벡터 공간의 몫공간에 대해서는
몫 벡터 공간 문서를 참고하십시오.
일반위상수학 에서, 몫공간 (-空間, 영어 : quotient space )은 어떤 위상 공간 의 몫집합 위에 표준적으로 존재하는 위상 공간 이다.
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집합을위한 수학이며 다른사용자에게 쉽게 알수없는 예를들어 [-]^-1~ 이러한 표현은 어디가서도 이해할수없는 외계언어입니다.)
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정의
몫위상
위상 공간
X
{\displaystyle X}
및 그 위의 동치 관계
∼
⊆
X
2
{\displaystyle {\sim }\subseteq X^{2}}
가 주어졌을 때, 몫집합
X
/
∼
{\displaystyle X/{\mathord {\sim }}}
위의 몫위상 (-位相, 영어 : quotient topology )은 다음 두 가지 방법을 통해 정의할 수 있으며, 이렇게 정의한 두 위상은 서로 같다.[1] :139
(열린집합을 통한 정의) 부분 집합
U
⊆
X
/
∼
{\displaystyle U\subseteq X/{\mathord {\sim }}}
이 열린집합 일 필요충분조건 은
[
−
]
∼
−
1
(
U
)
⊆
X
{\displaystyle [-]_{\sim }^{-1}(U)\subseteq X}
가
X
{\displaystyle X}
의 열린집합 인 것이다. (여기서
[
−
]
∼
−
1
(
U
)
=
{
x
∈
X
:
[
x
]
∼
∈
U
}
{\displaystyle \textstyle [-]_{\sim }^{-1}(U)=\{x\in X\colon [x]_{\sim }\in U\}}
는
U
{\displaystyle U}
의 표준 사영
X
→
X
/
∼
{\displaystyle X\to X/{\mathord {\sim }}}
에 대한 원상 이다.)
(닫힌집합을 통한 정의) 부분 집합
F
⊆
X
/
∼
{\displaystyle F\subseteq X/{\mathord {\sim }}}
이 닫힌집합 일 필요충분조건 은
[
−
]
∼
−
1
(
F
)
⊆
X
{\displaystyle [-]_{\sim }^{-1}(F)\subseteq X}
가
X
{\displaystyle X}
의 닫힌집합 인 것이다.
이 위상은 표준 사영
X
→
X
/
∼
{\displaystyle X\to X/{\mathord {\sim }}}
을 연속 함수 로 만드는 가장 섬세한 위상 이다. 또한, 이는 임의의 위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
및 함수
f
:
X
/
∼
→
Y
{\displaystyle f\colon X/{\mathord {\sim }}\to Y}
에 대하여 다음 두 조건을 동치로 만드는, 유일한
X
/
∼
{\displaystyle X/{\mathord {\sim }}}
위의 위상이다.
f
{\displaystyle f}
는 연속 함수 이다.
f
∘
[
−
]
∼
:
X
→
Y
{\displaystyle f\circ [-]_{\sim }\colon X\to Y}
는 연속 함수 이다.
몫사상
두 위상 공간
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
사이의 전사 함수
q
:
X
→
Y
{\displaystyle q\colon X\to Y}
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는
q
{\displaystyle q}
를 몫사상 (-寫像, 영어 : quotient map )이라고 한다.[1] :137
f
{\displaystyle f}
는 연속 함수 이며, 만약
U
⊆
Y
{\displaystyle U\subseteq Y}
가 부분 집합 이며
q
−
1
(
U
)
⊆
X
{\displaystyle q^{-1}(U)\subseteq X}
가 열린집합 이라면,
U
⊆
Y
{\displaystyle U\subseteq Y}
역시 열린집합 이다.
f
{\displaystyle f}
는 연속 함수 이며, 만약
F
⊆
Y
{\displaystyle F\subseteq Y}
가 부분 집합 이며
q
−
1
(
F
)
⊆
X
{\displaystyle q^{-1}(F)\subseteq X}
가 닫힌집합 이라면,
F
⊆
Y
{\displaystyle F\subseteq Y}
역시 닫힌집합 이다.
임의의 위상 공간
Z
{\displaystyle Z}
및 함수
f
:
Y
→
Z
{\displaystyle f\colon Y\to Z}
에 대하여,
f
{\displaystyle f}
가 연속 함수 인 것과
f
∘
q
:
X
→
Z
{\displaystyle f\circ q\colon X\to Z}
가 연속 함수인 것은 동치 이다.
