허수

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허수(虛數, imaginary number)는 실수가 아닌 복소수를 뜻한다.

실수의 특성상, 제곱하면 무조건 0또는 양수가 되기때문에 이차방정식 $x^{2}=-1$을 실수의 범위에서 해를 전혀 구할 수가 없다. 그러나 수직선에 모든실수를 하나하나 대응시키면 빈틈없이 채워지는것으로 볼때,우리가 존재한다고 느낄 수 있는 수는 실수밖에없다는것은 부정할 수 없는 사실이다.

여기서 $x^{2}=-1$ 꼴과같이 실수 범위에서 전혀 구할 수 없는 해를 구하기위해 무엇인가를 만들어야할 필요성을 느낀다. 실수의 성질로써는 절대불가능한 제곱해서 음수가 되는수를 만들어내기위해 제곱하여 -1이 되는 수 ${\sqrt {-}}1$를 만들어내면, 위의 이차방정식의 해는 $+{\sqrt {-}}1$또는$-{\sqrt {-}}1$이 되므로 이 수는 우리가 존재한다는것을 느끼는 수가 아님에도불구하고 이차방정식의 해가 되기때문에,수학자들은 이 수가 수학적가치가 있음을 인정하고 허수로 정의했고, ${\sqrt {-}}1$만 있으면 모든 허수들을 나타낼 수 있으므로 이 수를 imaginary number의 앞글자를 따서 허수단위 i라고 정의했다.

복소수는 실수와 허수를 포괄하는 수이며, $a+bi$로 나타낼 수 있고, 이때 a를 실수부, b를 허수부라 한다. b가 0일 경우 위의 수는 실수가 되며, 실수와 허수를 모두 포함하는 수 체계가 복소수이다.

역사

고대 그리스의 수학자 헤론은 거듭제곱하여 음수가 되는 수에 대한 개념을 기록한 바 있다. 1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 허수 단위를 정의하였다. 이후 르네 데카르트가 《방법서설》의 부록 〈기하〉(프랑스어: La Géométrie)에서 상상의 수(imaginary numbers)라고 부른 데에서 허수라는 이름이 정착되었다. 허수라는 이름은 오일러와 가우스에 의해 널리 알려졌으며, 오일러는 허수 단위 기호로 $i$ 를 도입하였다. 1799년 카스파르 베셀이 복소수의 기하학적 표현을 완성하였다.

1843년 윌리엄 로언 해밀턴은 복소수를 확장하여 사원수 체계를 만들었다.

미국 수학에서 허수란 $i\mathbb {R}$ 형태, 즉 순허수이다. 즉 실수에 허수단위 $i={\sqrt {-1}}$가 곱해진 형식을 가지고 있고, 따라서 제곱하면 음수가 된다.

기하학적 해석

복소평면에서 복소수의 위치

한 평면상에 직교 좌표계를 정하고 이에 대한 한 점 Z 의 위치 (x, y)를 $x+yi$로 정하여 복소수를 평면상의 점으로 표시할 수 있다. 이 때, 좌표와 복소수는 일대일대응을 이룬다. 또한, 이렇게 나타낸 점 Z(x,y)는 극좌표를 사용하여 원점에서 부터 점 Z 사이의 반지름과 각도로서도 나타낼 수 있다. 즉,

$Z(x,y)=x+yi=r\theta$

가 된다.

한편, 왼쪽의 그림과 같이 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대인 $Z=x+yi$ 와 ${\overline {Z}}=x-yi$ 를 생각할 수 있다. 이를 켤레복소수라고 한다. 켤레 복소수는 극좌표에서 반지름이 같고 x축에 대해 대칭인 점이 된다.

복소평면에서 허수의 위치를 극좌표를 사용하여 나타낼 수 있으므로, 임의의 단위 원을 그려 복소수와 삼각함수의 관계를 생각할 수 있다. 1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연로그가 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.

$\ln(\cos x+i\sin x)=ix\$

1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.

$e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x$

이를 오일러의 공식이라 한다.

수 체계

수 체계에서 허수는 복소수와 함께 다루어지는 것이 보통이다. 이를 복소수체라고 하며 $\mathbf {C}$ 로 나타낸다.

함께 보기

• 데카르트
• 허수 단위
• 복소수