화살집 표현

화살집 표현(-表現, 영어: quiver representation)은 환론에서 화살집의 각 꼭짓점에 가군을 대응시키며 각 변에 가군 준동형을 대응시키는 수학 구조이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 화살집 $Q$

추상적 정의

$Q$의 $K$ 계수 화살집 표현 $R$는 다음과 같은 함자이다.

$R\colon \operatorname {Free} (Q)\to \operatorname {Mod} _{K}$

여기서 $\operatorname {Free} (Q)$는 $Q$로 생성되는 자유 범주이며, $\operatorname {Mod} _{K}$는 $K$-가군의 범주이다.

두 화살집 표현 $R$, $S$ 사이의 사상 $\phi \colon R\to S$은 함자 사이의 자연 변환이다.

구체적 정의

$Q$의 $K$ 계수 화살집 표현 $R$은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 꼭짓점 $v\in \operatorname {V} (Q)$에 대하여, $K$-가군 $R_{v}$
• 각 변 $e\colon u\to v$에 대하여, $K$-가군 준동형 $R_{e}\colon R_{u}\to R_{v}$

두 화살집 표현 $R$, $S$ 사이의 사상 $\phi \colon R\to S$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 꼭짓점 $v\in \operatorname {V} (Q)$에 대하여, $K$-가군 준동형 $\phi _{v}\colon R_{v}\to S_{v}$

이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 $e\colon u\to v$에 대하여,

${\begin{matrix}R_{u}&{\overset {\phi _{u}}{\to }}&S_{u}\\{\scriptstyle R_{e}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle R_{e}}&&{\color {White}\scriptstyle S_{e}}\downarrow \scriptstyle S_{e}\\R_{v}&{\underset {\phi _{v}}{\to }}&S_{v}\end{matrix}}$

환론적 정의

화살집 $Q$ 속의, 길이 $n\in \mathbb {N}$의 보행(영어: walk, path)은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열

$v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{1},v_{1},e_{0},v_{0}$

이다.

$s(e_{i})=v_{i}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}$

$t(e_{i})=v_{i+1}\forall i\in \{0,\dotsc ,n-1\}$

(보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응한다.)

$Q$의 보행들을 기저로 갖는 $K$-자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자.

• 임의의 두 보행 $\alpha =(v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{0},v_{0})$, $\beta =(v'_{n'},e'_{n'-1},\dotsc ,e'_{0},v'_{0})$에 대하여,
  • 만약 $v_{0}=v'_{n'}$이라면, $\alpha \beta =(v_{n},e_{n-1},\dotsc ,e_{0},v_{0},e'_{n'-1},\dotsc ,v'_{0})$
  • 만약 $v_{0}\neq v'_{n'}$이라면, $\alpha \beta =0$

이는 유사환을 이루며, 만약 $Q$가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원

$1=\sum _{v\in \operatorname {V} (Q)}(v)$

을 가져 환을 이룬다. 이를 $Q$ 위의 보행 대수(영어: walk algebra, path algebra) $K[Q]$라고 한다.

이제, 만약 $Q$의 꼭짓점 집합이 유한 집합일 경우, $Q$의 $K$-표현은 보행 대수 $K[Q]$의 왼쪽 가군 $R$이다.

이 정의들은 다음과 같이 대응한다.

범주론적 정의	구체적 정의	환론적 정의
꼭짓점 $v$에 대응하는 대상의 상 $R(v)$	꼭짓점 $v$에 대응되는 가군 $R_{v}$	$(v)R$ ($(v)$는 길이 0의 보행)
변 $e$에 대응하는 사상의 상 $R(e)$	변 $e\colon u\to v$에 대응하는 가군 준동형 $R_{e}\colon R_{u}\to R_{v}$	길이 1의 보행 $(u,e,v)$의 작용 $(u,e,v)\colon (v)R\to (u)R$
보행 $(v_{n},\dotsc ,e_{0},v_{0})$에 대응하는 사상의 상 $R(e_{n-1})\circ \dotsb \circ R(e_{0})$	보행의 변들에 대응하는 가군 준동형들의 합성 $R_{e_{n-1}}\circ \dotsb \circ R_{e_{0}}\colon R_{v_{0}}\to R_{v_{n}}$	보행의 작용

연산

분리합

화살집들의 집합 $(Q_{i})_{i\in I}$ 및 각 $i\in I$에 대하여 $Q_{i}$의 표현 $R^{(i)}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 $\textstyle \bigsqcup _{i\in I}Q_{i}$의 $K$-표현 $\textstyle \bigsqcup _{i\in I}R^{(i)}$이 자연스럽게 존재한다.

