붙임 공간

위상수학에서 붙임 공간(-空間, 영어: attaching/adjunction space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 밂이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 쌍대올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 밂을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 붙임 공간(영어: homotopy adjunction space)을 사용하여야 한다.

마찬가지로, 당김 공간(-空間, 영어: pullback space)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 당김이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 당김을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 당김 공간(영어: homotopy pullback space)을 사용하여야 한다.

정의

붙임 공간

같은 정의역을 가진 두 연속 함수

Y{\xleftarrow {g}}Z{\xrightarrow {f}}X

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 $X\sqcup Y$ 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의하자.

f(z)\succ g(z)\qquad \forall z\in Z

이는 일반적으로 대칭 관계도, 추이적 관계도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계를 $\sim$ 라고 표시하자. 즉, $x,y\in X\sqcup Y$ 에 대하여, $x\sim y$ 라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

\forall x\in X,y\in Y\colon \left(x\sim y\iff \exists x_{0},\dots ,x_{k}\in X,y_{0},\dots ,y_{k}\in Y\colon x=x_{0}\succ y_{0}\prec x_{1}\succ y_{1}\prec x_{2}\succ \cdots \succ y_{k}=y\right)

마찬가지로, $x,x'\in X$ 에 대하여 $x\sim x'$ 이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

\forall x,x'\in X\colon \left(x\sim x'\iff \exists x_{0},\dots ,x_{k}\in X,y_{1},\dots ,y_{k}\in Y\colon x=x_{0}\succ y_{1}\prec x_{1}\succ y_{2}\prec x_{2}\succ \cdots \prec x_{k}=x'\right)

마찬가지로, $y,y'\in Y$ 에 대하여 $y\sim y'$ 이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

\forall y,y'\in Y\colon \left(y\sim y'\iff \exists x_{1},\dots ,x_{k}\in X,y_{1},\dots ,y_{k}\in Y\colon y=y_{0}\prec x_{1}\succ y_{1}\prec x_{2}\succ \cdots \succ y_{k}=y'\right)

$X$ 와 $Y$ 의 $f$ 및 $g$ 를 통한 붙임 공간은 분리합집합의 다음과 같은 몫공간이다.

X\cup _{f,g}Y={\frac {X\sqcup Y}{\sim }}

이는 위상 공간의 범주의 밂을 이룬다.

붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 $Z$ 의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, $Z$ 에 $f$ 와 $g$ 에 대한 시작 위상을 부여하거나 이산 위상을 부여할 수 있다.

호모토피 붙임 공간

붙임 공간은 $f$ 나 $g$ 가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 붙임 공간을 사용하여야 한다.

연속 함수

Y{\xleftarrow {g}}Z{\xrightarrow {f}}X

가 주어졌을 때, 호모토피 붙임 또는 이중 사상 기둥(영어: double mapping cylinder)은 다음과 같다.

X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y

이 경우, 표준적인 함수

X{\overset {f}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y

Y{\overset {g}{\hookrightarrow }}X\cup _{f}Z\times [0,1]\cup _{g}Y

는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다.

당김 공간

같은 공역을 가진 두 연속 함수

Y{\xrightarrow {g}}Z{\xleftarrow {f}}X

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(영어: pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 $X\times Y$ 의 부분 공간이다.

X\times _{f,g}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}\subseteq X\times Y

이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다.

이 경우, 표준적 연속 함수

X\times _{Z}Y\to X

X\times _{Z}Y\to Y

가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다.

호모토피 당김 공간

당김 공간은 $f$ 나 $g$ 가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 당김 공간을 사용하여야 한다.

같은 공역을 가진 두 연속 함수

Y{\xrightarrow {g}}Z{\xleftarrow {f}}X

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(영어: pullback space)은 다음과 같은, 곱공간 $X\times \operatorname {path} (Z)\times Y$ 의 부분 공간이다.

\{(x,\gamma ,y)\in X\times \operatorname {path} (X)\times Y\colon \gamma (0)=f(x),\;\gamma (1)=g(y)\}

여기서 $X^{I}$ 는 (콤팩트-열린집합 위상을 부여한) 경로 공간이다.

예

사상뿔

연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\{\bullet \}\leftarrow X{\xrightarrow {f}}Y$ 에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\{\bullet \}$ 은 한원소 공간이다.)

이에 대한 붙임 공간은 $Y$ 의 몫공간 $Y/f(X)$ 이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다.

반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔로 구성된다.

