케일리 변환

기하학에서 케일리 변환(Cayley變換, 영어: Cayley transform)은 환 위의 사영 직선의 특별한 자기 동형이다. 행렬의 경우, 이는 반대칭 행렬과 직교 행렬 사이의 대응을 정의하며, 복소수체의 경우, 이는 허수축과 단위 원 사이의 대응을 정의한다.

정의

2가 가역원인 환 $R\ni 2^{-1}$ 위의 사영 직선

$\mathbb {P} _{R}^{1}=R^{2}/\sim$

$[x,y]\sim [ax,ay]\qquad \forall x,y,a\in R$

을 생각하자. 그 위의 케일리 변환은 다음과 같다.

$f\colon [x,y]\mapsto [y-x,x+y]$

이는 멱등 함수이다.

$f\circ f=1$

따라서, 이는 $R$-사영 직선 위의 전단사 함수를 정의한다.

보다 일반적으로, 임의의 가역원 $u\in \operatorname {Unit} (R)$에 대하여,

$f_{u}\colon [x,y]\mapsto [yu-x,yu+x]$

를 정의할 수 있다. 그 역사상은 다음과 같다.

$f_{u}^{-1}\colon [x,y]\mapsto [y-x,(x+y)u^{-1}]$

성질

복소수

케일리 변환

$f\colon z\mapsto {\frac {1-z}{1+z}}$

은 리만 구 $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ 위의 뫼비우스 변환을 이룬다. 이는 다음과 같은 성질을 갖는다.

z=f(f(z))	f(z)
0	1
i	−i
∞	−1
$\mathbb {i} \mathbb {R} \cup \{\infty \}$	U(1)
$\mathbb {R} \cup \{\infty \}$	$\mathbb {R} \cup \{\infty \}$
$\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} z\geq 0\}\cup \{\infty \}$	$\{z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq 1\}$
$\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} z\leq 0\}\cup \{\infty \}$	$\{z\in \mathbb {C} \colon |z|\geq 1\}\cup \{\infty \}$

즉, 이는 허수축과 단위원을 뒤바꾸며, 실수축을 고정시킨다. 또한, 음이 아닌 실수 성분을 가진 반평면은 닫힌 원판에 대응된다.

행렬

$n\times n$ 실수 정사각 행렬의 환 $\operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )$ 위의 케일리 변환을 생각하자.

$f\colon \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )\setminus X\to \operatorname {Mat} (n;\mathbb {R} )$

$M\mapsto (1-M)(1+M)^{-1}=(1+M)^{-1}(1-M)$

여기서 $X$는 $1+M$이 가역 행렬이 아니게 되는 행렬들의 부분 집합이다.

이 변환에서, 만약 $M\in {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )$이 반대칭 행렬이라면 ($M^{\top }=-M$), $1+M$은 항상 가역 행렬이며,

$f(M)^{\top }=(1-M)(1+M)^{-1}=(1-M)^{-1}(1+M)$

이므로

$f(M)^{\top }f(M)=f(M)f(M)^{\top }=1$

이 된다. 즉, $f(M)\in \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )$이며, 특히 $\det f(M)\in \{\pm 1\}$이다. 그런데

$\det \circ (f\upharpoonright {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} ))\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )\setminus X\to \{\pm 1\}$

은 연속 함수이며, 그 정의역 ${\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )$은 연결 공간이다. 따라서 이는 상수 함수이며, 그 값은 $\det f(0)=1$이다. 즉, 케일리 변환은 매끄러운 함수

$f\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$

$f\colon 0\mapsto 1$

를 정의한다. (물론, 이는 전사 함수가 아니다. ${\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )$는 축약 가능 공간이지만 $\operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )$는 축약 가능 공간이 아니기 때문이다.)

마찬가지로, 복소수 정사각 행렬의 환

$\operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )$

위의 케일리 변환을 생각하자. 이를 제한하면 마찬가지로 매끄러운 함수

$(f_{1}\upharpoonright {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} ))\colon {\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )$

$(f_{1}\upharpoonright {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} ))\colon {\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} )\to \operatorname {U} (n;\mathbb {C} )$

를 정의할 수 있다. 여기서

• ${\mathfrak {o}}(n;\mathbb {C} )$는 복소수 반대칭 행렬의 복소수 리 대수이다.
• ${\mathfrak {u}}(n;\mathbb {C} )$는 복소수 반에르미트 행렬의 실수 리 대수이다.
• $\operatorname {SO} (n;\mathbb {C} )$는 행렬식이 1인 복소수 직교 행렬로 구성된 리 군이다.
• $\operatorname {U} (n;\mathbb {C} )$는 유니터리 군이다.

사원수

사원수 대수 $\mathbb {H}$ 위의 케일리 변환

$f\colon \mathbb {H} \cup \{\infty \}\to \mathbb {H} \cup \{\infty \}$

$f\colon q\mapsto {\frac {1-q}{1+q}}$

을 생각하자. ($1-q$와 $1+q$는 서로 가환하므로 나눗셈을 왼쪽에서 취하든, 오른쪽에서 취하든 상관이 없다.) 이는 순허수 성분 사원수로 구성된 3차원 유클리드 공간의 알렉산드로프 콤팩트화

$(\mathrm {i} \mathbb {R} +\mathrm {j} \mathbb {R} +\mathrm {k} \mathbb {R} )\cup \{\infty \}$

를 절댓값이 1인 사원수로 구성된 3차원 초구

$\mathbb {S} ^{3}=\{q\in \mathbb {H} \colon |q|=1\}$

에 대응시킨다. 이는 리 대수 ${\mathfrak {su}}(2)$(의 알렉산드로프 콤팩트화)와 리 군 SU(2) 사이의 사상으로 여길 수 있다. (이는 리 대응과 다른 사상이다.)

역사

아서 케일리가 반대칭 행렬에 대하여 1846년에 최초로 도입하였다.

외부 링크

• “Cayley transform”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.