몫위상과 몫사상의 개념은 서로 동치이다. 구체적으로, 몫공간
X
/
∼
{\displaystyle X/{\mathord {\sim }}}
에 대하여, 표준 사영
X
→
X
/
∼
{\displaystyle X\to X/{\mathord {\sim }}}
은 몫사상이다. 반대로, 몫사상
q
:
X
→
Y
{\displaystyle q\colon X\to Y}
가 주어졌을 때,
X
{\displaystyle X}
위에 다음과 같은 동치 관계
∼
q
{\displaystyle {\stackrel {q}{\sim }}}
을 정의하자.
x
∼
q
x
′
⟺
q
(
x
)
=
q
(
x
′
)
∀
x
,
x
′
∈
X
{\displaystyle x{\stackrel {q}{\sim }}x'\iff q(x)=q(x')\qquad \forall x,x'\in X}
그렇다면
Y
{\displaystyle Y}
는 몫공간
X
/
∼
q
{\displaystyle X/{\mathord {\stackrel {q}{\sim }}}}
과 위상 동형 이다.
성질
함의 관계
모든 몫사상은 전사 연속 함수 이며, 모든 열린 전사 연속 함수와 닫힌 전사 연속 함수는 몫사상이다. 몫사상이 단사 함수 일 필요충분조건은 위상 동형 사상 이다. 콤팩트 공간
X
{\displaystyle X}
에서 하우스도르프 공간
Y
{\displaystyle Y}
로 가는 함수
X
→
Y
{\displaystyle X\to Y}
의 경우, 전사 연속 함수, 몫사상, 닫힌 전사 연속 함수의 개념이 서로 동치 이다. (이는 모든 연속 함수
X
→
Y
{\displaystyle X\to Y}
가 닫힌 함수 이기 때문이다.)
연산에 대한 닫힘
두 몫사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
와
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
의 합성
g
∘
f
:
X
→
Z
{\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}
는 몫사상이다. 반대로, 만약
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
와
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
가 연속 함수 이며
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
가 몫사상이라면,
f
{\displaystyle f}
역시 몫사상이다.
몫사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
및 연속 함수
h
:
X
→
Z
{\displaystyle h\colon X\to Z}
에 대하여, 만약
x
,
x
′
∈
X
{\displaystyle x,x'\in X}
,
f
(
x
)
=
f
(
x
′
)
{\displaystyle f(x)=f(x')}
가 항상
h
(
x
)
=
h
(
x
′
)
{\displaystyle h(x)=h(x')}
을 함의한다면,
f
{\displaystyle f}
와
h
{\displaystyle h}
를 통해 유일하게 정의되는 함수
h
~
:
Y
→
Z
{\displaystyle {\widetilde {h}}\colon Y\to Z}
h
~
∘
f
=
h
{\displaystyle {\widetilde {h}}\circ f=h}
는 연속 함수이다.[1] :142
몫사상
q
:
X
→
Y
{\displaystyle q\colon X\to Y}
및 부분 집합
A
⊆
Y
{\displaystyle A\subseteq Y}
에 대하여, 만약 다음 네 조건 가운데 하나가 성립한다면, 제한
q
↾
(
q
−
1
(
A
)
,
A
)
:
q
−
1
(
A
)
→
A
{\displaystyle q\upharpoonright (q^{-1}(A),A)\colon q^{-1}(A)\to A}
는 몫사상이다.[1] :140
A
⊆
Y
{\displaystyle A\subseteq Y}
는 열린집합 이다.
A
⊆
Y
{\displaystyle A\subseteq Y}
는 닫힌집합 이다.
q
{\displaystyle q}
는 열린 함수 이다.
q
{\displaystyle q}
는 닫힌 함수 이다.
반대로, 만약
q
:
X
→
Y
{\displaystyle q\colon X\to Y}
가 전사 연속 함수이며, 임의의
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
가
q
↾
(
q
−
1
(
N
)
,
N
)
{\displaystyle q\upharpoonright (q^{-1}(N),N)}
을 몫사상으로 만드는 근방
N
∋
y
{\displaystyle N\ni y}
를 갖는다면,
q
{\displaystyle q}
는 몫사상이다.
