군 스킴

대수기하학에서 군 스킴(群scheme, 영어: group scheme, 프랑스어: schéma en groupe)은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다.

정의

군 스킴은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.

군 대상을 통한 정의

스킴 $S$가 주어졌다고 하자. $S$ 위의 군 스킴은 스킴의 범주의 조각 범주 $\operatorname {Sch} /S$ 속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴 $(G,m,e,i)$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $G/S$는 $S$-스킴이다.
• $m\colon G\times _{S}G\to G$는 $S$-스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
• $e\colon S\to G$는 $S$-스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
• $i\colon G\to G$는 $S$-스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.

이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.

함자를 통한 정의

스킴 $S$ 위의 군 스킴은 다음 조건을 만족시키는 함자

$G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp}$

이다.

• $\operatorname {Forget} \circ G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$는 표현 가능 함자이다. 즉, $\operatorname {Forget} \circ G\cong \hom _{\operatorname {Sch} /S}(-,X)$가 되는 $S$-스킴 $X$가 존재한다.

여기서

$\operatorname {Forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set}$

는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, $\operatorname {Sch} /S$ 속의 군 대상 $G$가 주어졌을 때, 표현 가능 함자 $\hom(-,G)$는 둘째 정의에 부합한다.

성질

스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자

$\operatorname {Sch} \to \operatorname {Top}$

를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다.

반면, 임의의 체 $K$에 대하여, $\operatorname {Spec} K$ 위의 군 스킴 $G$의 $K$-유리점의 집합 $G(K)$을 취할 수 있다. 이 경우,

$(G\times _{\operatorname {Spec} K}G)(K)=G(K)\times _{\operatorname {Set} }G(K)$

이므로, 집합 $G(K)$ 위에는 군의 구조가 존재한다.

복소수체 $\mathbb {C}$ 위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.

예

곱셈 군 스킴

스킴 $S$ 위의 군 스킴 $\mathbb {G} _{\operatorname {m} }$은 스킴으로서 원점을 제거한 $S$-아핀 직선 $\mathbb {A} _{S}^{1}\setminus \{0\}$이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

$\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp}$

$\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })$

여기서 $\Gamma$는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며, ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$는 구조층 ${\mathcal {O}}_{X}$의 가역원군층이다. 특히, 만약 $S=\operatorname {Spec} R$가 아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은 $R$계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다.

$\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\cong \operatorname {Spec} [x,x^{-1}]=\operatorname {Spec} R[x,y]/(xy-1)$

이 경우, 군 이항 연산

$\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\times _{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }$

은 다음과 같은 $R$-결합 대수의 준동형에 대응한다.

$R[x,x^{-1}]\to R[y,y^{-1},z,z^{-1}]=R[y,y^{-1}]\star _{R}R[z,z^{-1}]$

$x\mapsto yz$

마찬가지로, 항등원

$\operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }$

은 다음과 같은 $R$-결합 대수의 준동형에 대응한다.

$R[x,x^{-1}]\to R$

$x\mapsto 1$

이는 로랑 다항식환 $R[x,x^{-1}]$의 호프 대수 구조에서 유래한다.

보다 일반적으로, 스킴 $S$ 위의 일반 선형군 스킴(一般線型郡scheme, 영어: general linear group scheme) $\operatorname {GL} (n;S)$는 함자로서 다음과 같다.

$\operatorname {GL} (n;S)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp}$

$\operatorname {GL} (n;S)\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \operatorname {Mat} (n;\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }))$

여기서 $\operatorname {Mat} (;)$는 행렬환을 뜻한다. 이 경우 $\mathbb {G} _{\operatorname {m} }=\operatorname {GL} (1;S)$이다.

덧셈 군 스킴

스킴 $S$ 위의 군 스킴 $\mathbb {G} _{\operatorname {a} }$는 스킴으로서 $S$-아핀 직선 $\mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (S[x])$이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

$\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp}$

$\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$

여기서 $\Gamma$는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다.

특히, 만약 $S=\operatorname {Spec} R$가 아핀 스킴이라면, $\mathbb {G} _{\operatorname {a} }=\mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} R[x]$이다. 이 경우, 군의 이항 연산

$\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\times _{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }$

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

$R[x]\to R[y,z]=R[y]\star _{R}R[z]$

$x\mapsto y+z$

군의 항등원 사상

$\operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }$

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

$R[x]\to R$

$x\mapsto 0$

1의 거듭제곱근 군 스킴

양의 정수 $n$에 대하여, 1의 $n$제곱근 군 스킴(영어: group scheme of $n$th roots of unity) $\mathbb {\mu } _{n}$은 $n$제곱 사상 $\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }$의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

$\mathbb {\mu } _{n}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp}$

$\mathbb {\mu } _{n}\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to \{s\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\colon s^{n}=1_{\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}\}$

특히, 만약 $S=\operatorname {Spec} R$가 아핀 스킴이라면, $\mathbb {\mu } _{n}=\operatorname {Spec} (R[x]/(x^{n}-1))$이다.