\operatorname {cone} (X)\cup _{f}Y={\frac {(X\times [0,1])/(X\times \{0\})\sqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\;\forall x\in X}}

이를 사상뿔(寫像-, 영어: mapping cone)이라고 한다. 만약 $X$ 와 $Y$ 가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, 상대 호몰로지 $\operatorname {H} _{\bullet }(X,A)$ 는 보통 포함 함수 $A\hookrightarrow X$ 의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다.

특히, $X=Y$ 이며 $f=\operatorname {id} _{X}$ 일 경우, 이는 $X$ 위의 뿔(영어: cone) $\operatorname {cone} (X)=X\times [0,1]/(X\times \{0\})$ 이 된다.

사상기둥

연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X{\xleftarrow {\operatorname {id} }}X{\xrightarrow {f}}Y$ 에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\operatorname {id}$ 는 항등 함수이다.)

붙임 공간은 다음과 같은 $X\sqcup Y$ 의 몫공간이며, 이는 $Y$ 와 위상 동형이다.

X\cup _{\operatorname {id} ,f}Y={\frac {Y\sqcup X}{f(x)\sim x\;\forall x\in X}}\cong Y

호모토피 붙임 공간은 다음과 같이, $X$ 위의 기둥을 $Y$ 에 붙인 것이다.

X\times [0,1]\cup _{f\times \{1\}}Y={\frac {X\times [0,1]\sqcup Y}{f(x)\sim (x,1)\;\forall x\in X}}

이를 사상기둥(寫像-, 영어: mapping cylinder) $M_{f}$ 라고 한다.

{\begin{matrix}X&{\xrightarrow {f}}&Y\\\|&&\downarrow \\X&\to &M_{f}\end{matrix}}

이 경우, 변형 수축

M_{f}\to Y

이 존재하며, 따라서 $M_{f}$ 와 $Y$ 는 서로 호모토피 동치이다. 또한,

{\tilde {f}}\colon X\to M_{f}

는 쌍대올뭉치를 이룬다. 따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 쌍대올분해(영어: cofibrant resolution)이다.

특히, $X=Y$ 이고 $f=\operatorname {id} _{X}$ 일 경우 사상기둥은 단순히 기둥 $X\times [0,1]$ 이 된다.

이음

다음과 같은, 곱공간의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자.

X\leftarrow X\times Y\to Y

이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간

X*Y={\frac {X\times Y\times [0,1]}{(x,y,0)\sim (x,y',0),\;(x,y,1)\sim (x',y,1)\;\forall x,x'\in X,\;y,y'\in Y}}

은 $X$ 와 $Y$ 의 이음이라고 하며, 일반적으로 축약 가능 공간이 아니다.

특히, 0차원 초구 $\mathbb {S} ^{0}=\{0,1\}$ 와의 이음은 현수 $\mathbb {S} ^{0}*X=\operatorname {S} X$ 라고 한다. 마찬가지로, 한원소 공간과의 이음은 뿔 $\{\bullet \}*X=\operatorname {cone} (X)$ 을 이룬다.

사상 경로 공간

연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {\operatorname {id} }}Y$ 에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\operatorname {id}$ 는 항등 함수이다.)

당김 공간의 경우는 이는 $X\times Y$ 의 부분 공간 위상을 부여한 $f$ 의 그래프

\operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\in X\times Y\colon x\in X\}\subseteq X\times Y

이며 따라서 $X$ 와 위상 동형이다.

호모토피 당김 공간의 경우, 이는

\operatorname {cocyl} f=\{(x,\gamma )\in X\times \operatorname {path} (Y)\colon f(x)=\gamma (0)\}

를 이루며, 이를 사상 경로 공간(寫像經路空間, 영어: mapping path space) 또는 사상 쌍대기둥(영어: mapping cocylinder)이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다.

{\begin{matrix}X&\to &Y\\\downarrow &&\|\\\operatorname {cocyl} f&\to &Y\end{matrix}}

여기서 $\operatorname {cocyl} f$ 는 $X$ 와 약한 호모토피 동치이며 ${\tilde {f}}\colon \operatorname {cocyl} f\to Y$ 는 올뭉치이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해(영어: fibrant resolution)이다.

경로 공간

위상 공간 $X$ 의 두 점 $x,x'\in X$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

\{\bullet \}{\xrightarrow {x}}X{\xleftarrow {x'}}\{\bullet \}

의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다.

당김 공간은 단순히 한원소 공간이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는 $X$ 위의, $x$ 에서 $x'$ 으로 가는 경로들의 공간이다. 만약 $x=x'$ 이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군 $\pi _{1}(X,x)$ 을 이룬다.