모멘트 (물리학)

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모멘트(moment) 또는 능률(能率)은 거리와 힘 또는 전하와 같은 물리량의 곱을 포함하는 수학적 표현이다. 모멘트는 일반적으로 고정된 기준점을 기준으로 정의되며, 그 기준점으로부터 떨어진 거리에 위치한 물리량을 나타낸다. 예를 들어, 흔히 돌림힘(토크)이라고 불리는 힘의 모멘트는 물체에 작용하는 힘과 기준점에서 물체까지의 거리의 곱이다. 원칙적으로 모든 물리량은 거리를 곱하여 모멘트를 만들어낼 수 있다. 흔히 사용되는 물리량으로는 힘, 질량, 전하 분포 등이 있으며, 예시 목록은 뒤에서 다룬다.

상세

가장 기본적인 형태에서 모멘트는 점까지의 거리를 거듭제곱한 값과 해당 지점의 물리량(힘이나 전하 등)의 곱이다.

$\mu _{n}=r^{n}\,Q,$

여기서 $Q$는 한 점에 작용하는 힘, 점전하, 점질량 등과 같은 물리량이다. 만약 물리량이 단일 점에 집중되어 있지 않다면, 모멘트는 공간에 대한 해당 물리량 밀도의 적분이다.

$\mu _{n}=\int r^{n}\rho (r)\,dr$

여기서 $\rho$는 전하, 질량 또는 고려하는 물리량의 밀도 분포이다.

더 복잡한 형태는 거리와 물리량 사이의 각도 관계를 고려하지만, 위의 방정식들은 모멘트의 본질적인 특징, 즉 기반이 되는 $r^{n}\rho (r)$ 또는 그에 상응하는 항의 존재를 잘 보여준다. 이는 여러 개의 모멘트(n의 각 값마다 하나씩)가 존재하며, 일반적으로 모멘트는 거리 $r$을 측정하는 기준점에 의존한다는 것을 의미한다. 다만 특정 모멘트(기술적으로 계산 값이 0이 아닌 가장 낮은 차수의 모멘트)의 경우 이러한 의존성이 사라져 기준점과 무관해지기도 한다.

n의 각 값은 서로 다른 모멘트에 대응한다. 1차 모멘트는 n=1, 2차 모멘트는 n=2에 대응하는 식이다. 0차 모멘트(n=0)는 때때로 단극 모멘트라고 불리며, 1차 모멘트(n=1)는 쌍극자 모멘트, 2차 모멘트(n=2)는 4중극자 모멘트라고 불리는데, 이는 특히 전하 분포의 맥락에서 자주 쓰인다.

예시

• 힘의 모멘트, 즉 돌림힘은 1차 모멘트이다: $\mathbf {\tau } =rF$, 또는 더 일반적으로 $\mathbf {r} \times \mathbf {F}$.
• 마찬가지로, 각운동량은 운동량의 1차 모멘트이다: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$. 운동량 자체는 모멘트가 아니다.
• 전기 쌍극자 모멘트 또한 1차 모멘트이다: 두 개의 반대 부호인 점전하에 대해 $\mathbf {p} =q\,\mathbf {d}$ 또는 전하 밀도 $\rho (\mathbf {r} )$를 가진 분포된 전하에 대해 ${\textstyle \int \mathbf {r} \,\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$로 나타낸다.

질량의 모멘트:

• 총 질량은 질량의 0차 모멘트이다.
• 질량 중심은 총 질량으로 정규화된 질량의 1차 모멘트이다: 점질량들의 집합에 대해 ${\textstyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$, 또는 질량 분포 $\rho (\mathbf {r} )$를 가진 물체에 대해 ${\textstyle {\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$로 나타낸다.
• 관성 모멘트는 질량의 2차 모멘트이다: 점질량에 대해 $I=r^{2}m$, 점질량들의 집합에 대해 ${\textstyle \sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$, 질량 분포 $\rho (\mathbf {r} )$를 가진 물체에 대해 ${\textstyle \int r^{2}\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$로 나타낸다. 질량 중심이 기준점으로 선택되는 경우가 많으나(항상 그런 것은 아니다), 주로 질량 중심을 기준으로 한다.

다중극 모멘트

유한하고 특정 영역에 국한된 밀도 함수를 가정할 때, 그 영역 밖에서의 1/r 스칼라 퍼텐셜은 구면 조화 함수의 급수로 표현될 수 있다.

$\Phi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,d^{3}r'=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)q_{\ell m}\,{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}$

계수 $q_{\ell m}$는 다중극 모멘트라고 불리며 다음과 같은 형태를 취한다.

