체흐 코호몰로지

대수적 위상수학에서 체흐 코호몰로지(영어: Čech cohomology)는 위상 공간 위의 층 코호몰로지를 공간을 작은 조각으로 쪼개어 정의·계산하는 방법이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• $X$ 위의 아벨 군 준층 ${\mathcal {F}}\in \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} )$

그렇다면, 각 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, $(X,{\mathcal {U}})$의 ${\mathcal {F}}$계수 $n$차 체흐 코호몰로지 $\operatorname {\check {H}} ^{n}(X;{\mathcal {F}})$는 아벨 군이다. 이는 구체적으로 공사슬 복합체를 통해 정의될 수 있으며, 추상적으로 오른쪽 유도 함자로서 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다.

이 개념은 일반적으로 사용되는 ${\mathcal {U}}$에 의존한다. 그러나 $X$ 위의 열린 덮개들은 유항체계(directed system)를 이루며, (${\mathcal {U}}$에 의존하지 않는) $X$의 체흐 코호몰로지 $\operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X;{\mathcal {F}})$를 모든 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$에 대한 코호몰로지 $\operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})$의 귀납적 극한이다. 즉,

$\operatorname {\check {H}} ^{n}(X;{\mathcal {F}})=\varinjlim {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})$

이다.

구체적 정의

단체와 사슬

$n$차 체흐 단체(Čech單體, 영어: Čech simplex) $\sigma$는 그 교집합이 0이 아닌, $n+1$개의 ${\mathcal {U}}$의 원소의 순서쌍 $(U_{0},\dots ,U_{n})$이다. 단체의 지지 집합(영어: support) $|\sigma |$은 다음과 같은, 모든 성분들의 교집합이다.

$|\sigma |=\bigcap _{k=0}^{n}U_{n}$

$n$차 체흐 단체를 기저로 하는 자유 아벨 군을 ${\check {C}}^{n}$이라고 하자. ${\check {C}}^{n}$의 원소를 $n$차 체흐 사슬(영어: Čech chain)이라고 한다.

$n$차 체흐 단체 $\sigma$의 부분 경계(部分境界, 영어: partial boundary) $\partial _{k}\sigma$는 다음과 같다.

$\partial _{k}\sigma =(U_{0},\dots ,U_{k-1},U_{k+1},\dots ,U_{n})$.

$\sigma$의 경계(境界, 영어: boundary) $\partial \sigma$는 다음과 같다.

$\partial \sigma =\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\partial _{k}\sigma \in {\check {C}}^{n-1}$.

마찬가지로 $n$차 사슬의 경계를 (선형으로) 정의할 수 있다. $n$차 사슬의 경계는 $n-1$차 사슬이다.

공사슬

$n$차 체흐 공사슬(Čech共-, 영어: Čech cochain) $\phi$는 $n$차 단체 $\sigma$를 아벨 군 원소 $\phi (\sigma )\in {\mathcal {F}}(|\sigma |)$와 대응시키는 함수이다. $n$차 공사슬의 집합을 ${\check {C}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})$라고 하자. 이는 점별 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

공사슬의 공경계(共境界, 영어: coboundary)

$\delta ^{n}\colon {\check {C}}^{n}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})\to {\check {C}}^{n+1}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})$

는 다음과 같다. 단체 $\sigma$에 대하여,

$(\delta ^{n}\phi )(\sigma )=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\operatorname {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{k}\sigma |}\phi (\partial _{k}\sigma )$.

여기서

$\operatorname {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{k}\sigma |}\colon {\mathcal {F}}(|\partial _{k}\sigma |)\to {\mathcal {F}}(|\sigma |)$

는 부분 집합에 대한 제한 사상이다. 계산을 통해 $\delta ^{n+1}\circ \delta ^{n}=0$임을 확인할 수 있다. 따라서 이는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지를

$\operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})$

라고 하자.

유도 함자 구성

체흐 코호몰로지는 보다 추상적으로 유도 함자를 통해 정의할 수 있다. 즉, 0차 체흐 코호몰로지는 다음과 같이 쉽게 구체적으로 정의할 수 있다.