상수 군 스킴

군 $G$가 주어졌다고 하자. 스킴 $S$ 위의 상수 군 스킴(영어: constant group scheme) $G_{S}$는 스킴으로서 분리합집합 $S^{\sqcup G}$이다 (즉, 위상 공간으로서 $G$에 이산 위상을 준다면 $G\times S$이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 $G$의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.

$G_{S}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp}$

$G_{S}\colon X\mapsto G^{\times \operatorname {conn\,comp} (X)}$

여기서 $\operatorname {conn\,comp} (X)$는 $X$의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다.

특히, $G$가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘 $S/S$는 $S$ 위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든 $S$ 위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.

대각화 가능 군 스킴

아벨 군 $G$가 주어졌다고 하자. 스킴 $S$ 위의 대각화 가능 군 스킴(영어: diagonalizable group scheme) $\operatorname {Diag} (G)$는 함자로서 다음과 같다.

$\operatorname {Diag} (G)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp}$

$\operatorname {Diag} (G)\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \hom _{\operatorname {Ab} }\left(G,(\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})^{\times }\right)$

만약 $S=\operatorname {Spec} R$가 아핀 스킴이라면, $\operatorname {Diag} G=\operatorname {Spec} (R[G])$는 군환 $R[G]$의 스펙트럼이다.

아핀 군 스킴

가환환 $R$ 위의 가환 호프 대수 $H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 $\operatorname {Spec} H$는 표준적으로 $\operatorname {Spec} R$-군 스킴을 이룬다. 반대로, $\operatorname {Spec} R$ 위의 모든 아핀 군 스킴은 $R$ 위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다.

군 스킴	호프 대수
곱 $\Delta ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\times _{R}\operatorname {Spec} H=\operatorname {Spec} (H\otimes _{R}H)\to \operatorname {Spec} H$	쌍대곱 $\Delta \colon H\to H\otimes _{R}H$
항등원 $\epsilon ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} R\to \operatorname {Spec} H$	쌍대항등원 $\epsilon \colon H\to R$
역원 $S^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} H$	앤티포드 $S\colon H\to H$
$\operatorname {Spec} R$-스킴의 구조 사상 $\eta ^{\operatorname {op} }\operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} R$	항등원 $\eta \colon R\to H$
대각 사상 $\operatorname {diag} _{\operatorname {Spec} H/R}=\nabla ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} H\times _{R}\operatorname {Spec} H=\operatorname {Spec} (H\otimes _{R}H)$	곱 $\nabla \colon H\otimes _{R}H\to H$

참고 문헌

• Waterhouse, William C. (1979). 《Introduction to affine group schemes》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 66. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6217-6. ISBN 978-0-387-90421-4. ISSN 0072-5285. MR 0547117. 
• Gabriel, Peter; Demazure, Michel (1980). 《Introduction to algebraic geometry and algebraic groups》 (영어). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-85443-6. 
• Conrad, Brian. 〈Reductive group schemes〉. 《Autour des schémas en groupes. École d’été “Schémas en groupes”. Volume I》. Panoramas et Synthèses (영어) 42. Société Mathématique de France. ISBN 978-2-85629-794-0. Zbl 06479627. 2016년 4월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 1일에 확인함. 
• Demazure, M.; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 1》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 151. Springer. doi:10.1007/BFb0058993. ISBN 978-3-540-05179-4. ISSN 0075-8434. 
• Demazure, M.; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 2》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 152. Springer. doi:10.1007/BFb0059005. ISBN 978-3-540-05180-0. ISSN 0075-8434. 
• Michel, Demazure; Grothendieck, A., 편집. (1970). 《Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie 1962–64. Schémas en groupes (SGA 3). Tome 3》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 153. Springer. doi:10.1007/BFb0059027. ISBN 978-3-540-05181-7. ISSN 0075-8434. 

외부 링크

• “Group scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Group scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Diagonalizable group scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Unipotent group scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Multiplicative group scheme”. 《nLab》 (영어). 
• Youcis, Alex (2014년 7월 9일). “Group schemes and affine group schemes”. 《Hard Arithmetic》 (영어).