유도계수

이상적인 인덕터에서 교류 전압(파랑)이 전류(빨강)보다 90° 앞선다.

도선을 감아 만든 인덕터의 예

유도계수(誘導係數) 또는 인덕턴스(영어: inductance)는 전기 회로에서 전류가 변할 때 그 변화를 억제하는 성질이다. 전류가 만드는 자기장의 자기 선속이 변하면 패러데이 전자기 유도 법칙에 따라 기전력이 생기고, 렌츠의 법칙에 따라 이 기전력은 전류의 변화를 방해하는 방향으로 작용한다. 유도계수의 국제단위계 단위는 헨리(H)이며 기호로 $L$을 쓴다.

유도계수는 회로의 형태와 크기, 전류가 흐르는 경로, 주변 물질의 투자율에 따라 정해진다. 유도계수를 크게 하도록 도선을 감은 부품을 인덕터라고 하며, 보통 코일이나 나선형 도선으로 만든다. 모든 도체에는 어느 정도의 유도계수가 있지만, 전원 회로의 급격한 전류 변화를 제한하거나 교류 신호를 선별하는 목적에 맞게 인덕터를 사용한다.

용어와 역사

‘inductance’라는 말은 올리버 헤비사이드가 1884년에 ‘자기 유도의 계수’를 간단히 부르기 위해 사용했다. 기호 $L$은 하인리히 렌츠의 이름에서 유래한 관례로 설명되며, 단위 헨리는 유도 현상을 독립적으로 연구한 조지프 헨리의 이름을 딴 것이다. 패러데이와 헨리는 1830년대에 한 코일의 전류 변화가 다른 코일에 순간적인 전류를 유도한다는 사실을 관찰했다.

자기 선속과 자체 유도

도선에 전류 $I$가 흐르면 주위에 자기장이 생긴다. 그 자기장이 회로를 통과하는 자기 선속 또는 선속 결합을 $\lambda =N\Phi$로 나타내면, 선형 회로에서 자체 유도 계수(자체 인덕턴스)는

$L={\frac {\lambda }{I}}$

로 정의한다. 한 회로의 전류가 시간에 따라 변할 때 그 회로에 생기는 유도 기전력은

${\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} t}}=-N{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}=-L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}$

이다. 여기서 음의 부호는 유도 기전력이 전류 변화에 반대되는 방향이라는 렌츠의 법칙을 뜻한다. 일부 회로 이론에서는 인덕터 양단의 전압 강하를 $V=L\,\mathrm {d} I/\mathrm {d} t$로 쓰며, 이때 전압의 기준 방향은 수동 부호 규약에 따라 정한다.

코일의 감은 횟수가 많고 단면적이 클수록 같은 전류가 만드는 선속 결합이 커져 유도계수가 증가한다. 강자성체 코어를 코일 안에 넣으면 투자율이 커져 유도계수가 크게 증가하지만, 코어가 포화되면 유도계수는 전류에 따라 달라져 더 이상 일정한 값으로 취급할 수 없다.

자기 에너지

인덕터에 전류를 흘리는 데 필요한 일은 자기장에 에너지로 저장된다. 유도계수가 전류 범위에서 일정하다면 저장 에너지는

$U={\frac {1}{2}}LI^{2}$

이다. 유도계수가 비선형적으로 변하는 자성 코어에서는

$U=\int _{0}^{I}L(i)i\,\mathrm {d} i$

로 계산한다. 전류가 감소할 때에는 저장된 에너지가 회로로 되돌아가며, 스위칭 회로에서 큰 역기전력이나 전압 상승을 일으킬 수 있다. 따라서 릴레이·모터·전력 변환기에서는 플라이백 다이오드나 스너버 같은 보호 회로를 함께 사용하기도 한다.

교류에서의 유도 리액턴스

주파수 $f$인 정현파 교류가 이상적인 인덕터를 흐르면 전압은 전류보다 90° 앞선다. 각주파수 $\omega =2\pi f$일 때 인덕터의 유도 리액턴스는

$X_{L}=\omega L=2\pi fL$

이다. 리액턴스의 단위는 옴이며, 주파수가 높을수록 같은 전압에서 흐를 수 있는 교류 전류가 작아진다. 실제 인덕터는 도선 저항, 코어 손실, 기생 정전 용량을 함께 가지므로 고주파에서는 이상적인 식에서 벗어난다. 인덕터와 커패시터를 조합하면 공진 회로나 필터를 만들 수 있으며, 회로의 임피던스와 어드미턴스도 주파수에 따라 달라진다.

유도계수의 계산

유도계수는 원칙적으로 맥스웰 방정식에서 구할 수 있다. 길이 $\ell$, 단면적 $A$, 감은 횟수 $N$인 긴 솔레노이드에서 가장자리 효과와 코어의 비선형성을 무시하면

$L\simeq \mu {\frac {N^{2}A}{\ell }}$

로 근사한다. 여기서 $\mu$는 코어를 포함한 매질의 투자율이다. 동축 케이블에서는 두 원통 도체 사이의 자기장 분포와 길이를 사용해 유도계수를 계산하며, 단순한 직선 도선에서도 도선의 반지름과 귀로까지의 거리가 결과에 영향을 준다. 실제 장치에서는 도체의 배치와 주변 자성체까지 포함한 전자기장 해석이나 측정으로 값을 정한다.

상호 유도와 결합

상호 유도하는 두 인덕터와 점 규약

서로 가까운 두 회로에서 한 회로의 전류 변화가 다른 회로에 기전력을 만들면 두 회로는 상호 유도로 결합되어 있다고 한다. 회로 1의 전류 변화가 회로 2에 만드는 기전력은

${\mathcal {E}}_{2}=-M{\frac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} t}}$

로 쓸 수 있으며, $M$을 상호 유도 계수(상호 인덕턴스)라고 한다. 두 회로의 자체 유도 계수가 각각 $L_{1}$, $L_{2}$일 때 결합 계수 $k$는

$M=k{\sqrt {L_{1}L_{2}}},\qquad 0\leq k\leq 1$

로 정의한다. $k$가 1에 가까울수록 한 회로의 자기 선속이 다른 회로를 더 많이 통과한다. 이 원리가 변압기와 무선 전력 전송, 유도 가열 등에 이용된다. 두 코일의 상대적인 감는 방향은 점 규약으로 표시하며, 연결 방향에 따라 유도 전압의 부호가 달라진다.

이상적인 변압기에서는 권선 수 $N_{1},N_{2}$와 전압 $V_{1},V_{2}$ 사이에 $V_{2}/V_{1}\simeq N_{2}/N_{1}$의 관계가 성립한다. 실제 회로에서는 누설 자속, 권선 저항, 철심 손실과 기생 용량 때문에 두 인덕터의 결합 계수가 1보다 작고, 등가 회로에서는 자체 유도계수와 상호 유도계수를 각각 소자로 표시한다.

같이 보기

• 인덕터
• 전자기 유도
• 상호 유도
• 유도 리액턴스
• 변압기
• 점 규약
• 결합 계수
• 임피던스
• 어드미턴스
• 공진 회로
• 자기 에너지
• 맥스웰 방정식