$\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})=\left\{(\phi _{U})_{U\in {\mathcal {F}}}\in C^{0}\colon \forall U,V\in {\mathcal {U}}\colon U\cap V\neq \varnothing \implies \operatorname {res} _{U\cap V}^{U}\phi _{U}=\operatorname {res} _{U\cap V}^{V}\phi _{V}\right\}$

여기서 ${\check {C}}^{0}$는 0차 체흐 공사슬, 즉 각 $U\in {\mathcal {U}}$에 대하여 ${\mathcal {F}}(U)$의 원소 $\phi _{U}\in {\mathcal {F}}_{U}$를 대응시키는 대상들의 집합이다. 만약 ${\mathcal {F}}$가 층이라면 이는 대역 단면 $\Gamma _{X}({\mathcal {F}})$과 같지만, 준층이라면 같을 필요가 없다.

0차 체흐 코호몰로지는 함자

$\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)\colon \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} )\to \operatorname {Ab}$

를 정의한다. 이 함자는 왼쪽 완전 함자임을 보일 수 있으며, 그 오른쪽 유도 함자들은 고차 체흐 코호몰로지와 일치한다.

$\operatorname {R} ^{\bullet }\left(\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)\right)=\operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X,{\mathcal {U}};-)$

여기서 준층 범주를 사용하는 것은 매우 중요하다. 층 범주에서는 0차 체흐 코호몰로지 함자 $\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)$는 단면 함자 $\Gamma _{X}(-)$와 일치하며, 이 함자의 오른쪽 유도 함자는 단순히 층 코호몰로지와 같다.

성질

특이 코호몰로지와의 관계

임의의 아벨 군 $G$에 대하여, 그 상수층 ${\underline {G}}$을 생각하자. 만약 위상 공간 $X$가 CW 복합체와 호모토피 동치라면, 그 ${\underline {G}}$ 계수 체흐 코호몰로지는 $G$ 계수 특이 코호몰로지와 표준적으로 동형이다.

$\operatorname {\check {H}} ^{\bullet }(X;{\underline {G}})\cong \operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(X;G)$

그러나 체흐 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 다르게 되는 위상 공간이 존재한다.

체흐-유도 함자 스펙트럼 열

체흐 코호몰로지는 특정한 경우 유도 함자로 정의된 층 코호몰로지와 일치한다. 이 사실은 마이어-피토리스 스펙트럼 열(영어: Mayer–Vietoris spectral sequence) 또는 체흐-유도 함자 스펙트럼 열(영어: Čech-to-derived-functor spectral sequence)의 존재에 의하여 함의된다.^{:Théorème 5.4.1}

구체적으로, 위상 공간 $X$ 위의 아벨 군 값의 층 ${\mathcal {F}}$ 및 열린 덮개 ${\mathcal {U}}$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})$가 다음과 같은 준층이라고 하자.

${\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})\colon U\mapsto \operatorname {H} ^{q}(U;{\mathcal {F}})$

그렇다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열의 두 번째 쪽은 다음과 같다.

$E_{2}^{p,q}=\operatorname {\check {H}} ^{p}\left(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {H}}^{q}(X;{\mathcal {F}})\right)$

만약 ${\mathcal {U}}$가 두 개의 열린집합만으로 구성된다면, 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 마이어-피토리스 열로 퇴화한다. 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 함자들로 유도되는, 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우이다.

$\operatorname {Sh} (X;\operatorname {Ab} )\hookrightarrow \operatorname {PSh} (X;\operatorname {Ab} ){\xrightarrow {\operatorname {\check {H}} ^{0}(X,{\mathcal {U}};-)}}\operatorname {Ab}$

여기서 $\operatorname {Sh}$는 층 범주, $\operatorname {PSh}$는 준층 범주를 뜻한다.

적절한 조건 아래 마이어-피토리스 스펙트럼 열은 층 코호몰로지로 수렴한다.

$E_{2}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X;{\mathcal {F}})$

특히, 만약 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화한다면 $\operatorname {\check {H}} ^{p}(X,{\mathcal {U}};{\mathcal {F}})$는 층 코호몰로지와 일치한다. 구체적으로, 마이어-피토리스 스펙트럼 열이 둘째 쪽에서 퇴화하는 충분조건은 다음과 같다.

