아서 케일리

아서 케일리 Arthur Cayley
아서 케일리(영국 런던에서 찍은 사진, Barraud&Jerrard 작)
출생	1821년 8월 16일(1821-08-16) 영국 서리주 리치먼드
사망	1895년 1월 26일(1895-01-26)(73세) 영국 케임브리지
국적	영국
주요 업적	케일리-해밀턴 정리 케일리 그래프 팔원수 케일리-딕슨 구성 케일리 변환
수상	코플리 메달(1882년) 드 모르간 메달(1884년) 로열 메달(1859년) 코플리 메달(1882년)
분야	수학
소속	케임브리지 대학교
박사 교수	윌리엄 홉킨스(William Hopkins)
박사 학생	H. F. Baker Andrew Forsyth Charlotte Scott

아서 케일리(영어: Arthur Cayley IPA: [ˈɑː(ɹ)θə(ɹ) ˈkeɪli] FRS, 1821년 8월 16일 ~ 1895년 1월 26일)는 영국의 법률가이자 수학자이다. 대학 졸업 후 25세에 14년 동안 법률가로서 활동하였다. 그 후 40대 이후에 드디어 본격적으로 전문수학자로서 활동하기 시작했다.

상대성 이론에서 4차원의 개념을 뚜렷하게 만들고, 기하 공간이 점과 선으로만 이루어진다고 한정하는 것을 벗어나게 했다. 또 행렬의 대수를 발전시켰고, 기하학에서도 많은 업적을 쌓았다. 1884년에 드 모르간 메달을 수상했다. 윌리엄 로언 해밀턴의 제자로서 해밀턴과 함께 케일리-해밀턴 정리를 발견하고, 해밀턴의 사원수를 발전시켜서 팔원수를 고안하기도 했다. 윌리엄 로언 해밀턴의 친구인 아일랜드의 수학자 존 토머스 그레이브스(영어: John Thomas Graves, 1806~1870)는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 재발견하였고, 이를 기반으로 한 팔원수를 고안하였다.

그러나 아서 케일리는 1845년에 이와는 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.

아서 케일리의 팔원수는 사원수 대수에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

제임스 조지프 실베스터와는 친구로, 실베스터가 런던을 방문할때면, 함께 Lincoln's Inn, London(런던법학원,영국법조원 비영리협회)에서 자주 거닐며, 불변식론을 논의하곤 했다.

다비트 힐베르트가 힐베르트의 불변식론을 전개할 때 케일리의 오메가 프로세스를 사용하였다.

케일리의 오메가 프로세스

$n^{2}$, 변수로 $x_{ij}$를 갖는 미분 연산자를 가정하면, 오메가 연산자(operator)가 다음과 같이 주어진다.

$\Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}$

2변수다항식의 2차 불변식의 경우, $f$는 $x_{1},y_{1}$ 그리고 다른 함수 $g$ 의 $2$개의 변수$x_{2},y_{2}$에 대해 Ω(오메가)연산자는

${\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{2}\partial y_{1}}}$ 이고,

${\begin{vmatrix}{{\partial f} \over {\partial x_{1}}}&{{\partial f} \over {\partial y_{1}}}\\{{\partial g} \over {\partial x_{2}}}&{{\partial g} \over {\partial y_{2}}}\end{vmatrix}}=\Omega ^{2}(f,g)$로 예약해보면,

$2-fold$(중)$\,\Omega process$ ,즉 $\Omega ^{2}(f,g)$는 $x$ 그리고 $y$의 변수에 의해 $2$개의 $f$ 와 $g$ 가

1. $f$의 $x_{1},y_{1}$ 그리고 $g$의 $x_{2},y_{2}$로 변환한다.
2. $\Omega$에 $r$승을 해주면, $4$개의 변수들($x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}$)에 의해서 $f\cdot g$가 성립한다.
3. $x_{1},x_{2}$와 $x$를, $y_{1},y_{2}$와 $y$를 대입한다.

$r-fold\,\Omega process$ ,즉 $\Omega ^{r}(f,g)$ 또는 $r-th$ Transvectant($tr\Omega ^{r}$)로 불리는 $(f,g)^{r}$가 되겠다.

같이 보기

• 케일리의 정리(케일리의 공식)
• 케일리-해밀턴 정리
• 케일리 그래프
• 팔원수
• 케일리-딕슨 구성
• 제임스 조지프 실베스터
• 불변식론 (영어)
• 케일리의 오메가 프로세스 (영어)
• 힐베르트 공간

외부 링크

• “Arthur Cayley”. 《수학 계보 프로젝트》 (영어). 미국 수학회. 

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