케일리-해밀턴 정리

선형대수학에서 케일리-해밀턴 정리는 실수체, 혹은 복소체에서 정의된 모든 정사각행렬이 특성 방정식을 만족한다는 정리이다. 수학자 아서 케일리와 윌리엄 해밀턴의 이름에서 따왔다.

A 행렬이 n×n 정사각행렬이고 I_n 가 n×n 단위 행렬일 때, A 의 특성 다항식은 다음과 같이 정의한다.

$p(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)\,$

여기서 "det"은 행렬식 기호이다. 케일리-해밀턴 정리에 따르면, 위 다항식에 A 행렬을 대입하면 영행렬을 얻는다

$p(A)=0.\,$

케일리-해밀턴 정리는 가환환에서 정의된 모든 정사각행렬에 대해 성립한다.

예제

A 행렬이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

$A = \begin{bmatrix}1&2\\ 3&4\end{bmatrix}.$

이때 특성 다항식은 다음과 같다.

$p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\ -3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.$

케일리-해밀턴 정리에 따르면 다음 식이 성립한다.

$A^2-5A-2I_2=0$

실제로 계산해 보면, 위 식이 성립함을 확인할 수 있다.

$A^2-5A-2I_2=0$

$A^2=5A+2I_2.$

위의 식을 통해 A⁴을 계산하면 다음과 같다.

$A^3=(5A+2I_2)A=5A^2+2A=5(5A+2I_2)+2A=27A+10I_2$

$A^4=A^3A=(27A+10I_2)A=27A^2+10A=27(5A+2I_2)+10A$

$A^4=145A+54I_2.$

이 정리는 또한 행렬의 고유치(eigenvalue)와 고유벡터(eigenvecter)를 구하는 중요한 도구이다.