$q_{\ell m}=\int (r')^{\ell }\,\rho (\mathbf {r'} )\,Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,d^{3}r'$

여기서 구면 좌표계 $\left(r',\varphi ',\theta '\right)$로 표현된 $\mathbf {r} '$는 적분 변수이다. 더 자세한 내용은 다중극 전개나 구면 조화 함수를 설명하는 문서에서 찾을 수 있다. (위 방정식의 규약은 잭슨의 저서에서 가져온 것이다. 참고된 문서들에서 사용된 규약은 약간 다를 수 있다.)

$\rho$가 전하 밀도를 나타낼 때, $q_{lm}$은 일종의 전하 모멘트의 투영이다. $q_{00}$는 단극 모멘트, $q_{1m}$은 쌍극자 모멘트의 투영, $q_{2m}$은 4중극자 모멘트의 투영 등이다.

다중극 모멘트의 응용

다중극 전개는 1/r 스칼라 퍼텐셜에 적용되며, 그 예로 전위와 중력 퍼텐셜이 있다. 이러한 퍼텐셜의 경우, 처음 몇 개의 모멘트를 계산함으로써 국소적인 전하(또는 질량) 분포에 의해 생성되는 장의 세기를 근사하는 데 사용할 수 있다. 충분히 먼 거리 r에 대해서는 단극 모멘트와 쌍극자 모멘트만으로도 합리적인 근사가 가능하다. 더 높은 차수의 모멘트를 계산함으로써 더 높은 정확도를 얻을 수 있다. 이 기법을 확장하여 상호작용 에너지와 분자 간 힘을 계산할 수 있다.

이 기법은 알 수 없는 분포 $\rho$의 특성을 결정하는 데에도 사용될 수 있다. 다중극 모멘트와 관련된 측정값을 취하여 근원적인 분포의 특성을 추론하는 데 사용한다. 이 기법은 분자와 같은 작은 물체에 적용될 뿐만 아니라, 우주 그 자체에도 적용되었다. 예를 들어 플랑크 및 WMAP 실험이 우주 마이크로파 배경 복사를 분석하기 위해 사용하는 기법이기도 하다.

역사

평형 상태의 지레

고대 그리스에서 유래한 것으로 여겨지는 저작들에서 모멘트의 개념은 ῥοπή(rhopḗ, 직역: "기울기")라는 단어와 ἰσόρροπα(isorropa, 직역: "같은 기울기의")와 같은 합성어들로 암시된다. 이 저작들의 맥락은 지레와 관련된 역학 및 기하학이다. 특히 아르키메데스의 저작으로 알려진 현존하는 문헌들에서는 다음과 같은 표현으로 모멘트가 강조된다.

"통약 가능한 크기들(σύμμετρα μεγέθεα) [A와 B]는 [중심 Γ까지의 거리, 즉 ΑΓ와 ΓΒ가] 무게(βάρεσιν)에 반비례한다면 균형을 이룬다(ἰσορροπέοντι)."

게다가 기계적 정리에 관하여와 같은 현존하는 텍스트에서 모멘트는 질량 중심, 면적, 기하학적 도형의 부피를 추론하는 데 사용된다.

1269년, 빌렘 판 메르베케는 아르키메데스와 에우토키우스의 다양한 저작들을 라틴어로 번역했다. 용어 ῥοπή는 ropen으로 음역되었다.

1450년경, 야코부스 크레모넨시스는 비슷한 텍스트에서 ῥοπή를 라틴어 용어인 momentum(직역: "움직임")으로 번역했다. 이 용어는 조르조 발라의 1501년 번역본에서도 유지되었으며, 이후 프란체스코 마우롤리코, 페데리코 코만디노, 귀도발도 델 몬테, 아드리안 판 로먼, 플로랑 리보, 프란체스코 부오나미치, 마랭 메르센, 그리고 갈릴레오 갈릴레이에 의해 사용되었다. 그렇다면 왜 번역어로 momentum이 선택되었을까? 트레카니에 따르면, 초기 번역가들이 살던 중세 이탈리아에서 'momento'는 전이된 의미로 "시간의 순간"과 "무게의 순간"(저울을 움직이는 작은 무게)을 모두 뜻했다는 점이 하나의 단서가 된다.

1554년, 프란체스코 마우롤리코는 저서 *Prologi sive sermones*에서 라틴어 용어 momentum을 명확히 했다. 마샬 클라게트가 제공한 라틴어-영어 번역본은 다음과 같다.

