대수기하학에서 형식적 스킴(形式的scheme, 영어: formal scheme)은 스스로의 ‘무한소 근방’의 데이터를 기억하는, 스킴의 개념의 일반화이다.[1]:190–200, §Ⅱ.9
아핀 형식적 스킴[편집]
뇌터 가환환
의 아이디얼
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 완비화
![{\displaystyle {\hat {A}}=\varprojlim A/{\mathfrak {I}}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586dce2b829c83774c06ceb01b8a08b6d521349c)
을 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같은 환 준동형들이 존재한다.
![{\displaystyle 0=A/{\mathfrak {I}}^{0}\leftarrow A/{\mathfrak {I}}\leftarrow A/{\mathfrak {I}}^{2}\leftarrow \dotsb \leftarrow {\hat {A}}\leftarrow A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce04c35a8dc68c1ea7b6c5ed6bd9657a24f7a69)
이 경우, 환의 스펙트럼을 취하자.
![{\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}})\leftarrow \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{2})\leftarrow \dotsb \leftarrow \operatorname {Spec} {\hat {A}}\leftarrow \operatorname {Spec} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9848af2338701dcb55b3d046dab2385f3ba00a46)
를 제외하면, 나머지는 모두 위상 동형이다. (물론, 이들은 환 달린 공간으로서 서로 다르다.)
이 경우, 환 달린 공간
를 다음과 같이 정의하자.
- 위상 공간으로서
는 (임의의
에 대하여)
과 위상 동형이다.
의 구조층은 가환환층의 사영 극한
이다.
이 구성은
와
에 의존하는 것처럼 보이지만, 사실 이는
의 위상환 구조에만 의존한다. 즉,
와 동형인 위상환을 정의하는
을 사용하더라도 동형인 환 달린 공간을 얻는다.
일반적 형식적 스킴[편집]
형식적 스킴은 임의의 점이 아핀 형식적 스킴과 동형인 열린 근방을 갖는 환 달린 공간이다. (즉, 아핀 형식적 스킴과 형식적 스킴의 관계는 아핀 스킴과 스킴의 관계, 또는 유클리드 공간과 매끄러운 다양체의 관계와 같다.)
뇌터 위상환
은 자연스럽게 기저
![{\displaystyle \{a+{\mathfrak {I}}^{n}\colon a\in {\hat {A}},\;n\in \mathbb {N} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0578a772e95a312c3469ae080737ab1eba6413b9)
를 갖는 위상을 가져 위상환을 이룬다. 이 경우,
의 점들은
의 소 아이디얼 가운데 열린집합인 것들이다.
또한, 정의에 따라 임의의 열린집합
에 대하여,
![{\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spf} {\hat {A}}})=\varprojlim _{n\to \infty }\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {I}}^{n})})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91127a3645c0a85aeb89f81b096d45620ec35af0)
이다.
자명환[편집]
자명환
은 (이산 공간으로) 위상환을 이루며, 이 위상은 영 아이디얼
으로 정의된다. 그 형식적 스펙트럼은 공집합이다.
![{\displaystyle \operatorname {Spf} 0=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4269cb1a73393c56d228dd7c8927f22e55734b)
형식적 멱급수[편집]
뇌터 가환환
가 주어졌을 때, 다항식환
![{\displaystyle A=K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2689abab18e040781750940955bc0f347fdcc931)
의 아이디얼
![{\displaystyle {\mathfrak {I}}=(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0898b43a108161cebe2f78990517c80e260376c2)
에 대한 완비화는 형식적 멱급수환이다.
![{\displaystyle \varprojlim _{n\to \infty }K[x]/(x^{n})=K[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053e85cfa52963e26e4427957ff4bcbc08964b8b)
위상환으로서, 이는 이산 공간으로 간주한
의 가산 무한 곱집합과 위상 동형이다. 이에 대한 형식적 스펙트럼
을 취할 수 있다.
이제 추가로
가 체라고 가정하자. 그 소 아이디얼들은
이다. 이 가운데 열린집합인 것(즉, 완비화를 정의하는 아이디얼
를 부분 집합으로 포함하는 것)은
자체 밖에 없다. 즉,
는 한원소 집합이다. 그 위의 구조층의 단면 대수는 정의에 따라서
![{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}_{\operatorname {Spf} K[[x]]})=K[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cd22544a65dddb49338a1ed11d553ce5226d7b)
이다.
국소 뇌터 스킴[편집]
임의의 가환환
을 이산 공간으로 간주할 수 있다. 이는 영 아이디얼에 대한 완비화로 생각할 수 있다.
만약
가 이산 뇌터 가환환이라면, 그 형식적 스펙트럼은 스펙트럼과 (환 달린 공간으로서) 같다.
보다 일반적으로, 모든 국소 뇌터 스킴은 형식적 스킴을 이룬다.
닫힌 부분 스킴의 완비화[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 국소 뇌터 스킴
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- 아이디얼층
로 정의되는 닫힌 부분 스킴 ![{\displaystyle Y\hookrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2020d885f78fc6f81ceaf1c28234c1e4880cbba6)
그렇다면,
의 위상 공간 위에 다음과 같은 가환환층을 부여할 수 있다.[1]:192, §Ⅱ.9
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\hat {Y}}=\varprojlim _{n\to \infty }{\mathcal {O}}_{X}/{\mathfrak {I}}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450c6601cdee5ef676a99441126af237090a8357)
그렇다면
는 형식적 스킴을 이룬다. 이를
의
근처의 형식적 완비화(영어: formal completion of
along
)라고 한다.
물론, 이 경우
(즉,
)로 놓으면, 원래 스킴
를 얻는다.[1]:Example 9.3.3
오스카 자리스키가 1949년에 “형식적 정칙 함수”의 개념을 도입하였다.[2][3] (이는 오늘날 형식적 완비화의 구조층의 단면에 해당한다.) 이후 자리스키의 개념을 알렉산더 그로텐디크가 스킴의 언어로 재정의하여 형식적 스킴의 개념을 정의하였다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]