몫사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
,
f
′
:
X
′
→
Y
′
{\displaystyle f'\colon X'\to Y'}
에 대하여, 자연스럽게 정의되는 함수
f
×
f
′
:
X
×
X
′
→
Y
×
Y
′
{\displaystyle f\times f'\colon X\times X'\to Y\times Y'}
f
×
f
′
:
(
x
,
x
′
)
↦
(
f
(
x
)
,
f
′
(
x
′
)
)
{\displaystyle f\times f'\colon (x,x')\mapsto (f(x),f'(x'))}
를 생각하자. 이는 전사 연속 함수이지만, (정의역과 공역의 곱위상 에 대하여) 몫사상이 아닐 수 있다. 그러나 임의의 몫사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
및 국소 콤팩트 공간
Z
{\displaystyle Z}
에 대하여,
f
×
id
Z
:
X
×
Z
→
Y
×
Z
{\displaystyle f\times \operatorname {id} _{Z}\colon X\times Z\to Y\times Z}
는 (곱위상 에 대하여) 몫사상이다. 또한, 임의의 콤팩트 생성 공간
X
{\displaystyle X}
,
Z
{\displaystyle Z}
및 몫사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
에 대하여,
k
(
f
×
id
Z
)
:
k
(
X
×
Z
)
→
k
(
Y
×
Z
)
{\displaystyle k(f\times \operatorname {id} _{Z})\colon k(X\times Z)\to k(Y\times Z)}
는 (콤팩트 생성 곱위상 에 대하여) 몫사상이다.[2] :192, Corollary 5.9.10
끝 위상과의 관계
몫위상은 표준 사영에 대한 끝 위상 이다. 반대로, 위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
가 위상 공간들의 집합
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
및 함수들의 집합
(
f
i
:
X
i
→
Y
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X_{i}\to Y)_{i\in I}}
에 대한 끝 위상 을 갖는다고 하자. 이는 위상합
X
=
⨆
i
∈
I
X
i
{\displaystyle X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}}
위에 자연스럽게 유도되는 하나의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
에 대한 끝 위상 과 같다. 이 경우,
f
↾
(
X
,
f
(
X
)
)
:
X
→
f
(
X
)
{\displaystyle f\upharpoonright (X,f(X))\colon X\to f(X)}
는 몫사상이다. 따라서
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
는 열린닫힌집합 이며,
X
{\displaystyle X}
의 몫공간과 위상 동형이다. 또한
Y
∖
f
(
X
)
{\displaystyle Y\setminus f(X)}
은 이산 공간 이다. 즉,
Y
{\displaystyle Y}
는
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
의 위상합 의 몫공간과 이산 공간 의 위상합이다.
예
다각형의 몫공간
직사각형 의 한 쌍의 대변을 직사각형의 둘레를 따라 회전하는 방향을 기준으로 반대 방향을 따라 붙여 몫공간을 취하면 원기둥 을 얻으며, 같은 방향을 따라 붙이면 뫼비우스의 띠 를 얻는다.
그림1
그림2
몫공간
원기둥
D
¯
2
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{2}\times [0,1]}
뫼비우스의 띠
M
{\displaystyle \operatorname {M} }
만약 어떤 위상 공간 이 변의 수가 짝수인 다각형의 변을 둘씩 짝을 지어 붙여 만든 몫공간과 위상 동형 이라면, 이 다각형과 동치 관계 의 순서쌍을 위상 공간의 다각형 표시 (多角形表示, 영어 : polygonal presentation )이라고 한다. 변의 수가
2
n
{\displaystyle 2n}
인 다각형 표현은 길이
2
n
{\displaystyle 2n}
의 문자열
α
∈
{
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
,
a
1
−
1
,
a
2
−
2
,
…
,
a
n
−
1
}
2
n
{\displaystyle \alpha \in \{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},a_{1}^{-1},a_{2}^{-2},\dots ,a_{n}^{-1}\}^{2n}}
로 나타낼 수 있다. 각
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}
에 대하여,
α
{\displaystyle \alpha }
속에는
a
i
{\displaystyle a_{i}}
가 정확히 두 번 등장하거나
a
i
{\displaystyle a_{i}}
와
a
i
−
1
{\displaystyle a_{i}^{-1}}
가 정확히 한 번씩 등장해야 한다. 만약
α
i
=
α
j
{\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{j}}
라면, 다각형의
i
{\displaystyle i}
번째 변과
j
{\displaystyle j}
번째 변을 같은 방향으로 붙인다. 만약
α
j
=
α
i
−
1
{\displaystyle \alpha _{j}=\alpha _{i}^{-1}}
라면,
i
{\displaystyle i}
번째 변과
j
{\displaystyle j}
번째 변을 반대 방향으로 붙인다.