반대로, $\textstyle \bigsqcup _{i\in I}Q_{i}$의 모든 $K$-표현은 $Q_{i}$들의 표현들의 족 $(R^{(i)})_{i\in I}$의 분리합으로 유일하게 나타내어진다.

(이는 화살집의 분리합집합이 대응되는 범주의 쌍대곱에 대응하기 때문이다.)

직합

화살집 $Q$의 $K$-표현들의 집합 $(R^{(i)})_{i\in I}$의 직합은 다음과 같은 화살집 표현이다.

$R_{v}=\bigoplus _{i\in i}R_{v}^{(i)}\qquad (v\in \operatorname {V} (Q))$

$R_{e}=\bigoplus _{i\in i}R_{e}^{(i)}\qquad (e\in \operatorname {E} (Q))$

직합의 항등원은 모든 성분이 영가군인 영 표현(零表現, 영어: zero representation)이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 분해 불가능 표현(分解不可能表現, 영어: indecomposable representation)이라고 한다.

성질

임의의 가환환 $K$ 및 화살집 $Q$에 대하여, $Q$의 $K$-표현들의 범주는 (작은 범주에서 아벨 범주로 가는 함자 범주이므로) 아벨 범주이다.

가브리엘 정리

${\mathsf {A}}_{n}$ · ${\mathsf {D}}_{n}$ · ${\mathsf {E}}_{n}$ 꼴의 근계의 딘킨 도표

가브리엘 정리(Gabriel定理, 영어: Gabriel’s theorem)에 따르면, 화살집 $Q$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 분해 불가능 복소수 표현의 동형류의 수가 유한하다.
• 유한 개의 연결 성분을 가지며, 각 연결 성분은 (변의 방향을 망각하면) ${\mathsf {A}}_{n}$ · ${\mathsf {D}}_{n}$ · ${\mathsf {E}}_{6}$ · ${\mathsf {E}}_{7}$ · ${\mathsf {E}}_{8}$ 꼴의 딘킨 도표를 이룬다. (특히, 다중 그래프일 수 없다.)

또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 $K$-표현의 동형류는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) 근계의 양근과 일대일 대응한다.

예

임의의 가환환 $K$가 주어졌다고 하자.

공집합(즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집)은 유일한 (자명한) $K$-표현을 갖는다.

A₁

하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 ${\mathsf {A}}_{1}$의 표현들은 $K$-가군이다. 특히, 만약 $K$가 체일 때, ${\mathsf {A}}_{1}$의 분해 불가능 $K$-표현은 1차원 표현 $K$ 밖에 없다. (이는 ${\mathsf {A}}_{1}$ 근계의 유일한 양근에 대응한다.)

A₂

${\mathsf {A}}_{2}$ 근계는 세 개의 양근 $\alpha$, $\beta$, $\alpha +\beta$를 갖는다.

두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 ${\mathsf {A}}_{2}$의 표현들은 두 $K$-가군 사이의 가군 준동형이다. 특히, 만약 $K$가 체일 때,

${\mathsf {A}}_{2}={\underset {u}{\bullet }}{\overset {e}{-}}{\underset {v}{\bullet }}$

의 분해 불가능 $K$-표현은 다음 세 개이다. (이는 ${\mathsf {A}}_{2}$ 근계의 세 양근에 대응한다.)

• $R_{u}=K$, $R_{v}=0$, $R_{e}$는 값이 0인 상수 함수
• $R_{u}=0$, $R_{v}=K$, $R_{e}$는 값이 0인 상수 함수
• $R_{u}=R_{v}=K$, $R_{e}$는 항등 함수

역사

가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(프랑스어: Pierre Gabriel, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.^{:73, §1.2, Satz}

외부 링크

• “Quiver”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Gabriel's theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Why are (representations of) quivers such a big deal?”. 《Stack Exchange》 (영어).