• 모든 유한 부분 집합 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {U}}$에 대하여 ${\mathcal {F}}|_{\bigcap {\mathcal {A}}}$는 비순환층이다 (즉, $\textstyle \operatorname {H} ^{i}(\bigcap {\mathcal {A}};{\mathcal {F}})=0\quad \forall i>0$이다).

이를 르레 정리(영어: Leray’s theorem)라고 하고, 이 조건을 만족시키는 열린 덮개를 르레 덮개(영어: Leray cover)라고 한다.

예

낮은 차수의 체흐 공사슬

편의상 체흐 공사슬 $\phi$의 값을

$\phi (U_{i_{0}},\dotsc ,U_{i_{n}})=\phi _{i_{0}\dotso i_{n}}$

으로 표기하자.

낮은 차수의 체흐 공경계 및 체흐 공사슬이 체흐 공순환이 될 조건은 다음과 같다. (편의상, 자명한 제약 사상들을 생략하였다.)

차수	공경계	공순환 조건
0	$(\delta ^{0}\phi )_{ij}=\phi _{j}-\phi _{i}$	$\phi _{i}=\phi _{j}$
1	$(\delta ^{1}\phi )_{ijk}=\phi _{jk}-\phi _{ik}+\phi _{ij}$	$\phi _{ik}=\phi _{ij}+\phi _{jk}$
2	$(\delta ^{2}\phi )_{ijkl}=\phi _{jkl}-\phi _{ikl}+\phi _{ijl}-\phi _{ijk}$	$\phi _{jkl}+\phi _{ijl}=\phi _{ikl}+\phi _{ijk}$
3	$(\delta ^{2}\phi )_{ijklm}=\phi _{jklm}-\phi _{iklm}+\phi _{ijlm}-\phi _{ijkm}+\phi _{ijkl}$	$\phi _{jklm}+\phi _{ijlm}+\phi _{ijkl}=\phi _{iklm}+\phi _{ijkm}$

위상수학자의 사인 곡선

위상수학자의 사인 곡선

$T=\left\{\left(x,\sin(1/x)\right)\colon x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}$

의 폐포

$\operatorname {cl} (T)=T\cup (\{0\}\times [-1,1])$

의 경우, 체흐 코호몰로지와 특이 코호몰로지가 서로 일치하지 않는다. 구체적으로,

$\operatorname {\check {H}} ^{1}(\operatorname {cl} T;{\underline {\mathbb {Z} }})\cong \mathbb {Z}$

$\operatorname {H} _{\text{sing}}^{1}(\operatorname {cl} T;\mathbb {Z} )\cong 0$

이다.

스킴

분리 스킴 위의 연접층에 대하여, 열린 아핀 부분 스킴들로 구성된 덮개는 항상 르레 덮개이다. 여기서 분리성 및 연접성은 다음과 같이 필요하다.

• 분리 스킴의 조건에 의하여 열린 아핀 부분 스킴들의 교집합 역시 열린 아핀 부분 스킴이다.
• 연접층의 조건에 의하여, 아핀 스킴 위의 연접층은 항상 비순환층이다.

역사

러시아의 파벨 알렉산드로프와 체코의 에두아르트 체흐가 도입하였다. 르레 정리는 장 르레가 1950년에 도입하였다.

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 
• Edwards, David; Hastings, Harold M. (1980). “Čech Theory: Its past, present, and future”. 《Rocky Mountain Journal of Mathematics》 (영어) 10 (3): 429-468. doi:10.1216/RMJ-1980-10-3-429. MR 590209. Zbl 0464.55001. 

외부 링크

• “Čech cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Aleksandrov-Čech homology and cohomology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Nerve of a family of sets”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Čech cohomology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Aleksandrov-Čech cohomology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nerve”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Čech cohomology”. 《nLab》 (영어). 
• “Čech nerve”. 《nLab》 (영어). 
• “Čech cover”. 《nLab》 (영어). 
• “Čech methods”. 《nLab》 (영어). 
• “Nerve theorem”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 11월 17일). “The Cech-to-derived functor spectral sequence”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2016년 2월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 23일에 확인함. 
• Mathew, Akhil (2009년 12월 24일). “Leray’s theorem”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 2016년 2월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 23일에 확인함.