다각형 표시 그림
다각형 표시
몫공간 그림
몫공간
a
b
b
−
1
a
−
1
{\displaystyle abb^{-1}a^{-1}}
구
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
a
b
a
b
{\displaystyle abab}
실수 사영 평면
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}
a
b
a
b
−
1
{\displaystyle abab^{-1}}
클라인 병
R
P
2
#
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\#\mathbb {RP} ^{2}}
a
b
a
−
1
b
−
1
{\displaystyle aba^{-1}b^{-1}}
원환면
T
2
=
S
1
×
S
1
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}
부분 집합을 한 점으로 합친 공간
위상 공간
X
{\displaystyle X}
의 부분 집합
A
{\displaystyle A}
을 한 점으로 합쳐 만든 몫공간은
X
/
A
{\displaystyle X/A}
로 표기한다.
하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
및 콤팩트 집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
에 대하여,
X
/
A
{\displaystyle X/A}
는 항상 하우스도르프 공간이다.
예를 들어,
[
0
,
1
]
/
{
0
,
1
}
≅
S
1
{\displaystyle [0,1]/\{0,1\}\cong \mathbb {S} ^{1}}
D
¯
2
/
S
1
≅
S
2
{\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{2}/\mathbb {S} ^{1}\cong \mathbb {S} ^{2}}
이다. 여기서
D
¯
n
{\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{n}}
은
n
{\displaystyle n}
차원 유클리드 공간 의 닫힌 공 이며,
S
n
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}
은
n
{\displaystyle n}
차원 초구 이다.
뿔
위상 공간
X
{\displaystyle X}
위의 뿔 은 다음과 같다.
cone
(
X
)
=
(
X
×
[
0
,
1
]
)
/
(
X
×
{
0
}
)
{\displaystyle \operatorname {cone} (X)=(X\times [0,1])/(X\times \{0\})}
하우스도르프 공간 위의 뿔은 하우스도르프 공간이다.
유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
의 콤팩트 집합
X
{\displaystyle X}
위의 뿔은 다음과 같은 공간과 위상 동형 이다.
cone
(
X
)
≅
{
(
1
−
t
)
a
+
t
x
:
x
∈
X
,
t
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle \operatorname {cone} (X)\cong \{(1-t)a+tx\colon x\in X,\;t\in [0,1]\}}
a
∈
R
n
+
1
∖
R
n
{\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \mathbb {R} ^{n}}
임의의 연속 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
f
{\displaystyle f}
는 널호모토픽 하다.
f
{\displaystyle f}
의 연속 확장
cone
(
X
)
→
Y
{\displaystyle \operatorname {cone} (X)\to Y}
이 존재한다.
붙임 공간
두 위상 공간
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
및 부분 집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
및 연속 함수
f
:
A
→
Y
{\displaystyle f\colon A\to Y}
가 주어졌다고 하자. 위상합
X
⊔
Y
{\displaystyle X\sqcup Y}
위에 다음과 같은 동치 관계 를 정의하자.
x
∼
f
(
x
)
∀
x
∈
A
{\displaystyle x\sim f(x)\qquad \forall x\in A}
그렇다면,
f
{\displaystyle f}
의 붙임 공간 은 다음과 같은 몫공간이다.
Y
∪
f
X
=
(
X
⊔
Y
)
/
∼
{\displaystyle Y\cup _{f}X=(X\sqcup Y)/\sim }
예를 들어,
D
¯
2
∪
ι
S
1
D
¯
2
≅
S
2
{\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}^{2}\cup _{\iota _{\mathbb {S} ^{1}}}{\bar {\mathbb {D} }}^{2}\cong \mathbb {S} ^{2}}
M
∪
ι
∂
M
M
≅
R
P
2
#
R
P
2
{\displaystyle \operatorname {M} \cup _{\iota _{\partial {\operatorname {M} }}}\operatorname {M} \cong \mathbb {RP} ^{2}\#\mathbb {RP} ^{2}}
M
∪
f
D
¯
2
≅
R
P
2
{\displaystyle M\cup _{f}{\bar {\mathbb {D} }}^{2}\cong \mathbb {RP} ^{2}}
이다. 여기서
ι
S
1
:
S
1
→
D
¯
2
{\displaystyle \iota _{\mathbb {S} ^{1}}\colon \mathbb {S} ^{1}\to {\bar {\mathbb {D} }}^{2}}
와
ι
∂
M
:
∂
M
→
M
{\displaystyle \iota _{\partial {\operatorname {M} }}\colon \partial {\operatorname {M} }\to \operatorname {M} }
은 포함 함수이며,
f
:
∂
D
¯
2
→
∂
M
{\displaystyle f\colon \partial {\bar {\mathbb {D} }}^{2}\to \partial {\operatorname {M} }}
는 두 경계 사이의 위상동형사상 이다.