"[...] 같지 않은 거리의 같은 무게들은 똑같이 무게가 나가지 않으나, 같지 않은 무게들은 [이러한 같지 않은 거리에서] 똑같이 무게가 나갈 수 있다. 왜냐하면 더 먼 거리에 매달린 무게가 더 무겁기 때문인데, 이는 저울에서 명백하다. 따라서 물체와 무게 양쪽 모두와는 다른, 제3의 어떤 종류의 힘 또는 제3의 크기 차이가 존재하며, 이들은 이것을 모멘트라고 부른다. 따라서 물체는 양(크기)과 질(재질)로부터 무게를 얻지만, 무게는 매달린 거리로부터 모멘트를 얻는다. 그러므로 거리와 무게가 역으로 비례할 때 [무게의] 모멘트는 서로 같아지는데, 이는 아르키메데스가 평면의 평형에 관하여에서 입증한 바와 같다. 따라서 무게 또는 모멘트는 다른 연속적인 양들과 마찬가지로 공통의 종점, 즉 무게 중심이나 평형점과 같이 두 양에 공통적인 어떤 곳에서 결합된다. 이제 어떤 무게에서든 질량 중심은 물체가 어떻게 또는 언제 매달리든 항상 우주의 중심으로 수직으로 기울어지는 그 지점이다.

물체, 무게, 모멘트 외에도 충동(impetus) 또는 힘(force)이라 불릴 수 있는 제4의 힘이 존재한다. 아리스토텔레스는 *기계학적 질문*에서 이를 조사했으며, 이는 앞서 언급한 세 가지 [힘 또는 크기]와는 완전히 다르다. [...]"

1586년, 시몬 스테빈은 *De Beghinselen Der Weeghconst*에서 momentum을 가리키는 네덜란드어 용어로 staltwicht("정지한 무게")를 사용했다.

1593년, 갈릴레오 갈릴레이는 그의 초기 원고인 기계학에서 momento를 사용하기 시작했다. 갈릴레이는 처음에 이 용어를 무시할 만한 무게의 양을 의미하는 것으로 사용했으나, 후기 원고에서 갈릴레이는 이 용어를 어원적 측면과 가장 일반적인 사용(아리스토텔레스의 *물리학* 텍스트와 주요 주석)에서 모두 물체가 자신의 "적절한" 장소로 향하려는 경향, 그리고 그 목표를 향해 움직일 속도로 발전시켰으며, 그러한 경향은 무게로부터 직접적으로 유도되었다. 갈릴레이는 이후 경력 전반에 걸쳐 momento의 사용을 지속적으로 발전시키고 다듬었다.

1632년, 갈릴레오 갈릴레이는 두 개의 주요 세계 체계에 관한 대화를 출판하며 이전 선구자들의 의미를 포함한 다양한 의미로 이탈리아어 momento를 사용했다.

1643년, 토마스 샐즈베리는 갈릴레이의 저작 일부를 영어로 번역했다. 샐즈베리는 라틴어 momentum과 이탈리아어 momento를 영어 용어 moment로 번역했다.

1765년, 레온하르트 오일러는 크리스티안 하위헌스의 양 중 하나를 가리키기 위해 라틴어 용어 momentum inertiae(영어: 관성 모멘트)를 사용했다. 진동 중심을 찾는 하위헌스의 1673년 연구는 1646년에 그에게 이를 제안했던 마랭 메르센에 의해 촉발된 것이었다.

1811년, 점과 평면에 대한 힘의 모멘트라는 뜻의 프랑스어 용어 moment d'une force(영어: 힘의 모멘트)가 시메옹 드니 푸아송의 *Traité de mécanique*에서 사용되었다. 영어 번역본은 1842년에 등장했다.

1884년, 제임스 톰슨에 의해 기계의 회전력을 측정하는 맥락에서 돌림힘(torque)이라는 용어가 제안되었다.

1893년, 칼 피어슨은 과학적 측정값의 곡선 맞춤 맥락에서 n차 모멘트와 $\mu _{n}$이라는 용어를 사용했다. 피어슨은 몇 년 전 기상학 데이터와 관련된 특이한 패턴을 관찰하고 그 원인에 대한 설명을 요청했던 존 벤의 글에 대한 응답으로 이 글을 썼다. 피어슨의 응답에는 다음과 같은 비유가 사용되었다: 역학적 "질량 중심"은 평균값이며, "거리"는 평균으로부터의 편차이다. 이는 이후 수학적 모멘트로 발전했다. 모멘트의 역학적 개념과 편차의 n제곱의 합을 포함하는 통계학 함수 사이의 유사성은 피에르시몽 드 라플라스 후작, 크리스티앙 크람프, 카를 프리드리히 가우스, 요한 프란츠 엥케, 임마누엘 추버, 아돌프 케틀레, 에라스투스 L. 드 포레스트 등 여러 학자들에 의해 앞서 언급된 바 있다.

같이 보기

• 돌림힘

각주

내용주

외부 링크

• (영어) A dictionary definition of moment.