리 군론에서 5차원 회전군(五次元回轉群, 영어: five-dimensional rotation group)은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.
단순 리 대수의 분류에서,
형을 생각하자. 이는 딘킨 도표
![{\displaystyle \bullet \Rightarrow \bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35298327e677076dd818d40597b5198187c0f79c)
에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다.
이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군
및 그 스핀 군
의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준
(5차원 로런츠 군)
![{\displaystyle \operatorname {SO} (2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef5aab0ffb45f1f97f719396cd4a75e60ca2b9a)
및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.
마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은
![{\displaystyle \operatorname {USp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (2;\mathbb {H} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {U} (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c154324ffaad2c944ad3cdf07e2d1748892ee3b)
이며, 마찬가지로 분할 형태
![{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\operatorname {Sp} (4;\mathbb {C} )\cap \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa374720333c9a536fa8081c2d91c150c216682)
가 존재한다.
이들은 다음과 같이 대응한다.
킬링 형식의 부호수 |
기호 |
직교군 기호 |
심플렉틱 군 기호 |
군의 중심 |
기본군 |
사타케 도표 |
보건 도표 |
비고
|
(0,10)
|
B₂, C₂
|
Spin(5) |
![{\displaystyle \operatorname {USp} (4)=\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09768e4ba82d5303a7c6849fe8d8528582f6031e) |
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2239e3efb1f6037d246791771d2c6b228e4e13) |
0
|
|
|
단일 연결 콤팩트 형태
|
SO(5) |
![{\displaystyle \operatorname {PUSp} (4)=\operatorname {PU} (2;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04425bb3bbb8d071c031f17f8c3cd041e5ee33d8) |
0 |
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2239e3efb1f6037d246791771d2c6b228e4e13) |
무중심 콤팩트 형태
|
(6,4)
|
B₂Ⅰ, C₂Ⅰ
|
Spin(2,3) |
![{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2da1131d94e059be654c0c3d263e244208d789) |
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2239e3efb1f6037d246791771d2c6b228e4e13) |
|
|
|
분할 형태
|
SO⁺(2,3) |
![{\displaystyle \operatorname {PSp} (4;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67dca6a242231257920bff620948d83178565009) |
0 |
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\oplus \operatorname {Cyc} (\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7c240b3b64129b23eafa814a1b758fbf3d08e7) |
무중심 분할 형태
|
(4,6)
|
B₂Ⅱ, C₂Ⅱ
|
Spin(1,4) |
![{\displaystyle \operatorname {USp} (2,2)=\operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff52c7196eb78196a2bcc08b50134881f2d7989) |
![{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2239e3efb1f6037d246791771d2c6b228e4e13) |
0
|
|
|
SO⁺(1,4) |
![{\displaystyle \operatorname {PUSp} (2,2)=\operatorname {PU} (1,1;\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c5623d8241ba8438a09c6b900a2f40f3e094d8) |
0 |
|
콤팩트 형태[편집]
Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는
또는
의 정의(定義) 표현이다.
콤팩트 형태에서,
는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉,
![{\displaystyle \{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }M=1_{2\times 2}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab36003ccb61346c61b430ad8b86cfdd25efdf4)
이다. (여기서
는 에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)
이것의 군의 중심은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {U} (2;\mathbb {H} ))=\left\{\pm 1_{2\times 2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc6c99a1200368d2a28c9156ad4084e34a06ad1)
이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다.
![{\displaystyle \operatorname {SO} (5;\mathbb {R} )\cong {\frac {\operatorname {U} (2;\mathbb {H} )}{\{\pm 1\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b675381cf6b54011a4a298147ce989b68682cd)
의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle V=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M=M^{\dagger }\}=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\{\bar {b}}&a\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {H} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9ee2f7e59b88e1326cc829ac57834025b6b972)
![{\displaystyle M\cdot v=MvM^{\dagger }\qquad (M\in \operatorname {U} (2;\mathbb {H} ),\;v\in V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ea931dd0e72846c876835629e6ed2cd78ab46a)
분할 형태[편집]
Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간의 등각군이다.
의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는
의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다.
이는 심플렉틱 군
![{\displaystyle \operatorname {Sp} (4;\mathbb {R} )=\{M\in \operatorname {GL} (4;\mathbb {R} )\colon M^{\top }JM=J\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d18fd2e04e88bf7ab81fcae6b4a0879178610e0)
![{\displaystyle J={\begin{pmatrix}0_{2\times 2}&-1_{2\times 2}\\1_{2\times 2}&0_{2\times 2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e01d28fa1723178295876e32cb1964e66ddb42f)
에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심은
에 해당한다.
로런츠 형태[편집]
이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다.
심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {U} (1,1;\mathbb {H} )=\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {H} )\colon M^{\dagger }\Omega M=\Omega \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae4993e3bf63caa2abb939f39d8be477ea6b3bc)
![{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d38cb55b10d2c148c55a4916da843a13bd0f056)
이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.
![{\displaystyle V=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-b&{\bar {a}}\end{pmatrix}}\colon a\in \mathbb {H} ,\;b\in \mathbb {R} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5303624d58825167b500a1bb7a35e59282f2a2)
![{\displaystyle M\cdot v=Mv\Omega M\Omega ^{-1}\qquad (v\in V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834ee874e50a6c31c820b3f7179642a12aebb49a)
표현론[편집]
이 리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다.
표현 |
SO(5) 해석 |
SO(5) 영 타블로 |
USp(4) 해석 |
USp(4) 영 타블로
|
4 |
스피너
|
■
|
벡터
|
□
|
5 |
벡터
|
□
|
무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)
|
□ □
|
10 |
반대칭 2-텐서 (5×4/2!)
|
□ □
|
대칭 2-텐서 (4×5/2!)
|
□□
|
14 |
무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1)
|
□□
|
4-텐서
|
□□ □□
|
16 |
라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))
|
□■
|
3-텐서
|
□□ □
|
즉,
![{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {4} =\mathbf {5} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdcf9bd7faacc20cbaeea7fddbd7031acb03df2)
![{\displaystyle \mathbf {5} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {14} \oplus \mathbf {10} \oplus \mathbf {1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c908b89f370ec8b23eec7bd32be12ab6bf0a335c)
![{\displaystyle \mathbf {4} \otimes \mathbf {5} =\mathbf {16} \oplus \mathbf {4} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6736e10b8c4abe99acd648f2e7c53ae24579d32c)
이다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Holman, Wayne J. Ⅲ (1969). “Representation Theory of SP(4) and SO(5)”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 10: 1710. doi:10.1063/1.1665018.
외부 링크[편집]