y
)
+
r
J
˙
(
t
ret
,
y
)
/
c
)
×
r
^
4
π
r
2
d
3
y
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {\mu _{0}(\mathbf {J} (t_{\text{ret}},\mathbf {y} )+r{\dot {\mathbf {J} }}(t_{\text{ret}},\mathbf {y} )/c)\times {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi r^{2}}}\;d^{3}\mathbf {y} }
.
(여기서
r
^
=
r
/
r
=
(
x
−
y
)
/
‖
x
−
y
‖
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r=(\mathbf {x} -\mathbf {y} )/\Vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \Vert }
은
x
−
y
{\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {y} }
방향의 단위벡터 다.) 이 두 공식을 예피멘코 방정식 이라고 부른다.
만약 전하 분포와 전류 분포가 시간에 따라 변하지 않는다면 (
ρ
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\rho }}=0}
,
J
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\mathbf {J} }}=0}
), 예피멘코 방정식은 다음과 같이 쿨롱 법칙 과 비오-사바르 법칙 이 된다.
E
(
x
,
t
)
=
∫
ρ
(
y
)
r
^
4
π
ϵ
0
r
2
d
3
y
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {\rho (\mathbf {y} ){\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\;d^{3}\mathbf {y} }
B
(
x
,
t
)
=
∫
μ
0
J
(
y
)
×
r
^
4
π
r
2
d
3
y
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {y} )\times {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi r^{2}}}\;d^{3}\mathbf {y} }
.
↑ Griffiths, David J. (1999). 〈§10.2.2 Jefimenko's equations〉. 《Introduction to Electrodynamics 》 (영어) 3판. Addison-Wesley. 427쪽. ISBN 81-7758-293-3 .
↑ Jefimenko, Oleg D. (1966). 〈§15.7〉. 《Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields 》 (영어) 1판. New York: Appleton-Century-Crofts.
↑ Griffiths, David J.; Mark A. Heald (1991년 2월). “Time‐dependent generalizations of the Biot–Savart and Coulomb laws ”. 《American Journal of Physics 》 59 (2): 111. doi :10.1119/1.16589 .