수론에서 약수(約數, 영어: divisor) 또는 인수(因數, 영어: factor, 전 용어: 승자(乘子))는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 말한다. 다항식의 약수나 가환환의 원소의 약수를 정의할 수도 있다.
두 정수
,
에 대하여
를 만족하는 정수
가 존재한다면,
를
의 약수라고 하며, 이를
와 같이 표기한다.
모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그 반수를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수
에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
![{\displaystyle \pm 1\mid n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854932c877ecb016ceff03310b182cb5862602f8)
![{\displaystyle \pm n\mid n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041ba3fda3a8df5c0670ed417c027d3cd09e044d)
![{\displaystyle n\mid 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/641e577c7a7a68368b85f3893209baa2ebb98772)
![{\displaystyle 0\mid n\iff n=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc58c2c029620c8ad52a5a671c6de36f110a91e7)
정수
의 약수 가운데 1, -1,
,
을
의 자명 약수(영어: trivial divisor)라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를 고유 약수(영어: non-trivial divisor)라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를 진약수(영어: proper divisor)라고 한다.
- 12의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 약수는 음수일 수도 있으며, 12의 모든 음의 약수는 -1, -2, -3, -4, -6, -12이다. 양의 약수와 음의 약수는 항상 서로 짝을 이룬다.
- 7 ∣ 42이다. 42 = 7 × 6이기 때문이다. 이를 다음과 같이 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다.
- 7은 42의 약수/인수이다.
- 42는 7의 배수이다.
- 7은 42를 나눈다/완제한다.
- 42는 7로 나누어떨어진다.
- 6의 모든 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6이다. 그리고 고유 약수는 ±2, ±3이고 진약수는 1, 2, 3이다.
- 42의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이다.
- 0의 모든 약수는 모든 정수이다. 항상
이기 때문이다.
- 60의 모든 양의 약수의 집합
은 약수 관계에 따라 부분 순서 집합을 이루며, 다음과 같은 하세 도형을 가진다.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Lattice_of_the_divisibility_of_60%3B_factors.svg/350px-Lattice_of_the_divisibility_of_60%3B_factors.svg.png)
어떤 수의 배수는 무수히 많이 있지만, 약수의 개수는 항상 유한하다. (단 0 제외. 그 이유는 어떤 수에 0을 곱한 값은 항상 0이기 때문이다.) 약수 관계는 정수 집합 위의 원순서다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수
에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
![{\displaystyle a\mid a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c1049504b9bc21db614f47393e3d73bdfb5158)
![{\displaystyle a\mid b\mid c\implies a\mid c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31130badb3e4b6f8899bfe2f852dbef30bf3e3a)
![{\displaystyle a\mid b\mid a\iff a=\pm b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2e2b9b68d3c306dd4d88b4f237119c42234dfe)
![{\displaystyle a\mid b,c\implies a\mid (b\pm c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f98bddab566b634652853eaa9323c4fe84bb47)
2를 약수로 갖는 정수를 짝수, 그렇지 않은 정수를 홀수라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다).
두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를 최대 공약수라고 한다. 두 정수
의 최대 공약수를
라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를 서로소라고 한다. 즉 두 정수
가
을 만족시키면 서로소이다. 진약수가 1뿐인 정수를 소수라고 한다. 소수의 집합을
라고 표기하자. 이는 정수의 집합
의 부분 집합이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
이며,
이면, ![{\displaystyle a\mid c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da45e24745bd06a4f631ab66c398bee8dc765747)
- (유클리드의 보조정리)
이며
이면,
이거나 ![{\displaystyle p\mid b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02453ac7ce58add53ec2bb76d6850447174f7a1)
진약수의 합이 자기 자신인 정수를 완전수라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면 부족수라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면 과잉수라고 한다.
약수의 개수는 소인수분해의 형식으로 쉽게 알아낼 수 있다. 각 소인수가 곱해진 지수의 개수에 모두 1을 더한 후 그 수를 모두 곱한 값이다. 또한 약수가 어떤 합성수 n개인 자연수는 n의 인수 분해 형식을 이용하면 된다. 예를 들어 72의 소인수분해는 2×2×2×3×3으로, 2가 3번, 3이 2번 곱해지므로 그 지수에 1을 모두 더한 4와 3의 곱이므로 약수는 12개이다.
각 정수
에 양의 약수의 개수
을 대응시키는 함수, 양의 약수의 합
을 대응시키는 함수는 약수 함수의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.
은 곱셈적 함수이다. 즉, 모든 서로소 정수
에 대하여,
이다.
- 예를 들어,
.
- 그러나
은 완전 곱셈적 함수가 아니다. 즉, 모든 정수
에 대하여
이지는 않다. 사실, 두 정수
가 1보다 큰 공약수를 가진다면,
이다.
- 예를 들어,
.
역시 곱셈적 함수이다.
- 예를 들어,
![{\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\sigma (3)\sigma (7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a7dc3db6c96aa59909798b7314c596aaabd130)
- 정수
의 소인수 분해가
![{\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0097162347016979cadca5b9f977a5b79f4619f)
- 와 같다면,
의 모든 양의 약수의 집합은
![{\displaystyle \left\{p_{1}^{\mu _{1}}p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}|\mu _{i}\in \mathbb {Z} ,\;0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7e322ab0f3104f9e48a52aa5204f903eade690)
- 이며, 이에 따라
의 모든 양의 약수의 개수는
![{\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{n}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6a4cbf412336c1965c22d1e1aa50aeaa624ae1)
- 이다.
- 임의의 정수
에 대하여,
이다.
. 여기서
는 오일러-마스케로니 상수이다.
관련 개념[편집]
임의의 환의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수 다항식환
에서,
![{\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e47dc30df6fdfb744f25a8dfa93db5de3c7779)
이므로,
![{\displaystyle x+1\mid x^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5796097943360f008040d3c1a6ee9dace31e5f60)
이다.
같이 보기[편집]