열린 함수나 닫힌 함수가 아닌 몫사상
몫공간
R
/
(
0
,
1
]
{\displaystyle \mathbb {R} /(0,1]}
으로의 표준 사영
p
:
R
→
R
/
(
0
,
1
]
{\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} /(0,1]}
은 몫사상이지만, 열린 함수 가 아니며 닫힌 함수 도 아니다. 예를 들어,
(
−
∞
,
1
)
⊆
R
{\displaystyle (-\infty ,1)\subseteq \mathbb {R} }
는 열린집합 이지만,
p
(
(
−
∞
,
1
)
)
⊆
R
/
(
0
,
1
]
{\displaystyle p((-\infty ,1))\subseteq \mathbb {R} /(0,1]}
은 열린집합이 아니다. 이는
p
−
1
(
p
(
(
−
∞
,
1
)
)
)
=
(
−
∞
,
1
]
⊆
R
{\displaystyle p^{-1}(p((-\infty ,1)))=(-\infty ,1]\subseteq \mathbb {R} }
가 열린집합이 아니기 때문이다. 또한
[
1
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle [1,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
는 닫힌집합 이지만,
p
(
[
1
,
∞
)
)
⊆
R
/
(
0
,
1
]
{\displaystyle p([1,\infty ))\subseteq \mathbb {R} /(0,1]}
은 닫힌집합이 아니다. 이는
p
−
1
(
p
(
[
1
,
∞
)
)
)
=
(
0
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle p^{-1}(p([1,\infty )))=(0,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
가 닫힌집합이 아니기 때문이다.
곱이 몫사상이 아닌 두 몫사상
몫공간
Q
/
Z
{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }
로의 표준 사영
Q
→
Q
/
Z
{\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }
과 항등 함수
Q
→
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} }
의 곱
f
:
Q
×
Q
→
Q
/
Z
×
Q
{\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times \mathbb {Q} }
는 (곱위상 에 대하여) 몫사상이 아니다. 예를 들어, 임의의
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
에 대하여
r
n
=
2
/
(
|
n
|
+
1
)
{\displaystyle r_{n}={\sqrt {2}}/(|n|+1)}
이라고 하자. 또한
A
n
⊆
[
n
,
n
+
1
]
×
R
{\displaystyle A_{n}\subseteq [n,n+1]\times \mathbb {R} }
가
(
n
,
r
n
)
{\displaystyle (n,r_{n})}
,
(
n
+
1
/
2
,
r
n
)
{\displaystyle (n+1/2,r_{n})}
,
(
n
+
1
,
r
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1,r_{n+1})}
을 꼭짓점으로 하는 열린 삼각형 영역이라고 하고,
B
=
(
Q
×
Q
)
∩
cl
R
2
⋃
n
∈
Z
A
n
{\displaystyle B=(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cap \operatorname {cl} _{\mathbb {R} ^{2}}\bigcup _{n\in \mathbb {Z} }A_{n}}
라고 하자. 그렇다면,
f
−
1
(
f
(
B
)
)
=
B
⊆
Q
×
Q
{\displaystyle f^{-1}(f(B))=B\subseteq \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} }
는 닫힌집합이지만,
f
(
B
)
⊆
Q
/
Z
×
Q
{\displaystyle f(B)\subseteq \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times \mathbb {Q} }
는 닫힌집합이 아니다. 이는
f
(
(
0
,
0
)
)
∈
cl
Q
/
Z
×
Q
f
(
B
)
∖
f
(
B
)
{\displaystyle f((0,0))\in \operatorname {cl} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \times \mathbb {Q} }f(B)\setminus f(B)}
이기 때문이다.
참고 문헌
외부 링크